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2023年中考数学常见几何模型全归纳 专题11 最值模型-阿氏圆问题
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这是一份2023年中考数学常见几何模型全归纳 专题11 最值模型-阿氏圆问题，文件包含专题11最值模型-阿氏圆问题解析版docx、专题11最值模型-阿氏圆问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
中考经典几何模型与最值问题
每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有16讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。
专题11 最值模型-阿氏圆问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，
∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．
例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
【答案】．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT•AB，∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【答案】
【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得．
【详解】如图，连接，在上取一点，使得，
，
在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形是正方形
在中，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．
例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值．
【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵，，∴，
∵G是BE的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
．故选：C．
【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值．
例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_______．
【答案】
【分析】取一点，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，过点D作交OC于点E，即可求出DT的最小值，即可得．
【详解】解：如图所示，取一点，连接OP，PT，TD，
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O为圆心，OA为半径作，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵，，∴，
∴A，P，B，Q四点共圆，∴，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，过点D作交OC于点E，
∵D的坐标为（5，3），∴点E的坐标为（5，0），TE=4，∴
∵，∴，∴的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．
例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 ．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为．
【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；
(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；
(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．
【详解】解：(1)如图1，
连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；
∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，
∴AP+BP的最小值为；故答案为：；
(2)如图2，
在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF＝，
∴AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；
(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF
∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝，∴2PA+PB的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..
例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．
（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ，
∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2．
【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决．
例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在上取点，使得；
第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解：在上取点，使得，
又.
任务：将以上解答过程补充完整.如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.
【答案】（1）（2）.
【分析】 ⑴ 将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；
⑵ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= =
【详解】解，
，当取最小值时，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得
的最小值为，
提示：，，的最小值为.
【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.
课后专项训练
1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（ ）
A．3. B．4 C．3 D．5
【答案】D
【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P在何时会使得AP+BP有最小值，进而得到答案．
【详解】解：如图，连接CP，作PE交AC于点E，使
∵ ∴∽ ∴ ∵ ∴
∴，当B、P、E三点共线，即P运动时有最小值EB
∵ ∴ ∴ ∴的最小值为 故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___．
【答案】
【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，当B,C,P三点共线时，3PA+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案．
【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC,
∵⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,
∵，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，
∴3PA+PB=PC+PB,∴当B,C,P三点共线时，3PA+PB最小值为BC,
∴BC===，∴3PA+PB的最小值为．故答案为：
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B三点在同一条直线上时3PA+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形中， ，对角线，设，则的最小值为 ___________．
【答案】##
【分析】如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，在的上方构造，使得，取的中点，连接．由，推出，设,则,由勾股定理求得，根据两点之间线段最短可得的最小值，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，在的上方构造，使得，取的中点，连接．
在中，，∴，∵，∴，
∵，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴，∴设,则,
∵，∴,∵，∴，∴，
∵，∴AD的最小值为，
∵，∴k是最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称问题，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是相似构造相似三角形解决问题．
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 = k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ， AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
【答案】
【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．
【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，
∵∠APC=∠BPA， AB= 2AC∴△APC∽△BPA，
∴∴BP=2AP，CP=AP
∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点
∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大
S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．
5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ．
【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，
∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，
∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，
∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值为，故答案为．
6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
【答案】5
【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，
∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，
∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．
7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，
∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，∴PA+PD的最小值为，即PA的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质．
8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
【答案】5
【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，∴，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
9．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．
【答案】 ； ．
【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD∽△BCP．可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可．
【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，
∵CP=2，BC=4，
∴，∴，
又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，
当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，
在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，
∴AP+BP的最小值为．故答案为：
在AC上取CE=，连接CP，PE
∵∴
又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．
∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，
当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，
在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，
∴BP+AP的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．
11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
【答案】
【分析】（1）如图3中，在上取一点，使得，先证明，得到，所以，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最小值，，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最大值；
（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，解法同（1）．
【详解】（1）
如图3中，在上取一点，使得，
，，，
，，
，，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最小值为，
的最小值为，，
的最大值为，故答案为：，；
（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，
，，，
，，，，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最小值为， 的最小值为，
在中，，，，，
在中，，的最小值为，
，的最大值为，故答案为：，．
【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．
12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）AP+BP的最小值为3；（2）AP+PC的值最小值为5；（3）2PA+PB的最小值为，见解析.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的长；
（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；
（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．
【详解】解：（1）解：（1）如图1，
连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=6，AF=6
∴DF=CF-CD=6-3=3∴AD==3
∴AP+BP的最小值为3
（2）如图，
在AB上截取BF=1，连接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1
∴，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴∴PF=AP∴AP+PC=PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF===5∴AP+PC的值最小值为5，
（3）如图，
延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC=4，FC=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，
∴，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF
∴∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM
∴OM=4，FM=4∴MB=OM+OB=4+3=7
∴FB==∴2PA+PB的最小值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.
13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值
【答案】见详解
【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）；
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；
【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5．
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EF⊥BC
∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，
∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC，
由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，
∴最小值为FC===
∴的最小值为：．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG== ．
当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=．
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG．
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=，CF=2，
在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
14．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线经过点，，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形?求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为上以动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，可判断出，当四边形是平行四边形时，可使四边形是矩形，分别设出点，点，点的坐标，在利用中点坐标公式求解即可；（3）先去的中点，进而判断出，即可得出，连接交圆于点，再求出点的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将点，代入抛物线得：
解得：∴抛物线的解析式为．
（2）如图：
设直线的解析式为则∴∴直线的解析式为
又∵直线的解析式为∴
∴当四边形是平行四边形时，可使四边形是矩形，此时对角线与互相平分
设，则
∵∴解得∴，
(3)如图：由（2）知，，∴，
设交于点,取的中点，则
设，∴．
∴或（舍去）．∴
∵∴
连接交于点，连接EM．则∴
又∵∴∵∴
∴∴∴∴的最小值为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形．
15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知中，，，，是上的一点，，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接．
(1)求证：；(2)若点是上的一点，且，①若与的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的（保留作图痕迹，不写作法）；②求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）由，，得，又因为∠C′AB=∠EAC′即可得出结论；
（2）①设C′到AB的距离为hE , C′到BC的距离为hF，根据面积比得出hE=hF，从而得点C′在∠ABC的平分线上，作∠ABC的平分线BC′，以点A为圆心，AC为半径作弧形，交BC′于C′，再作∠CAC′的平分线AD，交BC于D，连接AC′，DC′，则得△AC′D；
②由（1）知：△AEC′∽△AC′B，得=，所以EC′=BC′，又因为BC′+FC′=(BC′+FC′)= (EC′+FC′），所以当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+FC′=EF，此时BC′+FC′的最小值为EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=，过点E作EG⊥CB于G，证△EBG∽△ABC，得，则可求出BG=，EG=，从而求得GF=BG-BF=，在Rt△EGF中，由勾股定理得：EF=，即可求解．
（1）解：依题意可得AC' = AC= 6，AE= AB- BE= 9-5=4，
∴，，∴，
∵∠C′AB=∠EAC′，∴△AEC′∽△AC′B；
（2）解：①设C′到AB的距离为hE , C′到BC的距离为hF，
∵，∴hE=hF，∴点C′在∠ABC的平分线上，
作∠ABC的平分线BC′，以点A为圆心，AC为半径作弧形，交BC′于C′，再作∠CAC′的平分线AD，交BC于D，连接AC′，DC′，则△AC′D即为折叠后的三角形；
如图所示：
②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，
∴=，∴EC′=BC′，
∵BC′+FC′=(BC′+FC′)= (EC′+FC′），
当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+FC′=EF，
∴BC′+FC′的最小值为EF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=，
过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACEG，∴△EBG∽△ABC，
∴，∴，∴BG=，EG=，
∵BF=，∴GF=BG-BF=，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：EF===，
∴BC′+FC′=EF=×=，∴BC′+FC′的最小值为．
【点睛】本题考查折叠问题，尺规作图：作角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，最短距离问题，本题综合性强，难度较大．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】(1)见解析(2)2或6(3)
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF；
（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；（3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，
，∴△ABE≌△CBF（SAS）；
(2)解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，
∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+（4﹣EH）2，∴EH＝1或3，
当EH＝1时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，
当EH＝3时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；
(3)解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴点A，点G，点C，点D四点共圆，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，
∵CQ＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，
又∵M是CD的中点，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．
【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由，即可求出结果；
③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，∴．
又∵，∴，
∴，即，∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．∴的最小值为；
②∵，∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，∴．
又∵，∴，∴，即，∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．∴的最小值为；
④∵，∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．
中考经典几何模型与最值问题
每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有16讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。
专题11 最值模型-阿氏圆问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，
∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．
例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
【答案】．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT•AB，∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【答案】
【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得．
【详解】如图，连接，在上取一点，使得，
，
在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形是正方形
在中，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．
例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值．
【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵，，∴，
∵G是BE的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
．故选：C．
【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值．
例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_______．
【答案】
【分析】取一点，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，过点D作交OC于点E，即可求出DT的最小值，即可得．
【详解】解：如图所示，取一点，连接OP，PT，TD，
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O为圆心，OA为半径作，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵，，∴，
∴A，P，B，Q四点共圆，∴，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，过点D作交OC于点E，
∵D的坐标为（5，3），∴点E的坐标为（5，0），TE=4，∴
∵，∴，∴的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．
例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 ．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为．
【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；
(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；
(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．
【详解】解：(1)如图1，
连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；
∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，
∴AP+BP的最小值为；故答案为：；
(2)如图2，
在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF＝，
∴AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；
(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF
∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝，∴2PA+PB的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..
例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．
（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ，
∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2．
【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决．
例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在上取点，使得；
第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解：在上取点，使得，
又.
任务：将以上解答过程补充完整.如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.
【答案】（1）（2）.
【分析】 ⑴ 将PC+kPD转化成PC+MP，当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，利用勾股定理求出即可；
⑵ 根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应O,D对应P，A对应C，B对应M，当D在AB上时为最小值，所以= =
【详解】解，
，当取最小值时，有最小值，即三点共线时有最小值，利用勾股定理得
的最小值为，
提示：，，的最小值为.
【点睛】此题主要考查了新定义的理解与应用，快速准确的掌握新定义并能举一反三是解题的关键.
课后专项训练
1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（ ）
A．3. B．4 C．3 D．5
【答案】D
【分析】作辅助线构造相似三角形，进而找到P在何时会使得AP+BP有最小值，进而得到答案．
【详解】解：如图，连接CP，作PE交AC于点E，使
∵ ∴∽ ∴ ∵ ∴
∴，当B、P、E三点共线，即P运动时有最小值EB
∵ ∴ ∴ ∴的最小值为 故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___．
【答案】
【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，当B,C,P三点共线时，3PA+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案．
【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC,
∵⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,
∵，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，
∴3PA+PB=PC+PB,∴当B,C,P三点共线时，3PA+PB最小值为BC,
∴BC===，∴3PA+PB的最小值为．故答案为：
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B三点在同一条直线上时3PA+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形中， ，对角线，设，则的最小值为 ___________．
【答案】##
【分析】如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，在的上方构造，使得，取的中点，连接．由，推出，设,则,由勾股定理求得，根据两点之间线段最短可得的最小值，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，在的上方构造，使得，取的中点，连接．
在中，，∴，∵，∴，
∵，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴，∴设,则,
∵，∴,∵，∴，∴，
∵，∴AD的最小值为，
∵，∴k是最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称问题，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解题的关键是相似构造相似三角形解决问题．
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 = k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ， AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
【答案】
【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．
【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，
∵∠APC=∠BPA， AB= 2AC∴△APC∽△BPA，
∴∴BP=2AP，CP=AP
∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点
∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大
S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．
5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ．
【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，
∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，
∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，
∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值为，故答案为．
6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
【答案】5
【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，
∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，
∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．
7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，
∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，∴PA+PD的最小值为，即PA的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质．
8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
【答案】5
【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，∴，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
9．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．
【答案】 ； ．
【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD∽△BCP．可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可．
【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，
∵CP=2，BC=4，
∴，∴，
又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，
当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，
在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，
∴AP+BP的最小值为．故答案为：
在AC上取CE=，连接CP，PE
∵∴
又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．
∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，
当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，
在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，
∴BP+AP的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．
11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
【答案】
【分析】（1）如图3中，在上取一点，使得，先证明，得到，所以，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最小值，，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最大值；
（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，解法同（1）．
【详解】（1）
如图3中，在上取一点，使得，
，，，
，，
，，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最小值为，
的最小值为，，
的最大值为，故答案为：，；
（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，
，，，
，，，，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最小值为， 的最小值为，
在中，，，，，
在中，，的最小值为，
，的最大值为，故答案为：，．
【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．
12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）AP+BP的最小值为3；（2）AP+PC的值最小值为5；（3）2PA+PB的最小值为，见解析.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的长；
（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；
（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．
【详解】解：（1）解：（1）如图1，
连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=6，AF=6
∴DF=CF-CD=6-3=3∴AD==3
∴AP+BP的最小值为3
（2）如图，
在AB上截取BF=1，连接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1
∴，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴∴PF=AP∴AP+PC=PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF===5∴AP+PC的值最小值为5，
（3）如图，
延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC=4，FC=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，
∴，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF
∴∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM
∴OM=4，FM=4∴MB=OM+OB=4+3=7
∴FB==∴2PA+PB的最小值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.
13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值
【答案】见详解
【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）；
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；
【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5．
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EF⊥BC
∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，
∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC，
由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，
∴最小值为FC===
∴的最小值为：．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG== ．
当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=．
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG．
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=，CF=2，
在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
14．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线经过点，，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形?求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为上以动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，可判断出，当四边形是平行四边形时，可使四边形是矩形，分别设出点，点，点的坐标，在利用中点坐标公式求解即可；（3）先去的中点，进而判断出，即可得出，连接交圆于点，再求出点的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将点，代入抛物线得：
解得：∴抛物线的解析式为．
（2）如图：
设直线的解析式为则∴∴直线的解析式为
又∵直线的解析式为∴
∴当四边形是平行四边形时，可使四边形是矩形，此时对角线与互相平分
设，则
∵∴解得∴，
(3)如图：由（2）知，，∴，
设交于点,取的中点，则
设，∴．
∴或（舍去）．∴
∵∴
连接交于点，连接EM．则∴
又∵∴∵∴
∴∴∴∴的最小值为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形．
15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知中，，，，是上的一点，，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接．
(1)求证：；(2)若点是上的一点，且，①若与的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的（保留作图痕迹，不写作法）；②求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）由，，得，又因为∠C′AB=∠EAC′即可得出结论；
（2）①设C′到AB的距离为hE , C′到BC的距离为hF，根据面积比得出hE=hF，从而得点C′在∠ABC的平分线上，作∠ABC的平分线BC′，以点A为圆心，AC为半径作弧形，交BC′于C′，再作∠CAC′的平分线AD，交BC于D，连接AC′，DC′，则得△AC′D；
②由（1）知：△AEC′∽△AC′B，得=，所以EC′=BC′，又因为BC′+FC′=(BC′+FC′)= (EC′+FC′），所以当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+FC′=EF，此时BC′+FC′的最小值为EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=，过点E作EG⊥CB于G，证△EBG∽△ABC，得，则可求出BG=，EG=，从而求得GF=BG-BF=，在Rt△EGF中，由勾股定理得：EF=，即可求解．
（1）解：依题意可得AC' = AC= 6，AE= AB- BE= 9-5=4，
∴，，∴，
∵∠C′AB=∠EAC′，∴△AEC′∽△AC′B；
（2）解：①设C′到AB的距离为hE , C′到BC的距离为hF，
∵，∴hE=hF，∴点C′在∠ABC的平分线上，
作∠ABC的平分线BC′，以点A为圆心，AC为半径作弧形，交BC′于C′，再作∠CAC′的平分线AD，交BC于D，连接AC′，DC′，则△AC′D即为折叠后的三角形；
如图所示：
②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，
∴=，∴EC′=BC′，
∵BC′+FC′=(BC′+FC′)= (EC′+FC′），
当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+FC′=EF，
∴BC′+FC′的最小值为EF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=，
过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACEG，∴△EBG∽△ABC，
∴，∴，∴BG=，EG=，
∵BF=，∴GF=BG-BF=，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：EF===，
∴BC′+FC′=EF=×=，∴BC′+FC′的最小值为．
【点睛】本题考查折叠问题，尺规作图：作角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，最短距离问题，本题综合性强，难度较大．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】(1)见解析(2)2或6(3)
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF；
（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；（3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，
，∴△ABE≌△CBF（SAS）；
(2)解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，
∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+（4﹣EH）2，∴EH＝1或3，
当EH＝1时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，
当EH＝3时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；
(3)解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴点A，点G，点C，点D四点共圆，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，
∵CQ＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，
又∵M是CD的中点，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．
【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由，即可求出结果；
③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，∴．
又∵，∴，
∴，即，∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．∴的最小值为；
②∵，∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，∴．
又∵，∴，∴，即，∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．∴的最小值为；
④∵，∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．
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