第9章 整式乘法与因式分解（基础30题专练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

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第9章整式乘法与因式分解（基础30题专练）


一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•崇川区期末）若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【分析】利用配方法将原代数式转化为（x﹣2y）2，再根据已知条件求值即可．
【解答】解：∵x+4＝2y，
∴x﹣2y＝﹣4，
∴x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2＝（﹣4）2＝16．
故选：D．
【点评】本题考查完全平方公式以及因式分解的应用，关键是将原代数式准确配方．
2．（2021秋•通州区期末）下列计算正确的是（　　）
A．b3•b3＝2b3 B．（a3）2＝a5
C．（ab2）3＝ab6 D．3a3÷4a2＝a
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．b3•b3＝b6，故此选项不合题意；
B．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；
C．（ab2）3＝a3b6，故此选项不合题意；
D.3a3÷4a2＝a，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2021秋•崇川区期末）下列计算错误的是（　　）
A．a3b•ab2＝a4b3 B．x8÷x4＝x2
C．（﹣2mn3）2＝4m2n6 D．﹣2a2•a3＝﹣2a5
【分析】直接利用单项式乘单项式以及同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．a3b•ab2＝a4b3，故此选项不合题意；
B．x8÷x4＝x4，故此选项符合题意；
C．（﹣2mn3）2＝4m2n6，故此选项不合题意；
D．﹣2a2•a3＝﹣2a5，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及同底数幂的除法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2021秋•启东市期末）下面计算正确的是（　　）
A．x3•x3＝x9 B．a4÷2a3＝2a
C．2x2•3x2＝6x2 D．（x5）2＝x10
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、单项式乘单项式分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A．x3•x3＝x6，故此选项不合题意；
B．a4÷2a3＝a，故此选项不合题意；
C.2x2•3x2＝6x4，故此选项不合题意；
D．（x5）2＝x10，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2021秋•阳江期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．
6．（2021秋•浉河区期末）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（2ab2）3＝6a3b6 D．3a2÷4a2＝a
【分析】直接利用整式的除法运算法则、同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、（a3）2＝a6，故此选项错误；
C、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项错误；
D、3a2÷4a2＝，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2021秋•常宁市期末）若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6），则M与N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由 x 的取值而定
【分析】求出M和N的展开式，计算M﹣N的正负性，即可判断M与N的大小关系．
【解答】解：M＝（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12；
N＝（x﹣1）（x﹣6）＝x2﹣7x+6；
∵M﹣N＝6＞0；
∴M＞N；
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，难度适中，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
8．（2020春•诸城市期末）下列运算中正确的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
【分析】根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的法则逐一计算即可得．
【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，错误；
B、（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，正确；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的法则．
9．（2021秋•汝阳县期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式积，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．
10．（2021秋•西岗区期末）已知x2+kx+16是一个完全平方式，则k的值为（　　）
A．4 B．8 C．﹣8 D．±8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵x2+kx+16是一个完全平方式，
∴k＝±8．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋•徐闻县期末）（3a2﹣6ab）÷3a＝　a﹣2b　．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（3a2﹣6ab）÷3a
＝3a2÷3a﹣6ab÷3a
＝a﹣2b．
故答案为：a﹣2b．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（2021秋•让胡路区校级期末）如果x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值为　±8　．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+16＝x2﹣mx+42，
∴﹣mx＝±2•x•4，
解得m＝±8．
故答案为：±8．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
13．（2021秋•海丰县期末）已知4y2﹣my+9是完全平方式，则m＝　±12　．
【分析】由4y2﹣my+9是完全平方式，即可得4y2﹣my+9＝（2y±3）2＝4y2±12y+9，继而求得m的值．
【解答】解：∵4y2﹣my+9是完全平方式，
∴4y2﹣my+9＝（2y±3）2＝4y2±12y+9，
∴﹣m＝±12，
∴m＝±12．
故答案为：±12．
【点评】此题考查了完全平方式的应用．注意完全平方式为：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
14．（2021秋•望花区期末）边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为　2a2　．

【分析】结合图形，发现：阴影部分的面积＝大正方形的面积的+小正方形的面积﹣直角三角形的面积．
【解答】解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积
＝（2a）2+a2﹣•2a•3a
＝4a2+a2﹣3a2
＝2a2．
故填：2a2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子．
15．（2021秋•海安市期中）计算：（2×103）×（8×105）＝　1.6×109　．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
【解答】解：原式＝2×8×108＝1.6×109．
故答案为：1.6×109．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，科学记数法，解决本题的关键是准确进行单项式乘单项式运算．
16．（2021秋•沂水县期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为　11　．

【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，
所以a2+b2＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
17．（2021秋•郧西县期末）若多项式4x2﹣kx+25是一个完全平方式，则k的值是　±20　．
【分析】根据已知可得完全平方式是（2x±5）2＝4x2±20x+25，依据对应相等可得﹣kx＝±20x，解得k＝±20．
【解答】解：∵4x2﹣kx+25是一个完全平方式，
∴4x2﹣kx+25＝（2x）2﹣kx+52＝（2x±5）2，
∵（2x±5）2＝4x2±20x+25，
∴﹣kx＝±20x，解得k＝±20．
故答案为：±20．
【点评】本题主要考查了完全平方式，完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
18．（2021秋•如皋市校级月考）在实数范围内分解因式：a2﹣3b2＝　（a+）（a﹣）　．
【分析】利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a2﹣3b2
＝a2﹣（）2
＝（a+）（a﹣）．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，一定要注意分解到不能再分解为止．
19．（2021秋•南通期中）若a﹣b＝8，ab＝﹣15，那么a2+b2的值为 　34　．
【分析】利用完全平方公式，把a2+b2化为（a﹣b）2+2ab求解即可．
【解答】解：∵a﹣b＝8，ab＝﹣15，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64﹣30＝34．
故答案为：34．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
20．（2021•徐州模拟）分解因式m2+6m＝　m（m+6）　．
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（m+6）．
故答案为：m（m+6）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2021秋•崇川区期末）计算：（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）．
【分析】分别根据完全平方公式和平方差公式计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝9a2+6ab+b2﹣a2+b2
＝8a2+6ab+2b2．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关公式是解答本题的关键．
22．（2021秋•绿园区期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．
（1）图2中间空白的部分的面积是 　（a﹣b）2　；
（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式 　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　；
（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．

【分析】（1）由图形面积间和差关系可得此题结果为（a﹣b）2；
（2）由图形面积间关系可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）题关系式可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，就能求得最后结果．
【解答】解：（1）由题意得，图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2，
故答案为：（a﹣b）2；
（2）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）题关系式可得，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4
∴x﹣y＝±2，
即x﹣y的值是±2．
【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形得到整式间关系式，并能运用关系式解决新问题．
23．（2021秋•绿园区期末）因式分解：
（1）4m2﹣36；
（2）2a2b﹣8ab2+8b3．
【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝4（m2﹣9）
＝4（m+3）（m﹣3）；

（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）
＝2b（a﹣2b）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
24．（2021秋•路北区期末）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝　1或﹣1　；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可；
（2）根据题意可得（m+1）2+n2＝0，再根据实数的非负性解答即可；
（3）可得B﹣A＝（x﹣1）2+2n2+2，再根据实数的非负性解答即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案为：1或﹣1；

（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；

（3）B＞A．
理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
∵（x+1）2≥0，2n2≥0，
∴（x+1）2+2n2+2＞0，
∴B＞A．
【点评】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
25．（2021秋•东莞市期末）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．

【分析】（1）绿化面积等于总面积减去中间正方形的面积；
（2）代入a、b的值后即可求得绿化面积；
【解答】解：（1）绿化的面积是（2a+b） （a+b）﹣a2＝2a2+3ab+b2﹣a2＝a2+3ab+b2；
（2）当a＝3，b＝2时，原式＝9+3×2×3+4＝31平方米．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．（2021秋•如皋市月考）分解因式：
（1）；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）．
【分析】（2）先提取，然后再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）先提取公因式，然后再利用平方差公式继续分解．
【解答】解：（1）（1）
＝（x2﹣2x+1）
＝（x﹣1）2；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）
＝a2（x﹣1）﹣b2（x﹣1）
＝（x﹣1）（a2﹣b2）
＝（x﹣1）（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解的提取公因式与公式法的综合运用，要注意因式分解一定要分解到不能再分解为止．
27．（2021春•锡山区校级期中）分解因式：
（1）mn﹣2n；
（2）4x2﹣36；
（3）（a2+b2）2﹣4a2b2．
【分析】（1）直接提取公因式n，进而分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式得出答案；
（3）直接利用平方差公式分解因式，再结合完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）mn﹣2n＝n（m﹣2）；

（2）4x2﹣36
＝4（x2﹣9）
＝4（x+3）（x﹣3）；

（3）（a2+b2）2﹣4a2b2
＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）
＝（a+b）2（a﹣b）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
28．（2021春•宝应县月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝×（﹣6）x2•x2•y•y2
＝﹣3x4y3；

（2）原式＝1+4﹣1
＝4．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、单项式乘单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
29．（2021春•江都区校级期中）分解因式：
（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）．
【分析】（1）直接提取公因式3ab，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接将原式变形，提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b
＝3ab（b2﹣10ab+25a2）
＝3ab（b﹣5a）2；

（2）原式＝a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣16）
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
30．（2021春•江都区校级期中）先化简，再求值：2（x+1）2﹣2（x﹣3）（3+x），其中x＝1．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，最后把x的值代入得出答案．
【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）﹣2（x2﹣9）
＝2x2+4x+2﹣2x2+18
＝4x+20，
当x＝1时，
原式＝4x+20＝4×1+20＝24．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．