吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高三第四次模拟考试数学试题(含答案)

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则中的元素个数为（    ）

A．3     B．4      C．5   D．6

2．已知，则（    ）

A．    B．     C．   D．

3．已知函数，则（    ）

A．函数是奇函数，且在上单调递增

B．函数是奇函数，且在上单调递减

C．函数是偶函数，且在上单调递增

D．函数是偶函数，且在上单调递减

4．将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（    ）

A．     B．     C．    D．

5．在中，，E为AD的中点，则（    ）

A．  B．   C．  D．

6．已知，，则（    ）

A．     B．2     C．     D．

7．已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（    ）
A．有极大值，无最小值       B．无极大值，有最小值

C．有极大值，有最大值       D．无极大值，无最大值

8．与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示．已知，是双曲线的焦点，P是双曲线右支上一点，Q是的一个旁心，如图2所示，直线PQ与x轴交于点M，则（    ）

A．   B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某商店2021年1月至12月每月的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中正确的有（    ）

A．第二季度月平均利润为30万元   B．收入的中位数和众数都是50

C．下半年支出比上半年支出稳定   D．利润最高的月份是2月份和11月份

10．如图，在正方体中，点P为线段上的一个动点（不包含端点），则（    ）

A．

B．直线PC与直线异面

C．存在点P使得PC与所成的角为60°

D．存在点P使得PC与底面ABCD所成的角为60°

11．函数在一个周期内的图像如图所示，则（    ）

A．的最小正周期是

B．图像的一个对称中心为

C．把函数的图像先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图像

D．的单调递增区间为

12．已知，且，则下列不等式成立的有（    ）

A．   B．   C．   D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为______．

14．已知圆上的点到直线的最近距离为，则k=______．

15．已知F是抛物线的焦点，x轴正半轴上一点，若抛物线C上存在点P使得∠FPQ为钝角，则实数t的取值范围是______．

16．在三棱锥中，平面平面SAB，是等边三角形且，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上．若球O的体积为，则三棱锥体积的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，求面积的最大值．

18．（12分）已知数列中，，且点在直线上，，是数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是否存在最大的整数p，使得对于任意的，均有？若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由．

19．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为，．

（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；

（2）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望．

20．（12分）如图1，在四边形ABCD中，，，AE=BE=2CD=2，．将四边形AECD沿AE折起，使得，得到如图2所示的几何体．

（1）若G为AB的中点，证明：平面ABE；

（2）若F为BE上一动点，且二面角的余弦值为，求的值．

21．（12分）已知椭圆，点是椭圆C在第一象限上的一个动点，点，，分别是点关于y轴、原点和x轴的对称点，当四边形的面积最大时，线段，经过椭圆C的右焦点．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）已知过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆C的上顶点为B，求的面积的最大值．

22．（12分）已知函数和有相同的最大值，并且．

（1）求a，b；

（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．

参考答案

1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．A 9．BC 10．ABD 11．ACD

12．BD  13．15  14．  15．  16．

17．解：（1）由已知得

即，由正弦定理，得

所以．

又因为，所以．

（2）由余弦定理，得，又，

所以，当且仅当时等号成立，

所以．

故的面积的最大值为．

18．解：（1）由题意知，所以．

又因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，

所以．

（2）存在．

由（1）知，所以，，

所以数列是以2为首项、2为公差的等差数列．

所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立．

所以，解得．

因此，当时，最大整数p的值为4．

19．解：（1）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，

则教师甲获得冠军的概率

．

由对立事件的概率公式，得，所以，，因为，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别．

（2）根据题意知，X的可能取值为，

所以，

，

，

．

所以X的分布列为

故．

20．（1）证明：如图，取BE的中点O，连接OC，OG．

因为，，，，

所以，CD=OG，

所以四边形CDGO为平行四边形，所以．

因为，，，

所以平面BCE，所以．

因为BC=CE，所以．

因为，所以平面ABE，

所以平面ABE．

（2）解：如图，过点E作直线，则直线平面ABE．

又因为，所以直线l，EA，EB两两相互垂直，

故以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设点，

则，，．

设平面ADF的一个法向量为，

则即

不妨令，则，，

所以．

设平面ABD的一个法向量为，

则即

不妨令，则，，所以，

所以．

解得或t=8（含去），故．

21．解：（1）设，则，，，

所以四边形是矩形．

因为点在椭圆C上，所以，

所以，即，

所以，

当且仅当，即时，四边形的面积取得最大值2ab．

因为此时线段经过椭圆C的右焦点，

所以有，即，所以.

（2）由（1）知，b=c，，

所以可设椭圆C的方程为，

设过点的直线l的方程为，

将其与椭圆C的方程联立，得

消去y并整理，得．

设，，则

，

又点到直线l的距离，

所以．

令，，

则，

当时，，所以在上单调递减，

所以，

所以的最大值为．

22．（1）解，．

①若，则无最大值．

②若，令，得x=1．

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

所以当x=1时，取得最大值，最大值为．

，．

①若，则无最大值．

②若，令，得x=e．

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

所以当时，取得最大值，最大值为．

由题意知解得

（2）证明：由（1）知，，且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，有唯一的零点，有唯一的零点1．

它们的大致图像如图所示．

设曲线与在上交于点A，当直线经过点A时，直线与曲线还有另一个交点B，设，，，不妨设直线与曲线还有另一个交点，

则

由①得，故，⑤

同理，由②得．⑥

由⑤⑥可知，与是直线与曲线交点的横坐标，故点C是存在的．

因为，所以．

又，所以，，从而有，故结论成立．