专题13：排列组合二项式定理【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

这是一份专题13：排列组合二项式定理【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义，文件包含专题13排列组合二项式定理解析版-2022年高考数学尖子生强基校考讲义docx、专题13排列组合二项式定理原卷版-2022年高考数学尖子生强基校考讲义docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
1.【2020上海交大6】从2个红球，3个黑球，5个白球（同色球完全相同）中任意取6个，有_______________种不同的取法．
2.【2021中科大】设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球彺甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为________．
答案：
3.【2020年清华11】从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数（可以等于0），则的概率为（ ）．
A．B．C．D．
二、知识要点拓展
1.分类加法原理（加法原理）:.
2.分步计数原理（乘法原理）:.
3.排列数公式:==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.排列恒等式 ：
（1）； （2）； （3）；
(4) .
5.组合数公式：
===(，，且).
6.组合数的两个性质：
(1)= ； (2) +=；注:规定.
7.组合恒等式
（1）； （2）=； （3）；
(4)；
(5)；
(6)；
8.排列数与组合数的关系： .
9.二项式定理： ;
二项展开式的通项公式：.
几个基本组合恒等式：①；②；③；④；
⑤；⑥（范德蒙公式）。
不尽相异的个元素的全排列：在个元素中，有个元素相同，又另有个元素相同，。。。。，一直到另有个元素相同，且，这个元素的全排列叫做不尽相异的个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为：。
从个元素里取个元素的环排列：从个不同元素中任取个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从个元素里取个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个个元素的环在个不同的位置拆开，即得个不同的线排列。由于个不同元素中任务个元素的排列方法种，所以个不同元素中任取个元素的环排列方法有种。特别地，个不同元素的环排列方法有（种）。
►注：排列数，有些地方也记为。
一次不定方程的非负整数解的个数等于（或）；正整数解的个数等于（或）。
错位排列问题：设集合，所有元素的一种全排列，满足，则称这样的排列为错位全排列。用表示错位全排列总数，则。
排列、组合应用题常用的解法有：
①运用两个基本原理（加法原理、乘法原理）；②特殊元素（位置）优先考虑；③捆绑法；④插入法；⑤排除法；⑥机会均等法；⑦转化法。
证明组合恒等式的常用方法有：①赋值法；②母函数法；③构造组合模型法。
三、典例精讲
例1．（华南理工）在的展开式中，的系数为（ ）。
（B） （C） （D）
►答案A
►分析与解答：
的系数
。
例2．（2011“卓越联盟”）数列共有11项，，且。满足这种条件的不同数列的个数为（ ）
（A）100 （B）120 （C）140 （D）160
►分析与解答：
依题意，或，设有个1，则有个-1，依题意知：，所以。从而所有这样的数列个数为。故选B。
例3．（复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？
►分析与解答：
显然，四位数全部相同的四位数恰有9个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑：
第一步，先考虑千位数字，有9种可能取法：1,2,3，。。。9
第二步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从中选出1个数码。
第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上的数字进一步确定；这三个位置上分别各有2种可选择性，但要去掉一种情况：即个位、十位、百位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有种选法。
综上，共有四位数个。
例4．（复旦）三边均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）个。
（A）20 （B）26 （C）30 （D）36
►答案：D
►分析与解答：
不妨设三边长为，且，则。
若，，共1个；
若，共2个；
若，共3个；
若，共4个；
若，共5个；
若，共6个；
若，共5个；
若，共4个；
若，共3个；
若，共2个；
若，共1个。
故共有个。
例5．（同济）若多项式，则 。
►答案：-10
►分析与解答：
考虑两边的系数，易知。再考虑两边的系数，右边。
左边的系数为0，所以。
例6．（上海交大）中的系数为 。
►答案：
►分析与解答：
原式

，故的系数为。
例7．（上海交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或1（）。设，表示和中相对应的元素不同的个数。
问存在多少个5元数组，使得；
问存在多少个5元数组，使得；
令，求证：。
►分析与解答：
（1）满足条件的数组共有个。
满足条件的数组共有个。
设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1、一项为0的共有个，这里，从而。
而，得证。
例8．8个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.
►分析：以1个女孩和2个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的9个男孩和这8个组被看成是17个元素，显然这17个元素任意的圆排列是满足题意的．
►分析： 先从25个男孩中选出9个男孩共有种可能。其次，上述17个元素的圆排列数为种. 再次，分在8个组内的16个男孩在16个位置上的排列是，所以总的排列方法数为：
．
例9．（北大）求证:对任意的正整数，必可表示成的形式，其中。
►分析与解答：
由二项式定理，
。
而，所以
，
，


当时，令，则，显然，且；
当时，令即可。
三、真题训练
1.（复旦）设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有（ ）种。
（B） （C） （D）
2.（复旦）在二项式的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3.（复旦）二项式的展开式中系数之比为的相邻两项是（ ）。
（A）第29、30项 （B）第33、34项
（C）第55、56项 （D）第81、82项
4.（复旦）5个不同元素排成一列，规定不许排第一，不许排第二，不同的排法共有（ ）
（A）64种 （B）72种 （C）78种 （D）84种
5.（复旦）设是由三个不同元素组成的集合，且是的子集族，满足性质：空集和属于，并且中任何两个元的交集和并集还属于。问所有可能的的个数为（ ）。
（A）29 （B）33 （C7）43 （D）59
6.（复旦）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）
（A）120 （B）260 （C）340 （D）420
7.（复旦）在的展开式中有（ ）项为有理数。
（A）10 （B）11 （C）12 （D）13
8.（复旦）在集合中任选两个数作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆个数是（ ）
（A）70 （B）72 （C）80 （D）88
9.（武大）某停车场内有序号为1,2,3,4,5的五个车位顺次排成一排，现在四辆车需要停放，若两车停放的车位必须相邻，则停放方式种数为（ ）。
（A）120 （B）48 （C）24 （D）12
10.（复旦）在的展开式中系数最大的项是（ ）。
第4,6项 （B）第5,6,项 （C）第5,7项 （D）第6,7项
11.（复旦）对所有满足的，极坐标方程表示的不同双曲线条数为（ ）。
（A）6 （B）9 （C）12 （D）15
12.（武大）a,b,c,d,e五人站成一排准备合影，如果a要求既不与b相邻，也不与c相邻，那么不同的排法有（ ）
（A）12种 （B）24种 （C）36种 （D）72种
13.（武大）设是等差数列，从中任取3个不同的数，使这三个数仍能成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）。
（A）90个 （B）120个 （C）180个 （D）200个
14.（武大）如果9名同学分别到三个不同的工厂进行社会实践调查活动，每个工厂3人，那么不同的分配方案共有（ ）
种 （B）种 （C）种 （D）种
15.（武大）一个口袋中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中每次至少取一个球，共4次取完，那么不同的取球方式共有（ ）
（A）40种 （B）28种 （C）16种 （D）10种
16.（武大）在的展开式中，各项系数之和是（ ）。
（A）1 （B） （C）-1 （D）
五、强化训练
A组
1、（华南理工）在的展开式，的系数为（ ）
（A）（B）（C）（D）
2、（复旦）在二项式的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为（ ）
（A）2（B）3（C）4（D）5
3、（复旦）5个不同元素排成一列，规定不许排第一，不许排第二，不同的排法共有（ ）
（A）64种（B）72种（C）78种（D）84种
4、（复旦）设是由三个不同元素所组成的集合，且是的子集族，满足性质：空集和属于，并且中任何两个元的交集和并集还属于。问所有可能的的个数为（ ）
（A）29（B）33（C）43（D）59
5、（复旦）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（ ）
（A）120（B）260（C）340（D）420
6、（复旦）求在十进制中最后4位 。
7、10人围圆桌而坐，如果甲、乙两个中间相隔4个，有多少种坐法？
8、（交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或。设，表示和中相对应的元素不同的个数。
（1），问存在多少个5元数组，使得；
（2），问存在多少个5元数组，使得；
（3）令，，求证：。
9、（复旦）设，计算：
（1）的不同取值个数；
（2）的所有不同取值的积与和。
B组
1、（北大）求证：对任意的正整数，必可表示成的形式，其中。
2、（北大）在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
3、（交大）世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛。规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分。比赛结束后前两名可以晋级。
（1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分。于是
甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；
乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线。
问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？
（2）若不考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？13分
4、（北大）某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做对题目数不全同奇偶。问：不及格者与优秀者哪个多？
5、（清华特色）长为的木棒（为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最小者严格小于最短者长度的2倍。例如长为4的木棒可以锯成两段，而长为7的木棒第一次可以锯成，第二次可以再将长为4的木棒锯成，这时三段不能再锯。问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？