2023年山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学中考数学诊断试卷（4月份）（含答案）

这是一份2023年山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学中考数学诊断试卷（4月份）（含答案），共34页。
2023年山东省泰安市肥城市汶阳中学中考数学诊断试卷（4月份）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．在有理数﹣5，﹣2，2，3中，其倒数最大的是（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3
2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3） B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x
3．从省林业局获悉，我省实施“金银森林”行动，推动林业产业集聚发展，去年全省林业总产值达到5092亿元，保持在全国第一方阵，数据5092亿用科学记数法表示为（　　）
A．5.092×103 B．5.092×1011 C．5.092×1012 D．50.92×1010
4．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
5．某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（　　）

A．最高成绩是9.4环
B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环
D．这组成绩的方差是8.7环2
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．2 C． D．4
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5，则方程可变形为（　　）
A．2（x﹣6）2＝43 B．（x﹣6）2＝43 C．2（x﹣3）2＝16 D．（x﹣3）2＝16
8．函数y＝ax﹣a和y＝ax2+2（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，C、D 是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）

A．70° B．50° C．40° D．20°
10．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．4
11．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（　　）

A．2 B． C．4 D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞2，则m的最大整数值为m＝　 　．
14．如图，在正方形网格中，⊙O的内接△ABC的顶点均为格点，则tanA的值为 　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 　 　．

16．一个物体的三视图如图所示，该物体的侧面积等于 　 　．

17．杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察如图的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b）7的展开式中从左起第三项为 　 　．


18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④．其中正确结论有 　 　（填写所有正确结论的序号）．

三．解答题
19．先化简：，再从﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
20．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，8）、B（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接AO，BO，求△AOB的面积．

22．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进A类玩具的数量与用800元购进B类玩具的数量相同．
（1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？
（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为35元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于800元，则商店至少购进A类玩具多少个？
23．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+2经过点A，B．
（1）求k的值和抛物线的解析式．
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

24．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．

25．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．



参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．在有理数﹣5，﹣2，2，3中，其倒数最大的是（　　）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据乘积为1的两数互为倒数，先求出各个数的倒数，再根据有理数的大小比较法则：①正数都大于0；②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断即可．
解：﹣5，﹣2，2，3的倒数分别是，，，，
∵＜＜＜，
∴其倒数最大的是2．
故选：C．
【点评】本题考查倒数的定义，有理数大小的比较．掌握会求一个数的倒数和比较有理数大小法则是解题的关键．
2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3） B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义即可求解，因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．
解：A．x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）是因式分解，故该选项正确，符合题意；
B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故该选项不正确，不符合题意；
C．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1，不是乘积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D．x（x﹣1）＝x2﹣x，不是乘积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义，根据平方差公式因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键．
3．从省林业局获悉，我省实施“金银森林”行动，推动林业产业集聚发展，去年全省林业总产值达到5092亿元，保持在全国第一方阵，数据5092亿用科学记数法表示为（　　）
A．5.092×103 B．5.092×1011 C．5.092×1012 D．50.92×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：5092亿＝509200000000＝5.092×1011．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角的性质可得出∠5的度数，再由平行线的性质得出结论即可．
解：∵△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠5＝∠4＝70°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠5＝70°．
故选：C．

【点评】本题考查的是平行线的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
5．某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（　　）

A．最高成绩是9.4环
B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环
D．这组成绩的方差是8.7环2
【分析】根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．
解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；
平均成绩是×（9.4×2+8.4+9.2×2+8.8+9×3+8.6）＝9（环），故选项B不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是×[2×（9.4﹣9）2+（8.4﹣9）2+2×（9.2﹣9）2+（8.8﹣9）2+3×（9﹣9）2+（8.6﹣9）2]＝0.096，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了折线统计图，加权平均数，众数和方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．2 C． D．4
【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC＝45°，由圆周角定理得出∠AOC＝90°，根据OA＝OC可得出答案．
解：连接OA，OC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，
∵OA＝OC，AC＝4，
∴，
∴⊙O的半径为：．
故选：B．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．
7．用配方法解一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5，则方程可变形为（　　）
A．2（x﹣6）2＝43 B．（x﹣6）2＝43 C．2（x﹣3）2＝16 D．（x﹣3）2＝16
【分析】先将常数项移到等号的右边，根据等式的性质将二次项的系数化为1，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．
解：∵2x2﹣12x﹣9＝5，
∴2x2﹣12x＝14，
x2﹣6x＝7，
则x2﹣6x+9＝7+9，即（x﹣3）2＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了运用配方法解一元二次方程的运用，配方法的解法的运用，解答时熟练配方法的步骤是关键．
8．函数y＝ax﹣a和y＝ax2+2（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由二次函数y＝ax2+2的图象顶点（0，2）可排除A、B答案；由一次函数y＝ax﹣a的图象过点（1，0）可排除D答案．此题得解．
解：∵y＝ax2+2，
∴二次函数y＝ax2+2的图象的顶点为（0，2），故A、B不符合题意；
当y＝ax﹣a＝0时，x＝1，
∴一次函数y＝ax﹣a的图象过点（1，0），故D不符题意，C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，利用一次（二次）函数图象经过定点排除A、B、D选项是解题的关键．
9．如图，AB是⊙O的直径，C、D 是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）

A．70° B．50° C．40° D．20°
【分析】方法一：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．
方法二：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，再根据圆周角定理，即可得到∠COE的度数，再根据∠OCE＝90°，即可得到∠E的度数．
解：方法一：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE＝90°，
∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝20°，
∴∠BAC＝∠CDB＝20°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝20°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE＝40°，
则∠E＝50°．
故选：B．
方法二：连接OC，
∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠COE＝90°，
∵∠CDB＝20°，
∴∠CAB＝∠CDB＝20°，
∴∠COE＝2∠CAB＝40°，
∴∠E＝∠OCE﹣∠COE＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．


【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
10．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．4
【分析】根据菱形AECF，得∠FCO＝∠ECO，再利用∠ECO＝∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积是：AE•BC＝2．
故选：C．

【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
11．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝8，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝6，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③错误；最后求出S▱AEFD＝24，故④错误；即可得出答案．
解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，62+82＝102，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝8，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝6，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝3，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝8×3＝24，故④错误；
∴正确的个数是2个，
故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△DBF是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（　　）

A．2 B． C．4 D．
【分析】过点P作PE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质可得AB＝BC＝6，BD⊥AC，从而可得△ABC是等边三角形，进而可求出∠ABC＝∠ACB＝60°，然后在Rt△BPE中，可得PE＝BP，从而可得＝MP+PE，当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME，最后在在Rt△CME中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：过点P作PE⊥BC，垂足为E，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，BD⊥AC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠BEP＝90°，
∴PE＝BP，
∴＝MP+PE，
∴当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME，
如图：

∵AC＝6，AM＝2，
∴CM＝AC﹣AM＝6﹣2＝4，
在Rt△CME中，∠ACB＝60°，
∴ME＝CM•sin60°＝4×＝2，
∴的最小值是2，
故选：B．

【点评】本题考查了胡不归问题，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，以及将转化为MP+PE是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞2，则m的最大整数值为m＝　﹣2　．
【分析】②﹣①，得x﹣y＝1﹣m，根据x﹣y＞2得出关于m的不等式，求得最大整数解即可求解．
解：，
由②﹣①得：x﹣y＝1﹣m，
∵x﹣y＞2，
∴1﹣m＞2，
∴m＜﹣1，
m的最大整数值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
14．如图，在正方形网格中，⊙O的内接△ABC的顶点均为格点，则tanA的值为 　　．

【分析】连接CD、BD，根据圆周角定理得出∠BAC＝∠BDC，即可得出．
解：连接CD、BD，如图所示：

∵，
∴∠BAC＝∠BDC，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，求正切值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正切的定义．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 　　．

【分析】证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，

∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴＝，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DF∥AC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
16．一个物体的三视图如图所示，该物体的侧面积等于 　15π　．

【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为4的等腰三角形，据此即可得出侧面积．
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为4的等腰三角形，
∴圆锥的底面圆半径是：＝3，母线长是5，
∴底面周长为6π，
∴侧面积为×6π×5＝15π．
故答案为：15π．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
17．杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察如图的杨辉三角：按照前面的规律，则（a+b）7的展开式中从左起第三项为 　21a5b2　．


【分析】观察图形，得出（a+b）7的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，左数第三项为：21a5b2．
解：通过观察得：（a+b）7的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，且a的次数从7逐次减低，b的次数从0逐次增加，项的次数都是7，
所以左数第三项为：21a5b2，
故答案为：21a5b2．
【点评】本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，分别找出系数和次数规律是解题的关键．
18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④．其中正确结论有 　①③④　（填写所有正确结论的序号）．

【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；利用，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
解：①∵函数图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧a＞0，
∴最小值：，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a，故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∵，
∴c＝﹣3a，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
三．解答题
19．先化简：，再从﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可．
解：
＝•
＝•
＝•
＝，
∵当a＝﹣1，0，1时原分式无意义，
∴a＝2，
当a＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　200　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1180名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．

【分析】（1）由D的人数除以所占的比例即可；
（2）求出C的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校共有学生乘以参加B项活动的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），
故答案为：200；
（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），
补全条形统计图如下：

（3）1180×＝472（名），
答：估计参加B项活动的学生为472名；
（4）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．掌握公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
21．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，8）、B（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接AO，BO，求△AOB的面积．

【分析】（1）把A，B坐标分别代入反比例函数解析式，即可求出m，n的值；
（2）观察函数图象，结合（1）可得不等式的解集；
（3）待定系数法可求出直线AB解析式，从而可得C的坐标，即可得到△AOB的面积．
解：（1）把A（1，8）代入y＝得：
8＝，
∴m＝8，
∴y＝，
把B（n，﹣2）代入y＝得：
﹣2＝，
解得n＝﹣4，
∴m＝8，n＝﹣4；
（2）由（1）知，A（1，8），B（﹣4，﹣2），
观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜1，
∴不等式的解集为x＜﹣4或0＜x＜1；
（3）如图：

将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝2x+6，
将x＝0代入y＝2x+6得：y＝6，
∴C（0，6），即OC＝6，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×6×1+×6×4＝15，
∴△AOB的面积为15．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用．
22．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进A类玩具的数量与用800元购进B类玩具的数量相同．
（1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？
（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为35元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于800元，则商店至少购进A类玩具多少个？
【分析】（1）设B的进价为x元，则a的进价是（x+5）元；根据用1000元购进A类玩具的数量与用8000元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．
（2）设A玩具a个，则B玩具（100﹣a）个，结合“玩具店将每个A类玩具定价为35元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于800元”列出不等式并解答．
解：（1）设B的进价为x元，则a的进价是（x+5）元
由题意得＝，
解得x＝20，
经检验x＝20是原方程的解．
所以20+5＝25（元）
答：A的进价是25元，B的进价是20元；
（2）设A玩具a个，则B玩具（100﹣a）个，
由题意得：10a+5（100﹣a）≥800，
解得a≥60．
答：至少购进A类玩具60个．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力．
23．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+2经过点A，B．
（1）求k的值和抛物线的解析式．
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

【分析】（1）利用待定系数法将A（3，0）代入即可得到函数解析式；
（2）根据平行四边形的性质即可得到PN＝OB，分两种情况得到m的值．
解：（1）把A（3，0）代入y＝kx+2，得0＝3k+2，
∴解得，
∴直线AB的解析式为，
∴B（0，2），
把A（3，0）分别代入，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵M（m，0），
∴P，N，
有两种情况：

①当点N在点P的上方时，，
∵四边形OBNP为平行四边形，
∴PN＝OB＝2，即，
解得，
②当点N在点P的下方时，
，
同理，，
解得m＝，
综上所述，m的值为或．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用和数形结合思想，理解二次函数最值的求法是解题的关键．
24．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再证AD＝CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，根据角平分线的判定可得出结论；
（3）连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；

（2）AC平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，
则∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
又∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；

（3）如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
由（2）知，AC平分∠BCD，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴，
即，
∴DF＝5﹣5．



【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．