第十一章 反比例函数 【基础卷】——2022-2023学年苏科版数学八年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

第十一章 反比例函数（基础）

一．选择题（共8小题）

1．下列函数中，能表示y是x的反比例函数的是（　　）

A．y B．y C．y D．y2

【分析】根据反比例函数的定义判断即可．

【解答】解：A、y表示y是x的正比例函数，故此选项错误；

B、y表示y是x的反比例函数，故此选项正确；

C、y不能表示y是x的正比例函数，故此选项错误；

D、y2，不能表示y是x的反比例函数，故此选项错误，

故选：B．

【点评】本题考查的是反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y（k≠0），也可转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．

2．反比例函数的图象分布在第二、四象限，则a的取值范围是（　　）

A．a＜﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a≥﹣3

【分析】直接利用反比例函数图象分布在第二、四象限，进而得出a+3＜0，进而得出答案．

【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，

∴a+3＜0，

解得：a＜﹣3．

故选：A．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．

3．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　）

A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴两函数的交点关于原点对称，

∵一个交点的坐标是（1，﹣2），

∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）．

故选：B．

【点评】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．

4．反比例函数y的图象位于（　　）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 

C．第二、三象限 D．第二、四象限

【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．

【解答】解：∵反比例函数y中k＝6＞0，

∴此函数的图象位于一、三象限．

故选：B．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．

5．如图，点N在反比例函数上，点M在反比例上，其中点A为MN中点，则△OMN的面积是多少（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【分析】作MB⊥y轴于点B，NC⊥y轴于点C，由点N在反比例函数上，点M在反比例上，得S△ONC4＝2，S△OMB4，再证明△NAC≌△MAB，则S△NAC＝S△MAB，所以S△OMNS△OMB＝2+4＝6．

【解答】解：如图，作MB⊥y轴于点B，NC⊥y轴于点C，

∴∠NCA＝∠MBA＝90°，

∵点N在反比例函数上，点M在反比例上，

∴S△ONC4＝2，S△OMB4，

∵点A为MN中点，

∴NA＝MA，

∵∠NAC＝∠MAB，

∴△NAC≌△MAB（AAS），

∴S△NAC＝S△MAB，

∴S△OMN＝S△ONC+S△OMB＝2+4＝6，

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，证明△NAC≌△MAB是关键．

6．已知函数y的图象上有A（﹣1，y1），B（3，y2），且y1＞y2，则m的取值范围为（　　）

A．m＜0 B．m＞0 C．m D．m

【分析】根据题意可得y1和y2的值，列出不等式可得出m的取值范围．

【解答】解：根据题意可知，y1＝﹣（3+2m），y2，

∵y1＞y2，

∴﹣（3+2m），整理得3+2m＜0，

∴m．

故选：D．

【点评】本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，得出关于m的不等式是解题关键．在做题时也可简单画出图形，可直接得出3+2m＜0．

7．如图，点A是反比例函数y（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为（　　）

A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4

【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为2，所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵AB＝AO，△ABO的面积为4，

∴S△ADO|k|＝2，

又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0，

则k＝﹣4．

故选：D．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．

8．设k＜0，那么函数y和y在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据正比例函数y＝kx的性质：k＞0，图象经过原点，在第一、三象限；反比例函数y的性质：k＜0，图象在第二、四象限的双曲线可得答案．

【解答】解：∵k＜0，

∴0，

∴函数y的图象经过原点，在第一、三象限，

∵k＜0，

∴y的图象在第二、四象限，

故选：D．

【点评】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质，关键是掌握两个函数的性质．

二．填空题（共10小题）

9．在反比例函数的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围是　m＞2　．

【分析】根据反比例函数的性质得到m﹣2＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：∵在反比例函数的图象每一条曲线上，y都随x的增大而减小，

∴m﹣2＞0，

∴m＞2．

故答案为m＞2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了反比例函数的性质．

10．若点A（1，﹣2）在反比例函数的图象上，则k的值是 　﹣2　．

【分析】把点A的坐标代入函数解析式，求k的值即可．

【解答】解：∵点A（1，﹣2）在反比例函数（k≠0）的图象上，

∴k＝1×（﹣2）＝﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．

11．反比例函数y与正比例函数y＝﹣2x的图象的一个交点为（﹣3，6），则另一个交点为 　（3，﹣6）　．

【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性即可求解．

【解答】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，

∵一个交点坐标为（﹣3，6），

∴另一个交点坐标为（3，﹣6）．

故答案为：（3，﹣6）．

【点评】本题考查了反比例函数的中心对称性，掌握反比例函数与正比例函数都是中心对称图形是解题的关键．

12．已知反比例函数y，当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 　0＜y≤2　．

【分析】根据反比例函数的性质得图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，而当x＝﹣1时，y＝2，所以当x≤﹣1时，0＜y≤2．

【解答】解：∵反比例函数的解析式为y，﹣2＜0，

∴图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，

x＝﹣1时，y＝2，

∴当x≤﹣1时，0＜y≤2．

故答案为：0＜y≤2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式．

13．如图，△ABC的顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值　7　．

【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值．

【解答】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），

∴设点A（a，3）

∵S△ABC（a﹣1）×3＝2

∴a

∴点A（，3）

∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，

∴k＝7

故答案为：7．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．

14．函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为　﹣2　．

【分析】设y，直接把点（1，﹣2）代入求解．

【解答】解：设函数的解析式为：y，

∵图象经过点（1，﹣2），

∴k＝1×（﹣2）＝﹣2，

故答案为﹣2．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，因为只有一个待定系数，所以只需知道经过的一点即可求得反比例函数的解析式．

15．若反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第一、三象限，则函数的解析式为　y　．

【分析】根据反比例函数的定义知m2﹣2＝﹣1，且2m﹣1＞0，据此可以求得m的值．

【解答】解：∵y＝（2m﹣1）是反比例函数，

∴m2﹣2＝﹣1，且2m﹣1＞0，

∴m＝±1，且m，

∴m＝1；

∴解析式为y，

故答案是：y．

【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．

16．设函数y与y＝x+4的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 　：2　．

【分析】把（a，b）代入y与y＝x+4，可得ab＝2，b﹣a＝4，利用整体代入的思想即可解决问题．

【解答】解：∵函数y与y＝x+4的图象的交点坐标为（a，b），

∴ab＝2，b﹣a＝4，

∴2，

故答案为：2．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用整体代入的思想解决问题．

17．若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y图象上，且x1＜x2＜0，则y1　＜　y2（填“＞”“＜”或“＝”）．

【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．

【解答】解：∵k＝﹣4＜0，

∴反比例函数的图象在第二、四象限，

∴在每一个象限内y随x的增大而增大，

∵x1＜x2＜0，

∴y1＜y2．

故答案为：＜．

【点评】本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．

18．如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．若BD＝10，则△ACD的面积 　     　．

【分析】把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式，根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．

【解答】解：把点A（a，4）代入反比例函数y，

得a2，

∴点A（2，4），

把A（2，4）代入y＝kx得，k＝2，

∴正比例函数的关系式为：y＝2x；

当y＝BD＝10时，10＝2x，

解得x＝5，

∴OB＝5，

当x＝5代入y，得y，即BC，

∴CD＝BD﹣BC＝10，

∴S△ACD（5﹣2）＝12.6．

故答案为：12.6．

【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入解析式是解题的关键．

三．解答题（共12小题）

19．已知A＝（a）．

（1）化简A；

（2）若点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y的图象的交点，求A的值．

【分析】（1）直接根据分式的混合运算法则计算即可得到答案；

（2）利用待定系数法，可得，然后代入可得答案．

【解答】解：（1）A＝（a）

．

（2）∵点P（a，b）是直线y＝x﹣2与反比例函数y的图象的交点，

∴将点P（a，b）分别代入得，，

∴，

∴A2．

【点评】此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解是解决此题关键．

20．如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B（a，b）在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且BE＝2CE．

（1）求证：BD＝2AD；

（2）若四边形ODBE的面积是6，求k的值．

【分析】（1）应从BE＝2CE入手，得到反比例函数上点E的坐标，进而得到反比例函数上另一点D的坐标，和B的纵坐标比较即可求解；

（2）把所给的四边形面积分割为长方形面积减去两个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．

【解答】（1）证明：∵BE＝2CE，B（a，b），

∴E的坐标为（a，b），

又∵E在反比例函数y的图象上，

∴kab，

∵D的横坐标为a，D在反比例函数y的图象上，

∴D的纵坐标为b，

∴BD＝2AD；

（2）解：∵S四边形ODBE＝6，

∴S矩形ABCO﹣S△OCE﹣S△OAD＝6，

即ababab＝6，

∴ab＝9，

∴kab＝3．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．

21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与双曲线y交于A，B两点，已知点A的横坐标为2．

（1）求k的值；

（2）求△OAB的面积；

（3）直接写出关于x的不等式x+3的解集．

【分析】（1）求出A（2，5），代入y即得k＝10；

（2）设直线AB交y轴于C，联立解析式求出B（﹣5，﹣2），由y＝x+3求出C（0，3），从而可得S△OAB＝S△BOC+S△AOC；

（3）数形结合直接写出解集．

【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝2，得y＝5，

∴A（2，5），

∴5，

∴k＝10；

（2）设直线AB交y轴于C，如图：

由得或，

∴B（﹣5，﹣2），

在y＝x+3中令x＝0得y＝3，

∴C（0，3），

S△OAB＝S△BOC+S△AOC

OC•|xA﹣xB|

3×[2﹣（﹣5）]

；

（3）由图象可知：不等式x+3的解集是﹣5＜x＜0或x＞2．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是数形结合，当自变量相同时，函数值大则在直角坐标系中对应的点在上方．

22．若函数y＝（m﹣2）是y关于x的反比例函数．

（1）求m的值；

（2）函数图象在哪些象限？在每个象限内，y随x的增大而怎样变化？

（3）当﹣3≤x时，求y的取值范围．

【分析】（1）根据反比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可；

（2）根据反比例函数的性质即可得出结论；

（3）分别令x＝﹣3，x，求出y的对应值即可．

【解答】解：（1）∵函数y＝（m﹣2）是y关于x的反比例函数，

∴，解得m＝﹣2；

（2）∵m＝﹣2，

∴反比例函数的关系式为：y．

∵﹣4＜0，

∴函数图象的两个分支分别位于第二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大；

（3）∵反比例函数的关系式为：y，

∴当x＝﹣3时，y；当x时，y＝8，

∴y≤8．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．

23．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y的图象有一个交点为P（2，m）．

（1）求反比例函数y函数表达式；

（2）根据图象，直接写出当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数y的y取值范围．

【分析】（1）将点P（2，m）代入y＝2x，求出P（2，4），将点P代入y即可求出反比例函数表达式；

（2）直接根据反比例函数的图象即可得出结论．

【解答】解：（1）将点P（2，m）代入y＝2x，

∴m＝4，

∴点P坐标为（2，4），

将点P（2，4）代入y，

∴k＝2×4＝8，

∴反比例函数为y；

（2）当﹣4＜x＜﹣1时，反比例函数图象在第三象限，

∵x＝﹣4时，y，当x＝﹣1时，y8，

∴当﹣4＜x＜﹣1时，y的取值范围是﹣8＜y＜﹣2．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答问题．

24．某公司从2017年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：

（1）分析表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律，直接写出y与x的函数关系式 　y　；

（2）按照这种变化规律，若2021年已投入资金6万元．

①预计2021年每件产品成本比2020年降低多少万元？

②若计划在2021年把每件产品成本降低到5万元，则还需要投入技改资金 　1.2　万元？（直接填空）

【分析】（1）利用已知数据可得横纵坐标的积为定值，进而得出答案；

（2）①利用所求函数解析式进而利用x＝6时求出y的值即可得出答案；

②利用y＝5代入进而得出答案．

【解答】解：（1）根据已知数据可得：xy＝36，

∴y与x的函数关系式是：y，

故答案为：y；

（2）①当x＝6时，y6，

则8﹣6＝2（万元），

答：预计2021年每件产品成本比2020年降低2万元；

②当y＝5时，x＝7.2，

7.2﹣6＝1.2（万元），

∴还需投入技改资金1.2万元，

故答案为：1.2．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．

25．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接OD，求△BOD的面积．

【分析】（1）将C、D代入反比例函数中即可求出m、n的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式；

（2）根据一次函数解析式求出点B坐标即可根据三角形面积计算公式求出S△BOD．

【解答】解：（1）由y2过点C（1，2）和D（2，n）可得：

，

解得：，

故y2，

又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得：

，

解得，

故y1＝﹣x+3．

（2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），

故OB＝3，

而点D到y轴的距离为2，

∴S△BOD3．

【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．

26．某车队要把4000吨物资从甲地运到乙地（方案定后，每天的运量不变）．

（1）从运输开始，每天运输的物资吨数y（单位：吨）与运输时间x（单位：天）之间有怎样的函数关系式？

（2）若物资需在8天之内送到，则车队每天运输的物资吨数应至少多少吨？

【分析】（1）根据每天运输的物资吨数＝物资总量÷运输时间，即可得到y与x的函数关系，

（2）把x＝8代入y与x的函数关系即可．

【解答】解：（1）物资的总量为4000吨，运输时间为x天，

∴每天运输的物资吨数y，

答：从运输开始，每天运输的物资吨数y（单位：吨）与运输时间x（单位：天）的函数关系为y；

（2）把x＝8代入函数关系式y得：y500吨，

答：若物资需在8天之内送到，则车队每天运输的物资吨数应至少500吨．

【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得到每天运输的物资的等量关系是解决本题的关键．

27．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点 B、C在x轴的正半轴上，AB＝8，BC＝6．对角线AC，BD相交于点E，反比例函数（x＞0）的图象经过点E，分别与AB，CD交于点F，G．

（1）若OC＝10，求k的值；

（2）连接EG，若BF+BE＝11，求△CEG的面积．

【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到E（7，4），然后把E点坐标代入，可求得k的值；

（2）利用勾股定理计算出AC＝10，则BE＝EC＝5，所以BF＝6，设OB＝t，则F（t，6），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标得到6t＝4（t+3），解得t＝6，从而得到反比例函数解析式为y，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算△CEG的面积．

【解答】解：（1）∵矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6，

而OC＝10，

∴B（4，0），A（4，8），C（10，0），D（10，8），

∵对角线AC，BD相交于点E，

∴点E为AC的中点，

∴E（7，4），

把E（7，4）代入，得k＝7×4＝28；

（2）∵AC10，

∴BE＝EC＝5，

∵BF+BE＝11，

∴BF＝6，

设OB＝t，则F（t，6），E（t+3，4），

∵反比例函数（x＞0）的图象经过点E、F，

∴6t＝4（t+3），解得t＝6，

∴k＝6t＝36，

∴反比例函数解析式为y，

∴OC＝12．

当x＝12时，y3，

∴G（12，3），

∴△CEG的面积3×3．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．

28．如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝2，点E是AB的中点，反比例函数y1（k≠0且x＜0）的图象经过点E，交BC于点F，直线EF的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．

（1）求反比例函数y1的解析式和直线y2＝mx+n的解析式；

（2）在反比例函数y1的图象上找一点D，使△ADE的面积为1，求点D的坐标．

【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到E（﹣2，﹣2），代入y1（k≠0且x＜0）求得反比例函数的解析式，进而求得F（﹣1，﹣4），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；

（2）设D为（m，），由△ADE的面积为1，得到1，解得m＝﹣3或﹣1，即可求得D的坐标为（﹣3，）或（﹣1，﹣4）．

【解答】解：（1）∵点E是AB的中点，AB＝4，

∴AE＝2，

∵四边形OABC是矩形，BC＝2，

∴E（﹣2，﹣2），

∵反比例函数y1（k≠0且x＜0）的图象经过点E，

∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，

∴反比例函数的解析式为y1，

当y＝﹣4时，x＝﹣1，

∴F（﹣1，﹣4），

把F（﹣1，﹣4）和E（﹣2，﹣2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，

∴，

∴直线EF的解析式为y2＝﹣2x﹣6；

（2）设D为（m，），

∵△ADE的面积为1，

∴1，

解得m＝﹣3或﹣1，

∴D的坐标为（﹣3，）或（﹣1，﹣4）．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

29．如图，一次函数y＝﹣2x+8与函数y（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，2）两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D．

（1）求k的值；

（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；

（3）在x轴上找一点P，连接AP，BP，使△ABP周长最小，求点P坐标．

【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值；

（2）由一次函数解析式求得与x轴的交点M的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM即可求得；

（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴的交点即为所求．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8与函数y（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，2）两点，

∴6＝﹣2m+8，2＝﹣2n+8，

解得m＝1，n＝3，

∴点A（1，6），B（3，2），

∴k＝1×6＝6；

（2）设一次函数图象与x轴的交点为M，

在一次函数y＝﹣2x+8中，令y＝0，则求得x＝4，

∴M（4，0），

∴S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM8；

（3）由（1）知A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），

则点A关于对称轴的对称点A′的坐标（1，﹣6），

设直线BA′的解析式为y＝kx+b，

将点B、A′坐标代入，得：，

解得：，

则直线BA′的解析式为y＝4x﹣10，

当y＝0时，由4x﹣10＝0得：x，

∴点P的坐标为（，0）．

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、三角形面积，轴对称﹣最短路线问题，灵活运用待定系数法求出函数解析式、正确作出点A关于x轴的对称点A′是解题的关键．

30．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y（k＞0，x＞0）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交函数图象于点E．

（1）则k的值为 　2　；

（2）点D的坐标为 　（t，t）　；点E的坐标为 　（，t）　（用含t的式子表示）；

（3）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U的最大值．

【分析】（1）先求出点A的横坐标，再代入直线y＝2x中求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k；

（2）先求出点C的纵坐标，代入直线y＝2x中求出点D的横坐标，代入y求得点E的横坐标，即可得出结论；

（3）求出CE，进而得出S1，由A，D的坐标，求出DEt，从而得出S2＝S△ADEt2t1，进而得出U＝S1﹣S2（t﹣1）2，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵AB⊥y轴，且AB＝1，

∴点A的横坐标为1，

∵点A在直线y＝2x上，

∴y＝2×1＝2，

∴点A（1，2），

∴B（0，2），

∵点A在函数y上，

∴k＝1×2＝2，

故答案为：2；

（2）∵OC＝t，

∴C（0，t），

∵CE∥x轴，

∴点D点E的纵坐标为t，

∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，

∴xt，

∴点D（t，t），

∵点E在函数y的图象上，t，

∴x，

∴点E（，t）；

故答案为：（t，t），（，t）；

（3）∵E（，t）；

∴CE，

∵B（0，2），

∴OB＝2．

∴S1＝S△OBEOB•CE2，

∵A（1，2），D（t，t），

∴DEt，

∵CE∥x轴，

∴S2＝S△ADEDE（yA﹣yD）（t）（2﹣t）t2t1，

∴U＝S1﹣S2（t2t1）t2t+1（t﹣1）2，

∵点C在线段OB上（不含端点），

∴0＜t＜2，

∴当t＝1时，U最大值为．

【点评】此题主要考查了待定系数法，直线与双曲线的交点问题，平行于x轴的直线的特点，二次函数的性质，三角形的面积公式，求出点E的坐标是解本题的关键．