第二十八章 锐角三角函数【题型专练】——2022-2023学年人教版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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第二十八章 锐角三角函数
考查题型一 求角的正弦值
典例1．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）在中，，若，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义，可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：；
故选C．
【点睛】本题主要考查求锐角三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
变式1-1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．
【详解】解：∵中，，，，
∴,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
变式1-2．（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（     ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．
【详解】解：如图，连接AC

在Rt△BEC中，BC=
∵AD⊥BC，
∴×BC×AD=8，
即 ，
解得 ，
在Rt△ADB中， ，

故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．
变式1-3．（2022·山东·泰山外国语学校九年级阶段练习）如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查正弦的定义．熟练掌握正弦的定义是解题的关键．
考查题型二 求角的余弦值
典例2．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosA的值是（      ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作，根据勾股定理和余弦的定义进行计算即可．
【详解】解：过点C作 ，
由图可知：，，
∴ ，
故选C．

【点睛】本题考查网格中的三角函数值．解题的关键是：添加合适的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理和三角函数的定义进行计算．
变式2-1．（2022·山东·济南高新区东城逸家初级中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的余弦值为（   ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB==，
∴∠A的余弦值为=，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
变式2-2．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，计算出即可得到．
【详解】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
变式2-3．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，

∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
考查题型三 求角的正切值
典例3．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）如图，在中，于D，若，，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理证明，求即可．
【详解】解：由勾股定理知，，
∴，
根据同角的余角相等，，
∴，
故选B．
【点睛】本题利用了等角进行转换求解，考查三角函数，准确的计算是解决本题的关键．
变式3-1．（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级阶段练习）如图，正方形的边长为4，E为边的中点，点F在边上，且，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用一线三等角模型可以证明，利用相似三角形的性质可得，则，即可求出．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵E是的中点，，
∴，
∴解得：，
∴ ，
在 中，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及锐角正切函数值的计算，证明是本题的解题关键．
变式3-2．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）在中，、、，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由勾股定理求出，再由正切的定义完成求解．
【详解】解：由勾股定理知：
，
，
故答案选：A．
【点睛】本题考查勾股定理和正切的定义，准确求解是解题的关键．
变式3-3．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（        ）

A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理可得，然后求出∠AED的正切值即可．
【详解】解：由圆周角定理得：，
∴tan∠AED=tan∠ABD=．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正切三角函数、圆周角定理等知识点，利用圆周角定理得出是解答本题的关键．
考查题型四 特殊角三角函数值的混合运算
典例4．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运算即可．
【详解】原式

．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基础．
变式4-1．（2022·西藏·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可．
【详解】解：

．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键．
变式4-2．（2022·山东菏泽·中考真题）计算：．
【答案】3
【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式=2+4×-2+1
=2+2-2+1
=3．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
变式4-3．（2022·广东深圳·中考真题）
【答案】
【分析】根据零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，准确求解零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂是解题的关键．
考查题型五 解直角三角形
典例5．（2022·湖南·岳阳市第十九中学九年级期末）已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，．求：

(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
【答案】(1)5；
(2)．

【分析】（1）根据，求出AB，再求出BD即可解答；
（2）在Rt△ADC中， E是AC的中点，推出∠EDC＝∠C，则＝，即可求解．
（1）
解：在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴．
∵AD＝12，
∴．
在Rt△ABD中，∵，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）
解：在Rt△ADC中，E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴＝＝．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线的性质．
变式5-1．（2022·河北沧州·九年级期末）如图，在中，，，点D在边BC上，且．

(1)求的值；
(2)若BD=2CD，求的值．
【答案】(1)
(2)sinB=

【分析】（1）根据题意先求出CD的长，再根据勾股定理求得AD的长，最后求出；
（2）先求出BC的长，然后根据勾股定理可以得到AB的长，最后求出的值．
（1）（1）在Rt△ACD中，tan∠CAD==，AC=3，∴CD=2，∴AD=，∴cos∠CAD==；
（2）∵BD=2CD，CD=2，∴BC=6∴在Rt△ABC中， AB=，∴sinB=
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式5-2．（2022·山东·东平县青峰山实验学校九年级阶段练习）如图，在中，AD是BC边上的高，，，求BC的长．

【答案】
【分析】根据题意可以分别求出的长，从而可以得到的长．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即BC的长．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
变式5-3．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，已知在四边形中，，，，．

(1)的长；
(2)如果点E为的中点，连接，求的正切值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先证明，推出，由此即可解决问题；
【详解】（1）解：在中，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
考查题型六 构造直角三角形求边长或面积
典例6．（2020·甘肃·甘州中学九年级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长．

【答案】6
【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：延长DA交CB的延长线于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB=120°，
∴∠EAB=60°，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=24，
∵∠D=90°，
∴∠C=60°，
∴DE= CD=30，
∴AD=DE-AE=6．

【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式6-1．（2021·安徽淮南·八年级期末）已学校操场边有一块不规则的四边形。八年级（1）班的数学学习小组想要求出它的面积，经过测量知：，请你根据以上测量结果求出不规则四边形的面积？

【答案】36
【分析】连接，构造直角三角形，用勾股定理即可．
【详解】解：如图，连接，

在△，
又∵在△
∵，
∴
∴△是直角三角形，，
∴
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握构造直角三角形是解题的关键．
变式6-2．（2019·北京门头沟·九年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°，，求AD的长．

【答案】．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，在Rt△CDE中，∠C = 60°，，则可求出DE,由已知可推出∠DBE =∠ADB = 45°，根据直解三角形的边角关系依次求出BD，AD即可.
【详解】过点D作DE⊥BC于E

∵ 在Rt△CDE中，∠C = 60°，，
∴，
∵ AB⊥BD，∠A = 45°，
∴∠ADB = 45°.
∵AD∥BC，
∴∠DBE =∠ADB = 45°
∴ 在Rt△DBE中，∠DEB = 90°，，
∴ ，
又∵ 在Rt△ABD中，∠ABD= 90°，∠A = 45°，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，正确作出辅助线是解题的关键.
变式6-3．（2022·山东·测试·编辑教研五九年级阶段练习）在中，，，为锐角且．

(1)求的面积；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出；
（3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值．
（1）
解：过点作，垂足为，

∴，
∵为锐角且，
∴，
∴，
∴，
∴，
在，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴的面积为．
（2）
∵，，
∴，
在中，
．
∴的值为．
（3）
在中，，，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．
考查题型七 锐角三角函数的应用——仰角俯角问题
典例7．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．

(1)求，两点的高度差；
(2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】(1)9m
(2)24m

【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．
（2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，

在中，，，
．
．
答：，两点的高度差为．
（2）过点作于，
由题意可得，，
设，
在中，，
解得，
在中，，，
，
解得，
．
答：居民楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
变式7-1．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：）

【答案】该建筑物的高度约为31.9m
【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解．
【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H
则，，
∵
∴设，则

在中，
∴
∴
∴（负值舍去）
∴，
∴，
设，则
在中，
∵
∴
在中，
∵
∴
即
∵
∴
∴
∴
答：该建筑物的高度约为31.9m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式7-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）

【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m
【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解．
【详解】解：延长DF交AB于点G，

由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FGx（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°，
∴x＝44，
经检验：x＝44是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式7-3．（2022·辽宁鞍山·中考真题）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为的励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的底端到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼条幅方向前行到达点处（楼底部点与点，在一条直线上），在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端到地面的距离的长度．（结果精确到，参考数据：，，）

【答案】条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【分析】设AC与GE相交于点H，根据题意可得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，然后设CH＝x米，则AH＝（12＋x）米，在Rt△CHF中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而求出GH的长，最后再在Rt△AHG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：设AC与GE相交于点H，

由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC＋CH＝（12＋x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH•tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF＋FH＝（8＋x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH＋HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
变式7-4．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）

【答案】m
【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，
设CF＝x，
∴CD＝CF+DF＝（x+3），
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31°，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
考查题型八 锐角三角函数的应用——方位角问题
典例8．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）

【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答．
【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，

由题意得：
EF=BC=33.2海里，AG∥DC，
∴∠GAD=∠ADC=53°，
在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，
∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里），
∴AE=AF+EF=64（海里），
在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），
∴货船与A港口之间的距离约为80海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
变式8-1．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）

(1)求点D与点A的距离；
(2)求隧道的长度．（结果保留根号）
【答案】(1)点D与点A的距离为300米
(2)隧道的长为米

【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解；
（2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长
（1）
由题意可知：，
在中，
∴（米）
答：点D与点A的距离为300米．
（2）
过点D作于点E．

∵是东西走向
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴（米）
答：隧道的长为米
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
变式8-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，）

【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析
【分析】如图，过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt△ACD和Rt△BCD，求出CD即可．
【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：

根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，
tan∠DBC=，即=1
∴CD=BD
设BD=CD=xkm，
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，
∴tan∠DAC=，即
解得x=15+15≈40.98，
∵40.98km>40km
∴这艘船继续向东航行安全．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用；解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义．
变式8-3．（2022·安徽·中考真题）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．

【答案】96米
【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴是直角三角形，
∴，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt△ACD中，，CD=90米，
∴米，
∵，
∴
∴，
∴ 即是直角三角形，
∴，
∴米，
∴米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．
变式8-4．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．

(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
【答案】(1)283米
(2)经过点到达点较近

【分析】（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形ACHE是矩形，从而得到米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解；
（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．
（1）解：过作的垂线，垂足为，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，∴米，根据题意得：∠D=45°，∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴（米）；
（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在中，∴米，∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，∴（米），∴（米），∴经过点到达点，总路程为，∴经过点到达点较近．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
考查题型九 锐角三角函数的应用——其他问题
典例9．（2022·江苏盐城·中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．

(1)求、两点之间的距离；
(2)求长．
（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
【答案】(1)6.7m
(2)4.5m

【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（1）
解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．

在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
（2）
如图2，过点作，垂足为，

则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
变式9-1．（2022·吉林·中考真题）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）

【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【分析】根据正弦的概念即可求解．
【详解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
变式9-2．（2022·湖南常德·中考真题）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，）

【答案】70
【分析】过点作，交于点，则四边形是矩形，可得，在中，求得，根据，，求得，进而求得，根据即可求解．
【详解】如图，过点作，交于点，则四边形是矩形，
，

，，
在中，（米），
，

，，米

，
解得，
顶端到的距离为40米，即米
（米）．
（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
变式9-3．（2022·江西·中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求雕塑的高（即点G到的距离）．
（参考数据：）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高为7.5m，详见解析

【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；
（2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论．
（1）
证明：∵，
∴∠CDG＝∠A，
∵∠FEC＝∠A，
∴ ∠FEC＝∠CDG，
∴EF∥DG，
∵FG∥CD，
∴四边形DEFG为平行四边形；
（2）
如图，过点G作GP⊥AB于P，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝6.2，
∵AD＝1.6，
∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
在Rt△APG中，sinA= ，
∴=0.96，
∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
答：雕塑的高为7.5m.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．
变式9-4．（2022·四川成都·中考真题）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）

【答案】约为
【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△中，根据正弦函数求得的值．
【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，
∴OA=，
在Rt△中，，cm，
∴cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．