专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题-2023年中考数学二轮专题提升训练，共35页。试卷主要包含了A型等内容，欢迎下载使用。

专题19 寻找或构建相似三角形的基本模型解决问题
第一部分 典例剖析＋针对训练
类型一 A型
典例1 （2021•徐州）
1．如图，在中，点分别在边上，且，与四边形的面积的比为__________．

针对训练
（2022•凉山州）
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（    ）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm
类型2   X型
典例2（2022秋•闵行区期末）
3．如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（    ）

A． B． C． D．
针对训练
（2022秋•保定期末）
4．如图，已知是的角平分线，E是延长线上的一点，且．

(1)求证：．
(2)若，求的长．
类型3 “斜交线”型（斜A型）
典例3
5．如图，在中，，，，D是上一点，，，垂足为E．

(1)求证：；
(2)求线段的长．
针对训练
（2022秋•射洪市期中）
6．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为的速度，当P、Q运动____________时，与相似．

类型4 “一线三等角”型（K型相似）
典例4 （2022•兴化市模拟）
7．在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝4，CD＝2，则△ABC的边长为 ___．

典例 5（2022秋•黄浦区期末）
8．已知，如图1，在四边形中，，，．
　　
(1)当时（如图2），求的长；
(2)连接，交边于点，
①设，，求关于的函数解析式并写出定义域；
②当是等腰三角形时，求的长．
针对训练
9．如图，在等边中，点P是上一点，点D是上一点，．

(1)若，，求的边长；
(2)若，，，求y与x之间的函数关系，并求y的最大值．
类型5 “母子”型
典例6（2022秋•黄浦区期末）
10．如图，在矩形中，过点D作对角线的垂线，垂足为E，过点E作的垂线，交边于点F，如果，，那么的长是___．

针对训练
（2017•泰安模拟）
11．如图所示，在中，是的中点，交于点，已知，连接交于点，下列结论：
①；②；③；④，其中正确的有　　

A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
类型6 “手拉手”型
典例7（2021•南通）
12．如图，正方形中，点在边上（不与端点，重合），点关于直线的对称点为点，连接，设．

(1)求的大小（用含的式子表示）；
(2)过点作，垂足为，连接．判断与的位置关系，并说明理由；
(3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点，连接，．当为等腰三角形时，求的值．
针对训练
（2022秋•靖江市期末）
13．如图，已知中，，，点在边上，．

(1)求证：；
(2)当，时，求的长．
第二部分 专题提优训练
（2022秋•海港区期末）
14．如图，在中，是延长线上一点，分别与交于点．下列结论：① ② ③ ④ ⑤，其中正确的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
（2022•环翠区一模）
15．如图，把两个含30°角的两个直角三角板按如图所示拼接在一起，点N是AB边的中点，连接DN交BC于点M，则的值为（    ）

A． B． C． D．
（2021秋•藤县期末）
16．如图，点A，B，C在同一直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，则下列结论：①∠D＝∠CBE，②ABD∽CEB，③，其中正确的结论有（    ）个

A．0 B．1 C．2 D．3
（2022•两江新区模拟）
17．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（    ）

A． B． C． D．
（2021秋•南京期末）
18．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（      ）

A．4 B． C． D．5
（2019•阜新）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E，若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为______．

（2022秋•黄浦区期末）
20．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米．

（2022秋•鼓楼区校级期末）
21．如图，在中，，，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为______．

（2022秋•静安区期末）
22．在等腰直角中，，点D为射线上一动点（点D不与点B、C重合），以为腰且在的右侧作等腰直角，，射线与射线交于点E，联结．

(1)如图1所示，当点D在线段上时，
①求证：；
②设，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)当时，求的长．
（2022秋•松原期末）
23．已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点、点的对应点分别是点、点．

(1)感知：如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是 　　(不需要证明)；
(2)探究：如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
(3)应用：如图③，若，、交于点，则 　　度．

参考答案：
1．
【分析】先证明，再根据相似三角形的性质，即可得到，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴  
∴
∵∠B=∠B，
∴，
∴
∴与四边形的面积的比=．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
2．C
【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论．
【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
3．D
【分析】求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵外经为，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的长．
4．(1)见解析
(2)2

【分析】（1）是角平分线可得，可得，从而，再利用对顶角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键
5．(1)见解析
(2)4

【分析】（1）根据相似三角形的判定方法可证明；
（2）根据相似三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴．
又∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出是解题关键．
6．或
【分析】设运动时间为，分及两种情况考虑，利用相似三角形的性质即可完成．
【详解】设运动时间为，则，，
当时，则，
即，
解得：；
当时，则，
即，
解得：；
综上，当的值为或；
故答案为：或．
【点睛】本题是与相似三角形有关的动点问题，考查了相似三角形的性质，注意分类讨论．
7．8
【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此知 ，即 ，解之可得．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP＋∠APB＝180°−60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB＋∠DPC＝180°−60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
∴，
∵BP＝4、CD＝2，
∴，解得AB＝8，
∴△ABC的边长为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
8．(1)；
(2)的长为或．

【分析】（1）在中，解直角三角形得，，再证即可得解；
（2）①先求得，，根据， 可得定义域，证明可得关于的函数解析式；②分两类讨论求解，当时，作于点Q，作于点P，证得解，当时，作垂直直线于点N， 证得解．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
（2）解：①如图2，作于点N，

∵，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
②∵，
∴，
∴，
当时，作于点Q，作于点P，如下图，易知四边形是矩形，

∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
当时，作垂直直线于点N，如下图，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵⊥，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
综上的长为或．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、矩形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
9．(1)3；
(2)，最大值为．

【分析】（1）根据等边三角形性质求出，，推出，证得，得到，从而得到，求解即可得到的边长；
（2）由（1）知，据此得到y与x之间的函数关系式，再将其化为顶点式，依据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即的边长为3；
（2）解：由（1）可知，，即，
则，
，
当x时，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，二次函数的性质，解题关键是推出，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
10．
【分析】利用矩形的性质求出，利用三角形的面积、勾股定理求出、的长，再利用等角的余角相等说明、，得，最后利用相似三角形的性质得结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键．
11．C
【分析】要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得，利用外角与内角的关系可以得出，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出，根据等高的两三角形的面积关系求出，，利用角的关系代替证明，从而得出与不相似．根据以上的分析可以得出正确的选项答案．
【详解】解：是的中点，且，
是的垂直平分线，，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，即，故②正确；

作于点，交于点，连接

，，
，，，
，，
由与相互平分知，四边形是平行四边形，
，，
，，，
在与中，，
，
，，且，
，
，
，
，故③正确；
，且，，
，
，
，不成立，故④错误．
综上所述：正确的答案有3个．
故选：．
【点睛】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识，正确添加辅助线并灵活应用相关知识是解题的关键．
12．(1)
(2)，见解析
(3)

【分析】（1）由轴对称的性质可得，，可求，由等腰三角形的性质可求解；
（2）通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可证；
（3）分三种情况讨论，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）如图1，连接，

∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（2），
理由如下：如图2，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴点，点，点，点四点共圆，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴；
如图3，当时，过点作于，

∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴（），
∴，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
即点与点重合，则点与点重合，
∵点在边上（不与端点，重合），
∴不成立，
综上所述：的值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出，再利用“两边对应成比例，夹角相等”判断，最后利用相似三角形的性质得结论；
（2）先利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出的长，进而得到，再利用相似三角形的性质求出，最后利用线段的和差关系得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的性质和判定是解决本题的关键．
14．A
【分析】根据平行四边形对边平行的特点，判定，，，再根据相似三角形对应边成比例即可作出判断．
【详解】解：在中，
AB//CD


故①，②正确；
在中，
AD//BC


故③正确；
AD//BC




故④正确；



故⑤正确，即正确的个数为5个，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．B
【分析】连接CN，设AC=2a，则可得AB、CN、BC、CD及BD的长，且CN∥DB，则可得△CMN∽△BMD，可求得的值，从而求得结果的值．
【详解】如图，连接CN，设AC=2a．
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD=30°，
∴AB=2AC=4a，，∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°．
由勾股定理得：，
∴．
∴由勾股定理得：．
∵N是AB的中点，则CN是斜边AB上的中线，
∴．
∴AC=CN=AN．
∴△CAN是等边三角形．
∴∠ANC=∠ABD=60°．
∴CN∥DB．
∴△CMN∽△BMD．
∴．
即．
∵，
∴．

故选：B．
【点睛】本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，本题涉及的知识点较多，有一定的综合性，但题目难度不大．
16．D
【分析】根据三角形的外角性质以及∠A＝∠DBE＝∠C，可判断①正确，进而得ABD∽CEB，判断②正确，最后根据相似三角形的性质判断③成立．
【详解】解：∵∠A＝∠DBE＝∠C，∠CBD=∠DBE+∠CBE=∠A+∠D，
∴∠D＝∠CBE，故①正确，
∴ABD∽ CEB，故②正确，
∴ ，故③正确，
∴正确的结论有3个，，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
17．B
【分析】过点作的平行线，分别交于点，先根据矩形的性质与判定可得四边形和四边形都是矩形，设，则，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的值，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点，

四边形是矩形，，
，
四边形是矩形，
，
同理可得：四边形是矩形，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得或，
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意；不是所列分式方程的根，舍去，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
18．B
【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3
∴EF=
如图：过G作GH⊥DE垂足为H，
∵DE⊥EF，EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形
∴HG=EF=
∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠ADE=90°
∵DE⊥EF
∴∠AED+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠ADE
又∵∠A=∠B=90°
∴△EBF∽△DAE
同理：△DAE∽△GHD
∴△EBF∽△GHD
∴,即,解得DG=.
故选B.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
19．
【分析】先求出AE长，根据相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式，代入求出DE长即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB===10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA=90°，AE==5，
∴∠DEA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
即
∴DE=．
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．
20．或
【分析】先由勾股定理求得厘米，再分情况讨论，利用三角形相似求解即可．
【详解】解：连接，
∵，厘米，厘米，厘米，
∴即，
∴厘米，
如下图，延长，相交于点N，设厘米，

∵，，厘米，
∴，
∴即，
∴厘米，厘米，
平方厘米；
如下图，延长，相交于点M，设厘米，

∵，，厘米，
∴，
∴即，
∴厘米，
平方厘米，
故答案为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
21．
【分析】以为边构建出和相似的三角形，通过将边转化为其他边来求值．
【详解】解：如图所示，以为底边向上作等腰，使，连接．

由题意可得和均为顶角为的等腰三角形，
可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小，即此时最小，

如图所示，设，延长与交K，此时的最小值，
可得，
∵，
∴，
∴QK，
∵， ，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题．
22．(1)①见解析；②
(2)

【分析】（1）①由和是等腰直角三角形，证明，由相似三角形的性质和角相等直接证明即可；②过点D作于点H，通过证明是等腰直角三角形和相似三角形的性质求出，设，则，根据等腰直角三角形的性质表示出的长度，代入整理即可；
（2）分两种情况：当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，利用相似三角形的性质和正切函数建立方程，进行求解即可．
【详解】（1）①∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
②过点D作于点H，如图，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①当点D在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∵，方程无解，
∴这种情况无意义；
②当点D在线段的延长线上时，如图，

∵，，
过点D作于G，
∴，
∴，
整理得，解得（负舍），
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程，能够准确添加辅助线进行分析是解题的关键．
23．(1)相等
(2)，见解析
(3)

【分析】（1）感知：由旋转知，，是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案；
（2）探究：由旋转知，可证明，从而结论不变；
（3）应用：设与相交于点，由，得，则，再利用三角形内角和解决问题．
【详解】（1）感知：将绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，，
，
即，
故答案为：相等；
（2）探究：，证明如下：
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
；
（3）应用：，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，
，
设与相交于点，

，
，
，，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键