专题23 二次函数与三角形的综合-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题23 二次函数与三角形的综合-2023年中考数学二轮专题提升训练，共40页。试卷主要包含了二次函数与直角三角形的综合，二次函数与等腰直角三角形的综合等内容，欢迎下载使用。
类型一 二次函数与直角三角形的综合
（2022秋•利川市期末）
1．如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点P为直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值；
(3)如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
针对训练
（2022秋•渝中区期末）
2．抛物线 与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型一 二次函数与等腰三角形的综合
典例2（2021秋•重庆期末）
3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
针对训练
（2022秋•代县期末）
4．综合与探究
如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线和直线的函数解析式．
(2)是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点的坐标．
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022秋•宁陵县期中）
5．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 二次函数与等腰直角三角形的综合
典例3（2022秋•洛川县校级期末）
6．已知抛物线：与轴交于，两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)平移抛物线得到新抛物线，使得新抛物线经过原点，且与轴的正半轴交于点，记新抛物线的顶点为，若是等腰直角三角形，求出点的坐标．
针对训练
（2022秋•铁西区校级期末）
7．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当的面积最大时，求点的坐标．
(3)过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连接，请问是否存在点使为等腰直角三角形？请直接写出点的坐标．
第二部分 专题提优训练
（2022秋•渝中区校级期末）
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴的交点为，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为的中点，过点作的平行线交轴于点，点为抛物线上第二象限内的一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将该抛物线向左平移得到抛物线，使经过原点，与原抛物线的交点为，点为抛物线对称轴上的一点，若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
（2022秋•鞍山期末）
9．在平面直角坐标系中，抛物线：经过，两点；
(1)若抛物线：经过，求抛物线解析式；
(2)抛物线：直线有，两个交点，为坐标原点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值；
(3)直线分别与抛物线：，抛物线：恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求的值．
（2022秋•前郭县期末）
10．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C(0，4)，与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A （ ， ），B （ ， ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m，0)，试求PQ+PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022•台山市校级一模）
11．如图，抛物线的图象与直线有唯一交点．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)若点拋物线与轴的交点分别为点、，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．
(3)直线与轴交于点，点是轴上一动点，请你写出使是等腰三角形的所有点的横坐标．
（2022秋•通州区期末）
12．如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围．
（2022秋•临湘市期末）
13．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点是第一象限抛物线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标．
（2022•甘井子区校级模拟）
14．已知抛物线的顶点A在x轴上．，是抛物线上两点，若，则；若，则，且当y的绝对值为1时，为等腰直角三角形（其中）．
(1)求抛物线的解析式；（用含有m的式子表示）
(2)当，过点Q作轴，若，探究与之间数量关系；
(3)直线交抛物线于点D，将抛物线以直线为对称轴向右翻折得到新抛物线，直线y=kx经过点D，交原抛物线的对称轴于点E，交新抛物线于另一点H，问的面积是否存在最大值或最小值，若存在，求出面积最值和m的值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)有最大值为6
(3)M的坐标是或
【分析】（1）把，代入抛物线的解析式即可求解；
（2）求出直线的解析式是，设点，则，可得，当时，有最大值为6；
（3）设，先求,，，分三种情况讨论：①当时；②当时，； ③当时，分别求出t即可，
【详解】（1）解：把，代入抛物线的解析式得：

解得：，
∴；
（2）过点 作轴交与点E
当 时， ，
∴ ，
设点，直线的解析式是，
把，代入得，
解得： ，
∴直线的解析式是，
∵轴交于E，
∴，
∴
∵=
∴当时，有最大值为6，
（3）存在点M，使得为直角三角形，理由如下：
抛物线的对称轴是直线 ，设，
∵，
∴,，
当 时，
则有
∴，
解得：
∴；
②当时，
则，
∴，
∴解得：
∴；
③当时，
则，，
∴，
整理得：
解得：
∴方程无解
∴综上所述，M的坐标是或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，两点间的距离，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理是解题的关键．
2．(1)
(2)，
(3)①；②存在，或
【分析】（1）将点和代入解析式，列方程组求解即可得到答案；
（2）令求出点C坐标，从而求出直线解析式，用t表示点P点坐标，从而得到关于t的函数，求出最值即可得到答案；
（3）①根据题意用t表示点H的坐标根据面积列方程求解即可得到答案；②设出点坐标，分，两类讨论，根据勾股定理逆定理即可得到答案．
【详解】（1）将点和代入解析式，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）由题意可得P点坐标为，
令得，
∴点C坐标为，
设直线的解析式为，将B、C坐标代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，的值最大， ，
此时点的坐标为：；
（3）①由题意可得，如图1，
∵，轴，
∴点C、H纵坐标相同，点N、H、P的横坐标相同，
∴点H的坐标为，点N的坐标为，
∵，
∴，
即，
解得，（不符合题意舍去）
∴点P的坐标为；
②当时，如图2所示，
∵，
∴点Q、P的纵坐标相同，
∴此时Q点坐标为，
即；
当时，如图3所示，
设，
根据勾股定理得，
解得 ，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，根据二次函数性质求最值问题，动点围成直角三角形问题，解题的关键是根据题意设出点的坐标，利用性质列式求解．
3．（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
∴二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得

直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
4．(1)；
(2)；的最大值为
(3)或 或或 或
【分析】（1）根据两点、的坐标解出二次函数的解析式，根据、两点的坐标解出直线的 解析式；
（2）建立二次函数的关系式，求出面积的最大值及此时点D的坐标
（3）分三种情况讨论即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入得，
，解得，
，
，
，
设直线的解析式为，
把 代入得，
，
，
；
（2）解：如图，
过点 作 于点 交 于点，
设， ，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
；
（3）解：二次函数的对称轴为：，设点的坐标为，
①当为等腰三角形的底边时，中点的坐标为
作直线且过，设的直线方程为 ，
，解得
方程为
令， ，
；
②当为等腰三角形的腰，为顶角时，
，
解得或，
或；
③当为等腰三角形的腰，为顶角时，
，
解得或，
或，
综上所述，点的坐标为或 或或 或．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与三角形的综合应用，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．
5．(1)
(2)存在，或或或
【分析】（1）先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值即可；
（2）存在以，，顶点的等腰三角形，先由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点，
当时，由得；当时，，
，，
把、代入，得，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：存在．
理由如下：
，
该抛物线的顶点为，对称轴为直线，
设，
①等腰三角形以为底边，如图1所示：
，
由得，或，
，，；
②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示：
，
，
，
，
；
③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示：
，
，
，
，
，，
，解得，
，
，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，在解第（2）题时，应注意分类讨论，此题难度较大，属于压轴题．
6．(1)
(2)或
【分析】（1）把，代入求解即可；
（2）设新抛物线的顶点为，根据是等腰直角三角形，可得，由新抛物线经过原点，得，故，求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：过作轴于，如图：
将抛物线平移得到新抛物线，
两抛物线形状相同，
设新抛物线的顶点为，则新抛物线解析式为，
是等腰直角三角形，轴，
，即，
又新抛物线经过原点，
，即，
，
解得或或，
时，新抛物线顶点是原点，、、重合，不能构成，故舍去，
时，，此时，
时，，此时，
是等腰直角三角形，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式及图像的平移，解题的关键是设出平移后抛物线的解析式，根据已知列方程．
7．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为，
【分析】（1）根据题意,由待定系数法即可求出答案；
（2）过点作轴的垂线，交线段于点，由，即可得到答案；
（3）由题意可知，，若是等腰直角三角形，则，进而求解．
【详解】（1）解：抛物线与坐标轴分别交于点，，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：，，
设直线的表达式为，则，解得，
直线的表达式为：，
点的横坐标为，则，
过点作轴的垂线，交线段于点，如图所示：
，
，
，抛物线开口向下，有最大值，
当时，的值取最大，此时；
（3）解：存在，理由如下：
由题意可知，，若是等腰直角三角形，则，
由（1）可得，，
轴，
，
，
，解得（舍，，（舍，，
当是等腰直角三角形时，点的坐标为，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，综合运用相关知识点是解题的关键．
8．(1)
(2)四边形面积的最大值为，此时点
(3)满足条件的点的坐标为、、、，过程见解析
【分析】（1）由点的坐标可知的长，根据，即可得出点的坐标以及，再根据点、的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）由、的坐标可得，，求出直线的解析式，由可得的解析式以及点的坐标，设，利用分割图形求面积法即可找出关于的函数关系式，利用配方法以及二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）求出抛物线，可得点的坐标为，设，分别表示出，，分三种情况，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，
，
，
，
，
将、代入中得，解得，
所求抛物线解析式为：；
（2）解：连接，如图所示：
、，点为的中点，
，
设直线的解析式为，将，代入表达式得，解得，
直线的解析式为，
，
设的解析式为，
，解得，
的解析式为，
点，
设，
，
，
当时，最大，且最大值为，此时点；
（3）解：，
抛物线向左平移个单位得到抛物线，使经过原点，
，对称轴为直线，
联立，解得，
点的坐标为，
设，
，
，
，
，
①当时，，
，解得，
；
②当时，，
，解得，
；
③当时，，
，解得或，
或，
综上可知：满足条件的点的坐标为、、、，．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，用待定系数法求得二次函数的解析式，利用分类讨论思想是解决本题的关键．
9．(1)
(2)或或
(3)或
【分析】（1）把，，分别代入抛物线解析式，解方程组，即可求解；
（2）把，，分别代入抛物线解析式，可得，即可求得，，再分两种情况：和，分别计算，即可分别求得；
（3）首先可求得：，：，分别联立成方程，即可求得三个公共分别点为，，，再分①当为中点时；②当为中点时；③当为中点时，根据求中点坐标公式，即可分别求得．
【详解】（1）解：把，，分别代入抛物线解析式，得：
，
解得，
；
（2）解：把，分别代入抛物线解析式，得：
，
解得
，
解得，，
，，
设，，
当时，，
解得或；
当时，，
解得，
综上，a的值为或或；
（3）解：∵经过，，
∴，
解得，
∴：，：，
∴，，
解得：，，
，，
，，
解得：，，
，，
∴三个公共点为，，
①当为中点时，，
解得不合题意，舍去；
②当为中点时，，
解得；
③当为中点时，，
解得；
综上，或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，等腰三角形的性质，求线段中点坐标公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
10．（1）﹣，﹣3，0，4，0；（2）；（3）存在，Q(1，3)或Q(，)
【分析】（1）先将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，然后令y＝0即可求得A、B坐标；
（2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，即△PNQ是等腰直角三角形，PQ＝PN，故求PQ+PN最大值，只需求出PQ最大值，并用m表示出PQ，再求最值即可；
（3）用m表示出△ACQ三边的长，分AC＝AQ、AC＝CQ 、AQ＝CQ三种情况解答即可．
【详解】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0得0＝﹣x2+x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案为：﹣；﹣3，0；4，0；
（2）∵y＝﹣x2+x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ＝PN，
∴PQ+PN＝2PQ，
∴PQ+PN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴m＝2时，PQ最大值为，
∴PQ+PN的最大值为；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC＝＝5，AQ＝＝，CQ＝＝，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①AC＝AQ时，＝5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3）；
②AC＝CQ时，＝5，解得m＝或m＝﹣（此时M不在线段OB上，舍去），
∴Q（，）；
③AQ＝CQ时，＝，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q(1，3)或Q(，)．
【点睛】本题主要考查二次函数综合运用，解题的关键在于根据题意表示相关点的坐标、线段长度并运用列方程求解．
11．(1)，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）将点代入，可求抛物线的解析式；将点代入，然后根据抛物线与直线由唯一交点，求出，即可求直线的解析式；
（2）根据抛物线的对称轴可知M、N点关于对称轴对称，则当A、P、N三点共线时，有最小值，最小值为的长；
（3）设，分别求出，，，再由等腰三角形三边关系，分类讨论即可．
【详解】（1）将点代入，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
将点代入，
∴，
∴，
∵抛物线的图象与直线有唯一交点，
∴有两个相等实数根时，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
（2）存在点P，使的值最小，理由如下，连接，，．
当时，，
解得或，
∴，，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵M、N点关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当A、P、N三点共线时，有最小值，最小值为的长．
∵，
∴，
∴的最小值为；
（3）当时，，
∴，
设，
∴，
当时，，
解得或（舍）；
当时，，
解得或；
当时，，
解得；
综上所述：Q点横坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用抛物线的对称性求最小值的方法是解题的关键．
12．(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式；
（2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解；
（3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点．
【详解】（1）解：由得，时，，
∴．
∵抛物线经过、D两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由，令，，
解得：，
∴；
∵，
∴，
∵是直线上的点，设，
当为斜边时，,
∴，
解得：，
∴
当为直角时，,
∴
解得：（根据图形，不合题意舍去）
∴
综上所述，存在
（3）解：∵点E的横坐标，
∴，
由题可知，，，，
当F点在抛物线上时，，
解得或，
当G点在抛物线上时，，
解得或，
∴时，四边形与抛物线有公共点．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键．
13．(1)
(2)存在点，或或
(3)当点运动到位置时，的面积最大，最大面积为4，此时
【分析】（1）根据，，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出点坐标，则可表示出、和的长，分、两种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标；
（3）首先根据、的坐标求得直线的解析式，可设点坐标，则可表示出点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点的坐标．
【详解】（1）解：将，代入得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形．
理由如下：根据等腰三角形性质，分两种情况讨论，如图所示：
，
对称轴为直线，
，，
，
设，
①当时，，解得或（舍去），
；
②当时，，解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或；
（3）解：当点运动到位置时，的面积最大．
理由如下：
令，则，解得或，
，
设直线的解析式为，得，解得，
直线的解析式为，
过点作轴，交抛物线于点，如图所示：
设，则，
，
，抛物线开口向下，有最大值，
当时，最大为2，
，
当时，的面积最大，最大值为4，此时．
答：的最大面积为4，此时．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，解决本题的关键是待定系数法的应用，用点的坐标表示出和，用点坐标表示出的面积．
14．(1)
(2)
(3)存在，的面积有最小值，此时；的面积有最大值，此时．
【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，然后再用顶点式和待定系数法解答即可；
（2）如图2：过点P作轴交于点E，令，则，可得，再根据列式求得，进而得到，最后根据正切函数即可解答；
（3）先求出D点坐标，再求得抛物线翻折后的解析式为，然后确定H点的坐标，进而确定面积的表达式，然后根据m的取值范围确定最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点A在x轴上，
∴抛物线的顶点的纵坐标为0，
∵，则，则，
∴直线是抛物线的对称轴，且，
∴抛物线顶点为，
∴抛物线的解析式为，
当时，，解得或
∵，
∴，
如图1：过点A作交于点H，
∴，
∴，解得a=1
∴．
（2）解：如图2：过点P作轴交于点E，
令，则，
∵，
∴
∵，
∴
∴，解得：或（舍），
∴
∴
∴
∴，
∴．
（3）解：当时，，
∴，
∵直线经过点D，
∴，
∴
当时，，
∴，
抛物线翻折后的解析式为，
当时，解得或，
∴
∴
∵，
∴
∴当时，的面积有最小值，此时；
当时，的面积有最大值，此时．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数与几何的综合、求二次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的性质、灵活应用数形结合思想是解答本题的关键．