5.数学广角—鸽巢问题（拔高版）-2022-2023学年六年级下册数学期中专项复习（人教版）

这是一份5.数学广角—鸽巢问题（拔高版）-2022-2023学年六年级下册数学期中专项复习（人教版），共14页。

5.数学广角—鸽巢问题（拔高版）
2022-2023学年六年级下册数学期中专项复习
【知识梳理】
1、鸽巢原理。
如果把m个物体任意放进n个鸽巢里（m>n，且m和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。
如果把多余kn个的物体任意放进n个鸽巢里（k和n时非零自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k+1）个物体。
2、运用鸽巢原理解决简单的实际问题。
解题思路：（1）分析题意；（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，寻清“鸽巢”和分放的物体；（3）根据“鸽巢原理”推理并解决问题。

【专项复习】
一、选择题（每题2分，共10分）
1．箱子中有质地、型号完全相同的红、黄、白三种颜色的袜子各8只。至少拿出（    ）只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。
A．5 B．8 C．11
2．把7支铅笔放进三个笔盒里，总有一个笔盒至少放进（    ）支笔。
A．2 B．3 C．4
3．书架分上、中、下三层，婷婷把新买的10本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（    ）本书。
A．2 B．3 C．4
4．教室里有10名学生正在做作业，今天有语文、数学和英语三科作业，总有一科作业至少有（    ）名学生在做。
A．3 B．4 C．5
5．给一个正方体木块的6个面分别涂色，颜色从红、黄、蓝、绿四种中选择一种或几种。不论怎么涂，至少有（    ）个面涂的颜色相同。
A．2 B．3 C．4
二、判断题（每题1分，共5分）
6．某次智力竞赛有8个学生参加，总分是737分，则至少有一个学生的得分不低于95分。( )
7．在由4张♠，4张♥，4张♦，4张♣组成的一堆牌中，要保证抽出一张♠，至少要抽4张。( )
8．把10本书放进8个抽屉中，总有一个抽屉至少放进2本书。( )
9．23名同学分到5个班，至少有5名同学是一个班级的。( )
10．盒子里有同样大小的红球和黄球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出4个球。( )
三、填空题(共19分)
11．不透明袋子中有三种不同颜色的玻璃球各5个，除颜色外其他完全相同，至少要摸出( )个球才能保证有2个同色的；至少要摸出( )个球才能保证有2个不同色的。
12．有4只鸽子，要飞进3个鸽巢里，至少有( )只鸽子飞进同一个鸽巢里；如果有9只鸽子飞进4个鸽巢，至少有( )只鸽子飞进同一个鸽巢里。
13．“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择两种不同水果，那么至少要有______个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有______个小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。
14．这个学期的数学广角我们学习了鸽巢问题，鸽巢问题在数学和生活中均有广泛的应用。如“在13名小学生中至少有2名在同一个月份出生。”这个判断中，13名小学生的出生月份就相当于鸽巢问题中的鸽子，( )就相当于鸽巢问题中的鸽笼。
15．(4分)一副扑克牌去掉所有的花牌（包括大王、小王和J、Q、K）后一共40张。现在把这些牌打乱。
(1)任取( )张，才能保证至少有2张牌上的数是奇数或者2张牌上的数是偶数。
(2)任取( )张，才能保证至少有2张相同花色的牌。
(3)任取( )张，才能保证至少有1个对子。
(4)任取( )张，才能保证至少有1张红桃。
16．
在上面的卡片中，至少抽取( )张才能保证抽到的卡片中一定有奇数。任意抽取8张，至少有( )张卡片上的数是偶数。
17．六（1）班组织课外读书活动，共有50人报名参加，那么至少要准备( )本图书，才能保证有1人至少能拿到3本书。
18．六（1）班共有45名同学，这个班里至少有( )名同学的生日在同一月份；男、女生人数比是5∶4，随机选取，至少选( )人才能保证选出的人中男女生都有。
19．六（1）班40名学生到图书室借书，图书室有科技、历史和文艺三种书。他们都借这三种书的其中一种、两种或三种。六（1）班至少有( )人所借图书是相同的。
20．六年级有100名同学订阅A、B、C三种杂志。如果他们都只订阅了其中一种，至少有( )名同学订阅的杂志种类相同；如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有( )名同学订阅的杂志种类相同。
四、计算题(共6分)
21．(6分)解方程。
                                     



五、作图题(共6分)
22．(6分)在圆圈中画●，把这个●放在两个信封里，不管怎么放，总有一个信封里至少有4个●。

六、解答题(共54分)
23．(6分)实验小学合唱队有60人，年龄最大是12岁，年龄最小是6岁，他们当中至少有几人的年龄相同？



24．(6分)从1～20这20个自然数中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是2的倍数？



25．(6分)六（2）班有48人，每人至少订一份刊物，现有甲、乙、丙三种刊物，每人有几种选择方式？这个班订相同刊物的至少有多少人？



26．(6分)红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？



27．(6分)王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？



28．(6分)14本书借给4位小朋友，借书最多的一位小朋友最少可以借到多少本书？



29．(6分)7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？



30．(6分)7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进（    ）本书。
10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进（    ）本书。
解答：因为：7÷3＝2……1
8÷（    ）＝
10÷（    ）＝



31．(6分)有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。
①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？
②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？











参考答案
1．C
【分析】从最不利的情况考虑，如果取出的头8只袜子是同一种颜色，再取2只是剩下的两种颜色的各一只，然后再取1只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子，据此解答即可。
【详解】8＋2＋1＝11（只）
至少拿出11只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。
故答案为：C
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
2．B
【分析】把7枝铅笔放进3个笔盒中，7÷3＝2（支）……1（支），即平均每个笔盒放2支，还余1支，根据抽屉原理可知，总有一个笔盒里至少放2＋1＝3支。
【详解】7÷3＝2（支）……1（支）
2＋1＝3（支）
所以总有一个笔盒至少放进3支笔。
故答案为：B
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。
3．C
【分析】把上、中、下三层看作3个抽屉，把新买的10本书看作10个元素，那么每个抽屉需要放（本）……1（本），所以每个抽屉需要放3本，剩下的1本不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3＋1＝4（本），所以，放书最多的一层至少要放入4本书；据此解答。
【详解】（本）……1（本）
（本）
故答案为：C
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，根据抽屉原理进行解答即可。
4．B
【分析】根据题意，把10名学生看作被分配的物体数，三科作业看作3个抽屉，平均每个抽屉先放3名学生，还剩下1名学生，无论放在哪个抽屉，总有一个抽屉至少有（3＋1）名学生在做。
【详解】10÷3＝3（名）……1（名）
3＋1＝4（名）
故答案为：B
【点睛】本题是鸽巢问题，采用最不利原则来解题。
5．A
【分析】把正方体的六个面看作6个被分放物体，四种颜色看作4个抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】6÷4＝1（个）……2（个）
1＋1＝2（个）
所以，至少有2个面涂的颜色相同。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，准确找出抽屉数和被分放物体数是解答题目的关键。
6．×
【分析】用总分除以人数，求出商，再用商加1就是所求的至少数。
【详解】（分）……1（分）
（分）
则至少有一个学生的得分不低于93分，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。
7．×
【分析】解答此题要考虑最差情况：假设4张♥，4张♦，4张♣全部抽出，一共抽了12张，此时再任意抽取一张，必定是♠，据此即可判断。
【详解】由分析可知：
4×3＋1
＝12＋1
＝13（张）
则要保证抽出一张♠，至少要抽13张。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查抽屉原理的灵活应用，要注意考虑最差情况。
8．√
【分析】把10本书放进8个抽屉中，10÷8＝1（本）……2（本），即平均每个抽屉放入1本后，还余2本书没有放入，因为是至少，剩下的2本书不可能同时放到1个抽屉里，即至少有一个抽屉里要放进1＋1＝2（本）书。
【详解】10÷8＝1（本）……2（本）
1＋1＝2（本）
所以说总有一个抽屉至少会放进2本书。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】用抽屉问题解决简单实际问题的关键：把什么当做抽屉、把什么当做要放的物体。
9．√
【分析】把5个班看作5个抽屉，把23名同学看作23个元素，那么每个抽屉需要放4个元素，还剩余3个，因此至少有5名同学是一个班级的，据此解答即可。
【详解】23÷5＝4（名）……3（名）
4＋1＝5（名）
即至少有5名同学是一个班级的，所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
10．×
【分析】要想摸出的球一定有2个同色的，根据最不利原则，当摸出2个球的时候，红、黄两种颜色的球各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，所以至少要摸（2＋1）个球。
【详解】2＋1＝3（个）
要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。
11．     4     6
【分析】采用最不利原则，每种颜色的球都摸出了1个，共摸了3个，这时再摸一个，就能保证有2个同色的球；
采用最不利原则，一种颜色的球全部摸完，共摸了5个，这时再摸一个，就能保证有2个不同色的球。
【详解】3＋1＝4（个）
至少要摸出4个才能保证有2个同色的；
5＋1＝6（个）
至少要摸出6个球才能保证有2个不同色的。
【点睛】本题是鸽巢问题，采用最不利原则（运气最差原则）来解题。
12．     2     3
【分析】被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，每份抽屉至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】（1）4÷3＝1……1
1＋1＝2（只）
所以，至少有2只鸽子飞进同一个鸽巢里。
（2）9÷4＝2……1
2＋1＝3（只）
所以，至少有3只鸽子飞进同一个鸽巢里。
【点睛】准确找出被分放物体的数量和抽屉的数量是解答题目的关键。
13．     7     11
【分析】根据题意，有4种水果，每个小朋友任意选择两种，则有4×（4－1）÷2＝6（种）选择方法，最差情况是小朋友选择的水果都不相同，此时只要有一个小朋友再任意选择两种水果，就能保证有两人选的水果是一样的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，有6＋4＝10（种）不同的拿法，所以至少要有10＋1＝11（个）小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。
【详解】4×（4－1）÷2
＝4×3÷2
＝6（种）
6＋1＝7（个）
6＋4＝10（种）
10＋1＝11（个）
则每个小朋友可以任意选择两种不同水果，那么至少要有7个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有11个小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
14．一年中的12个月份或1~12月
【分析】抽屉原理关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
【详解】“在13名小学生中至少有2名在同一个月份出生。”这个判断中，13名小学生的出生月份就相当于鸽巢问题中的鸽子，一年中的12个月份或1~12月就相当于鸽巢问题中的鸽笼。
【点睛】关键是掌握鸽巢问题的解题原理，构造物体和抽屉。
15．(1)3
(2)5
(3)11
(4)31
【分析】（1）如果前2次各取出一张奇数一张偶数，那么再取出一张无论是什么牌，都能保证至少有2张牌上的数是奇数或2张牌上的数是偶数；
（2）一共4种花色，从最不利的情况考虑，如果前4张的花色各不相同，那么再取出1张才能保证至少有2张相同花色的牌；
（3）从最不利的情况考虑，如果前10张牌取出的点数分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，那么再取出1张无论是几点，都能保证至少有1个对子；
（4）每种花色各有10张，从最不利的情况考虑，如果前30张取出的都不是红桃（也就是剩下的10张都是红桃），那么再取出1张才能保证至少有1张红桃。
(1)
2＋1＝3（张）
(2)
4＋1＝5（张）
(3)
10＋1＝11（张）
(4)
10×3＋1
＝30＋1
＝31（张）
【点睛】本题主要考查鸽巢原理，从最不利情况思考问题是解答题目的关键。
16．     6     3
【分析】考虑最倒霉的情况，抽取的前5张都是偶数，再抽一张一定是奇数；如果将所有的奇数都抽中，剩下的无论抽取几张都是偶数，据此分析。
【详解】奇数有1、3、5、7、9，共5个，偶数有2、4、6、8、10，也有5个。
5＋1＝6（张）
8－5＝3（张）
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行分析。
17．101
【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。
（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
根据（1）中关系，则有n＝（k－1）×m＋1，将k＝3，m＝50代入，求出n的值即可。
【详解】（3－1）×50＋1
＝2×50＋1
＝100＋1
＝101（本）
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
18．     4     26
【分析】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。在本题中，被分配的物体数是45，抽屉数是12，据此计算即可；男、女生人数比是5∶4，把比看作份数，总份数是9，则男生人数有（45÷9×5）人，至少选取男生人数多一人，才能保证选出的人中男女生都有。
【详解】45÷12＝3（人）……9（人）
3＋1＝4（人）
45÷（4＋5）×5
＝45÷9×5
＝5×5
＝25（人）
25＋1＝26（人）
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）解答。
19．6
【分析】每人都借一种书有3种借法，借两种书有3种借法，借三种书有1种借法，所以共有1＋3＋3＝7种借法，则共有7个抽屉，40名学生是40个元素，根据抽屉原理解答即可。
【详解】1＋3＋3＝7（种）
40÷7＝5（人）……5（人）
5＋1＝6（人）
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
20．     34     17
【分析】（1）如果他们都只订阅了其中一种，则有A、B、C三种订阅方式；用除法求出100里有多少个3，商是33，还余1名同学，那么这1名同学无论订阅哪种杂志，都会出现有一种杂志至少有（33＋1）名同学订阅；
（2）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，则会出现A、B、C、AB、AC、BC，一共6种不同的订阅方式；用除法求出100里有多少个6，商是16，还余4名同学，那么这4名同学无论选取哪种订阅方式，都会出现有一种杂志种类至少有（16＋1）名同学订阅。
【详解】（1）100÷3＝33（名）……1（名）
33＋1＝34（名）
如果他们都只订阅了其中一种，至少有34名同学订阅的杂志种类相同；
（2）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，共有6种不同的订阅方式；
100÷6＝16（名）……4（名）
16＋1＝17（名）
如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有17名同学订阅的杂志种类相同。
【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则来解题。
21．；；
【分析】对于比例方程，可以根据比例的基本性质，先转化成一般的方程，再根据等式的性质解方程。
【详解】








22．见详解
【分析】至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）；本题中，抽屉数是2，不管怎么放，总有一个信封至少有4个●，则被分配的物体数是2×（4－1）＋1，据此求出●的数量，画图即可。
【详解】2×（4－1）＋1
＝2×3＋1
＝6＋1
＝7（个）

【点睛】本题考查抽屉原理的应用，要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
23．9人
【分析】6到12岁有6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11岁、12岁，共7种不同的年龄，每种年龄对应8人，余4人，根据抽屉原理，至少有8＋1人年龄相同。
【详解】60÷7＝8（人）……4（人）
8＋1＝9（人）
答：他们当中至少有9人的年龄相同。
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
24．11个
【分析】1～20中2的倍数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，共10个2的倍数，不是2的倍数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，共10个不是2的倍数，最不利的情况是取出的前10个都不是2的倍数，再取一个一定是2的倍数。
【详解】10＋1＝11（个）
答：至少要取出11个不同的数。
【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
25．7种选择方式；7人
【分析】现有甲、乙、丙三种刊物，每人至少订一份刊物，则有甲、乙、丙、甲乙、甲丙、乙丙、甲乙丙7种选择方式。
7种选择方式看作7个“抽屉”，48看作“物体个数”，根据抽屉原理48÷7＝6人……6人，这个班订相同刊物的至少有6＋1＝7人。
【详解】有甲、乙、丙、甲乙、甲丙、乙丙、甲乙丙7种选择方式。
48÷7＝6（人）……6（人）
6＋1＝7（人）
答：有7种选择方式。这个班订相同刊物的至少有7人。
【点睛】此题要理清什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解。
26．一次至少摸出4个
【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个球，共需要3个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：3+1=4（个），据此解答。
【详解】3+1=4（个）；
答：一次至少摸出4个，才能保证有两个是同色的。
27．10个
【分析】每个学生从中任意借1本，有3种借法，借两本，那么一共有6种借法：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本；所以一共有3+6=9种不同的借法，把9种借法看作9个抽屉，把学生数看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个元素，共需要9个，再取出1个不论是哪一种借法，总有一个抽屉里和他相同，所以至少要有：9+1=10（个），据此解答。
【详解】每个学生从中任意借两本，那么一共有9种借法：只借1本，有三种情况；借两本：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本，9+1=10（个）；
答：那么至少要10个学生才能保证一定有两人接到的图书是一样的。
28．4本
【分析】根据题意，先把14本书平均分给4位小朋友，每位小朋友分得3本，还剩下2本，这2本书无论分给谁，都有一位小朋友至少借到了4本书。
【详解】14÷4＝3（本）……2（本）
3＋1＝4（本）
答：借书最多的一位小朋友最少可以借到4本书。
【点睛】本题考查鸽巣问题，用最不利原则来解题。
29．3个
【分析】先列出所有可能的两组电影组合，再用抽屉原理将7个小朋友分配。
【详解】每个小朋友的观影方式有3种：《哈利·波特》和《驯龙高手》、《哈利·波特》和《功夫熊猫》、《驯龙高手》和《功夫熊猫》，相当于3个抽屉。
将7个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想：7÷3＝2（个）……1（个），根据抽屉原理：2＋1＝3（个）。
答：至少有3个小朋友选的电影组合相同。
【点睛】本题考查抽屉原理。
30．3；4；8÷3＝2……2；10÷3＝3……1
【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。
（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
【详解】8÷3＝2……2
10÷3＝3……1
8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进4本书。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
31．①4只；②10只
【分析】①要求至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双），要考虑到各种可能性的发生，因为有红、绿、紫三种颜色，有可能摸出3只都不能保证摸出一双袜子，因为有可能这三种颜色各1只，所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。
②要求至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子，从最极端情况分析：假设前9次摸出的是红、绿、紫三种颜色的袜子各3只，这时再摸出1只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。
【详解】①因为有可能摸出3只袜子时，这三种颜色各1只，
所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。
答：至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。
②

（只）
答：至少要摸出10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。
【点睛】此题主要考查了抽屉原理的应用，要熟练掌握，解答此题应从最极端情况进行分析