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2022年广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷
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这是一份2022年广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）.
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A． B． C．2022 D．﹣2022
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
3．（3分）2022年北京冬奥会计划于2月4日开幕．作为2022年北京冬奥会雪上项目的主要举办地，张家口市崇礼区建成7家大型滑雪场，拥有169条雪道，共162000米．数字162000用科学记数法表示为（ ）
A．162×103 B．16.2×104 C．1.62×105 D．0.162×106
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2 B．a3÷a2＝a
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣3x2）3＝9x6
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．24.5，24.5 B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24
7．（3分）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．在同一个圆内，圆周角等于圆心角的一半
C．反比例函数的图象与坐标轴没有交点
D．0的立方根是0
9．（3分）如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE的距离是（ ）cm（结果保留根号）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于N点，则N点坐标是（ ）
A．（5，2） B．（，2） C．（，2） D．（，2）
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）.
11．（3分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
12．（3分）一个不透明的袋子中装有4张一模一样的卡片，上面分别写着数字“①，②，③3.1415926，④﹣1”，从袋子中随机摸出一张卡片，摸到的卡片上写着的数字为“无理数”的概率是 ．
13．（3分）如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，小明用尺规作图，做法如下：如图2，①以B为圆心，任意长为半径作弧，交BA于F、交BC于G；②以D为圆心，BF为半径作弧，交DA于M；③以M为圆心，FG为半径作弧，两弧相交于N；④过点D作射线DN交AC于点E．若∠ADE＝52°，∠C＝78°，则∠A的度数是 度．
14．（3分）如图，等腰Rt△ABC的斜边AC∥x轴，直角顶点B落在x轴上，将△ABC向上平移m个单位得到△A′B′C′，点C和点B′恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，则m的值是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝ ．
三、解答题（本大题共7题.其中16题5分，17题7分，18题8分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分，共55分）.
16．（5分）计算：（1﹣π）0﹣2cos30°+||﹣（）﹣1．
17．（7分）先化简、再求值：（2），其中x1＝0．
18．（8分）某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）扇形统计图中，“器乐”所对应扇形的圆心角是 度；
（4）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有 名．
19．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，点D是CB延长线上一点，连接AB，AC，AD，且∠DAB＝∠C．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝1，求（弧AB）的弧长．
20．（8分）某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
（1）求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
（2）若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
21．（9分）小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣8
﹣3
0
1
0
﹣3
0
1
0
a
﹣8
…
表格中，a＝ ；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x＝ 时，y有最大值为 ；
（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；
（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．
22．（10分）（1）【探究发现】如图1，已知点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是CB延长线上一点，作OF⊥OE交BA延长线于F点．小明探究发现，△EOF是等腰直角三角形．请证明这个结论．
（2）【模型应用】如图2，在（1）的结论下，延长DB、FE交于点P，若BC＝6，BE＝2，求BP的长．
（3）【拓展提升】如图3，若点G是正方形ABCD对角线BD上一点，DG＝2BG，BC＝6，点E在CB的延长线上运动时，连接EG，作FG⊥EG交直线AB于F点，设BE＝x，记△EGF与正方形ABCD的重合面积为S，请直接写出S关于x的关系式．
2022年广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）.
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A． B． C．2022 D．﹣2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）2022年北京冬奥会计划于2月4日开幕．作为2022年北京冬奥会雪上项目的主要举办地，张家口市崇礼区建成7家大型滑雪场，拥有169条雪道，共162000米．数字162000用科学记数法表示为（ ）
A．162×103 B．16.2×104 C．1.62×105 D．0.162×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于162000有6位整数，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：162000＝1.62×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2 B．a3÷a2＝a
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣3x2）3＝9x6
【分析】A、利用合并同类项运算即可；
B、利用同底数幂的除法运算即可；
C、利用完全平方公式运算即可；
D、利用积的乘方运算即可．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，所以此选项错误，不符合题意；
B、a3÷a2＝a，所以此选项正确，符合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以此选项错误，不符合题意；
D、（﹣3x2）3＝﹣27x6，所以此选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的内容是完全平方公式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组的解集为x＜1，
在数轴上表示为．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
6．（3分）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．24.5，24.5 B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24
【分析】利用众数和中位数的定义求解．
【解答】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．
故选：A．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
7．（3分）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．
【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，
则所列方程组为，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．在同一个圆内，圆周角等于圆心角的一半
C．反比例函数的图象与坐标轴没有交点
D．0的立方根是0
【分析】根据平行四边形的性质、圆周角的性质、反比例函数的图象与性质、立方根的性质等知识逐项判定即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角相等，正确，为真命题；
B、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故原命题为假命题；
C、反比例函数的图象与坐标轴没有交点，正确，为真命题；
D、0的立方根是0，正确，为真命题；
故选：B．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行四边形的性质、圆周角的性质、反比例函数的图象与性质、立方根的性质等知识是解答此题的关键．
9．（3分）如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE的距离是（ ）cm（结果保留根号）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，根据三角函数分别求出AG和GH的长度即可．
【解答】解：过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，
∵CG∥EH，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°，
∴∠ACG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
在Rt△ACG中，AC＝10（cm），
sin∠ACG，
∴AG＝5（cm），
在Rt△CDF中，CD＝16cm，∠CDE＝60°，
∴CF＝CD•sin60°＝8m，
∴GH＝CF＝8cm，
∴AH＝（58）cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于N点，则N点坐标是（ ）
A．（5，2） B．（，2） C．（，2） D．（，2）
【分析】当点E运动到C点位置时，FC﹣0，则BC﹣4，当E点运动到BC中点位置时，FC＝2，证明△ABE∽△ECF，即C当F在DC的延长线上时，且FC＝2，根据相似三角形的性质求得BE的长，即可求得点N的坐标．
【解答】解：根据函数图象可知，当点E运动到C点位置时，FC＝0，则BC＝4，
当E点运动到BC中点位置时，FC＝2，即CD＝2，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∵∠ECF＝∠ABE＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵M、N的纵坐标相等，则当F在DC的延长线上时，FC＝2，BE＝t，EC＝t﹣4，
∴，
解得：t1＝22，t2＝2﹣2（舍），
即点N的坐标为（22，2），
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图象获取信息是解题的关键．
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）.
11．（3分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）一个不透明的袋子中装有4张一模一样的卡片，上面分别写着数字“①，②，③3.1415926，④﹣1”，从袋子中随机摸出一张卡片，摸到的卡片上写着的数字为“无理数”的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：根据题意可知，共有4张卡片，为无理数，
所以将它们背面朝上，洗匀后任取一张卡片，所抽到卡片上的数字为无理数的概率是．
故答案为．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
13．（3分）如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，小明用尺规作图，做法如下：如图2，①以B为圆心，任意长为半径作弧，交BA于F、交BC于G；②以D为圆心，BF为半径作弧，交DA于M；③以M为圆心，FG为半径作弧，两弧相交于N；④过点D作射线DN交AC于点E．若∠ADE＝52°，∠C＝78°，则∠A的度数是 50 度．
【分析】利用平行线的性质求出∠AED，再利用三角形内角和定理求解．
【解答】解：由作图可知DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝78°，
∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣52°﹣78°＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，等腰Rt△ABC的斜边AC∥x轴，直角顶点B落在x轴上，将△ABC向上平移m个单位得到△A′B′C′，点C和点B′恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，则m的值是 4 ．
【分析】表示出C，B′的坐标，再代入反比例函数y，即可求出m的值．
【解答】解：设B（a，0），
∵等腰Rt△ABC的斜边AC∥x轴，直角点B落在x轴上，
∴OA＝OB＝a，AC＝2a，
∴C（2a，a），
∵△ABC向上平移m个单位得到△A′B′C′，
∴B′（a，m），
∵点C和点B′恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴2a•a＝am＝8，
解得：a＝2，m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，表示出C，B′的坐标是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝ ．
【分析】延长EF交BC于H，由AB＝AC，D是BC边的中点，可得CH＝2DH，设DH＝x，AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，有（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，有（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，即可解得xa，y＝3a，从而BH＝4a，EH＝EF+FH＝4a，故tan∠CBE．
【解答】解：延长EF交BC于H，如图：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF∥AD，
∴EH⊥BC，，
∵CE＝2AE，
∴CH＝2DH，
设DH＝x，则CH＝2x，
∴CD＝BD＝3x，
∴BH＝BD+DH＝4x，
设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，
在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，
∴（4x）2+a2＝（3y）2①，
在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，
∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，
由①②联立方程组，解得xa，y＝3a，
∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，
∴tan∠CBE，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
三、解答题（本大题共7题.其中16题5分，17题7分，18题8分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分，共55分）.
16．（5分）计算：（1﹣π）0﹣2cos30°+||﹣（）﹣1．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣24
＝14
＝﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7分）先化简、再求值：（2），其中x1＝0．
【分析】先将括号里的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后通过移项求出x的值，代入求值．
【解答】解：原式＝（）
，
∵x1＝0，
∴x1，
原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
18．（8分）某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了 200 名学生；
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）扇形统计图中，“器乐”所对应扇形的圆心角是 144 度；
（4）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有 320 名．
【分析】（1）由棋类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比得出其人数，再根据四种课程人数之和等于总人数求出戏曲人数，从而补全图形；
（3）用360°乘以“器乐”人数所占比例即可；
（4）用总人数乘以样本中“戏曲”人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次随机调查抽取学生人数为30÷15%＝200（名），
故答案为：200；
（2）“书画”对应人数为200×25%＝50（人），“戏曲”人数为200﹣（50+80+30）＝40（人），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中，“器乐”所对应扇形的圆心角是360°144°，
故答案为：144；
（4）估计全校选择“戏曲”课程的学生有1600320（名），
故答案为：320．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，点D是CB延长线上一点，连接AB，AC，AD，且∠DAB＝∠C．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝1，求（弧AB）的弧长．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAO+∠OAC＝90°，然后根据切线的判定方法可得结论；
（2）根据已知条件可得∠D＝30°，进而可得△AOB是等边三角形，根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∵∠DAB＝∠C，
∴∠DAB＝∠OAC，
∴∠BAO+∠DAB＝90°，即∠DAO＝90°，
∴AO⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵AO⊥AD，BD＝OB＝1，
∴BO＝AO＝DB＝1，
∴DO＝2，
∴sinD，
∴∠D＝30°，
∠AOB＝60°，
∴l．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质，求弧长，根据特殊角的三角函数求角度，掌握以上知识是解决此题的关键．
20．（8分）某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
（1）求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
（2）若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A型华为手机台数的函数关系式，然后根据A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，可以求得购进A型华为手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何进货，利润取得最大值，并计算出这个最大值．
【解答】解：（1）设一台A型华为手机的进价为x元，则一台B型华为手机的进价为（x﹣800）元，
由题意可得：，
解得x＝3200，
经检验，x＝3200是原分式方程的解，
∴x﹣800＝2400，
答：一台A型华为手机的进价为3200元，一台B型华为手机的进价为2400元；
（2）设购进A型华为手机a台，则购进B型华为手机（60﹣a）台，总利润为w元，
由题意可得：w＝（4200﹣3200）a+（2800﹣2400）（60﹣a）＝600a+24000，
∴w随a的增大而增大，
∵A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，
∴20≤a≤60﹣a，
解得20≤a≤30，
∴当a＝30时，w取得最大值，此时w＝42000，60﹣a＝30，
答：当购进A型华为手机30台，购进B型华为手机30台时，才能在销售这批华为手机时获最大利润，最大利润是42000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的分式方程和函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
21．（9分）小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣8
﹣3
0
1
0
﹣3
0
1
0
a
﹣8
…
表格中，a＝ ﹣3 ；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x＝ ﹣2或2 时，y有最大值为 1 ；
（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；
（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①把x＝4代入函数表达式即可求解；
②描点、连线，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象即可求得；
（2）解解析式构成的方程组即可求得；
（3）根据函数图象即可求解．
【解答】解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3；
②画出当x＞0时函数M的图象如下：
③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；
故答案为：﹣2或2，1；
（2）由解得或，
由解得或，
∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；
（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，
∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．
【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，主要通过函数作图，确定函数的最值，确定函数与直线的交点，通过图象求解问题．
22．（10分）（1）【探究发现】如图1，已知点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是CB延长线上一点，作OF⊥OE交BA延长线于F点．小明探究发现，△EOF是等腰直角三角形．请证明这个结论．
（2）【模型应用】如图2，在（1）的结论下，延长DB、FE交于点P，若BC＝6，BE＝2，求BP的长．
（3）【拓展提升】如图3，若点G是正方形ABCD对角线BD上一点，DG＝2BG，BC＝6，点E在CB的延长线上运动时，连接EG，作FG⊥EG交直线AB于F点，设BE＝x，记△EGF与正方形ABCD的重合面积为S，请直接写出S关于x的关系式．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠AOB＝90°，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝45°，证明△AOF≌△BOE（ASA），由全等三角形的性质得出OF＝OE，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出EF的长，证明△COE∽△FOP，由相似三角形的性质得出，求出OP的长，则可得出答案；
（3）过点G作GM⊥GB，则△GMB是等腰直角三角形，设EG交AB于点N，过点G作GH⊥AB于点H，求出BN，分两种情况，当0＜x≤2时，S，当x＞2时，设GF交DA于点P，求出PA，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝45°，
∴∠AOE+∠EOB＝90°，∠OAF＝∠OBE＝135°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠FOA+∠AOE＝90°，
∴∠FOA＝∠EOB，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OF＝OE，
∵∠FOAE＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
（2）解：∵△AOF≌△BOE，
∴AF＝BE，
∵BC＝6，BE＝2，
∴BF＝AB+AF＝8，CO＝BO3，
在Rt△BEF中，EF2，
∵△FOE是等腰直角三角形，
∴OF＝OEEF，∠OFP＝45°，
∵∠OCE＝∠OFP＝45°，∠COE＝∠COB+∠POE＝90°+∠POE，∠FOP＝∠FOE+∠POE＝90°+∠POE，
∴∠COE＝∠FOP，
∴△COE∽△FOP，
∴，
即，
∴OP，
∴PB＝OP﹣OB；
（3）解：如图，过点G作GM⊥GB，则△GMB是等腰直角三角形，设EG交AB于点N，过点G作GH⊥AB于点H，
∴GM＝GB，∠GBM＝∠GMB＝45°，
∴∠GBE＝∠GMF＝135°，
∵∠FGE＝∠MGB＝90°，
∴∠FGM＝∠ECB，
∴△FGM≌△EGN（ASA），
∴FM＝BE，∠GFM＝∠GEB，
∵DG＝2BG，BC＝6，
∴GBBD2，
∴MB＝24，
∵GH⊥MB，
∴MH＝HB＝GHMB＝2，
∴AM＝2，
∵BE＝x，
∴FM＝x，FH＝FM+MH＝x+2，
∵∠GFM＝∠GEB，
∴tan∠GFM＝tan∠GEB，
∴，
∴BN，
当0＜x≤2时，SFN＝FB﹣NB＝x+4，
当x＞2时，设GF交DA于点P，
∵∠GFM＝∠PFA，
∴tan∠GFM＝tan∠PFA，
即，
∴PA，
∴S△FGM﹣S△FAP＝x+4，
综上所述，S．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
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2022年广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）.
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A． B． C．2022 D．﹣2022
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
3．（3分）2022年北京冬奥会计划于2月4日开幕．作为2022年北京冬奥会雪上项目的主要举办地，张家口市崇礼区建成7家大型滑雪场，拥有169条雪道，共162000米．数字162000用科学记数法表示为（ ）
A．162×103 B．16.2×104 C．1.62×105 D．0.162×106
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2 B．a3÷a2＝a
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣3x2）3＝9x6
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．24.5，24.5 B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24
7．（3分）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．在同一个圆内，圆周角等于圆心角的一半
C．反比例函数的图象与坐标轴没有交点
D．0的立方根是0
9．（3分）如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE的距离是（ ）cm（结果保留根号）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于N点，则N点坐标是（ ）
A．（5，2） B．（，2） C．（，2） D．（，2）
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）.
11．（3分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
12．（3分）一个不透明的袋子中装有4张一模一样的卡片，上面分别写着数字“①，②，③3.1415926，④﹣1”，从袋子中随机摸出一张卡片，摸到的卡片上写着的数字为“无理数”的概率是 ．
13．（3分）如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，小明用尺规作图，做法如下：如图2，①以B为圆心，任意长为半径作弧，交BA于F、交BC于G；②以D为圆心，BF为半径作弧，交DA于M；③以M为圆心，FG为半径作弧，两弧相交于N；④过点D作射线DN交AC于点E．若∠ADE＝52°，∠C＝78°，则∠A的度数是 度．
14．（3分）如图，等腰Rt△ABC的斜边AC∥x轴，直角顶点B落在x轴上，将△ABC向上平移m个单位得到△A′B′C′，点C和点B′恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，则m的值是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝ ．
三、解答题（本大题共7题.其中16题5分，17题7分，18题8分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分，共55分）.
16．（5分）计算：（1﹣π）0﹣2cos30°+||﹣（）﹣1．
17．（7分）先化简、再求值：（2），其中x1＝0．
18．（8分）某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）扇形统计图中，“器乐”所对应扇形的圆心角是 度；
（4）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有 名．
19．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，点D是CB延长线上一点，连接AB，AC，AD，且∠DAB＝∠C．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝1，求（弧AB）的弧长．
20．（8分）某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
（1）求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
（2）若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
21．（9分）小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣8
﹣3
0
1
0
﹣3
0
1
0
a
﹣8
…
表格中，a＝ ；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x＝ 时，y有最大值为 ；
（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；
（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．
22．（10分）（1）【探究发现】如图1，已知点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是CB延长线上一点，作OF⊥OE交BA延长线于F点．小明探究发现，△EOF是等腰直角三角形．请证明这个结论．
（2）【模型应用】如图2，在（1）的结论下，延长DB、FE交于点P，若BC＝6，BE＝2，求BP的长．
（3）【拓展提升】如图3，若点G是正方形ABCD对角线BD上一点，DG＝2BG，BC＝6，点E在CB的延长线上运动时，连接EG，作FG⊥EG交直线AB于F点，设BE＝x，记△EGF与正方形ABCD的重合面积为S，请直接写出S关于x的关系式．
2022年广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）.
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A． B． C．2022 D．﹣2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）2022年北京冬奥会计划于2月4日开幕．作为2022年北京冬奥会雪上项目的主要举办地，张家口市崇礼区建成7家大型滑雪场，拥有169条雪道，共162000米．数字162000用科学记数法表示为（ ）
A．162×103 B．16.2×104 C．1.62×105 D．0.162×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于162000有6位整数，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：162000＝1.62×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2 B．a3÷a2＝a
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（﹣3x2）3＝9x6
【分析】A、利用合并同类项运算即可；
B、利用同底数幂的除法运算即可；
C、利用完全平方公式运算即可；
D、利用积的乘方运算即可．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，所以此选项错误，不符合题意；
B、a3÷a2＝a，所以此选项正确，符合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以此选项错误，不符合题意；
D、（﹣3x2）3＝﹣27x6，所以此选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的内容是完全平方公式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组的解集为x＜1，
在数轴上表示为．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
6．（3分）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．24.5，24.5 B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24
【分析】利用众数和中位数的定义求解．
【解答】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．
故选：A．
【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
7．（3分）某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元可列方程组．
【解答】解：设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，
则所列方程组为，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
8．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．在同一个圆内，圆周角等于圆心角的一半
C．反比例函数的图象与坐标轴没有交点
D．0的立方根是0
【分析】根据平行四边形的性质、圆周角的性质、反比例函数的图象与性质、立方根的性质等知识逐项判定即可．
【解答】解：A、平行四边形的对角相等，正确，为真命题；
B、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故原命题为假命题；
C、反比例函数的图象与坐标轴没有交点，正确，为真命题；
D、0的立方根是0，正确，为真命题；
故选：B．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行四边形的性质、圆周角的性质、反比例函数的图象与性质、立方根的性质等知识是解答此题的关键．
9．（3分）如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE的距离是（ ）cm（结果保留根号）
A． B． C． D．
【分析】过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，根据三角函数分别求出AG和GH的长度即可．
【解答】解：过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，
∵CG∥EH，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°，
∴∠ACG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
在Rt△ACG中，AC＝10（cm），
sin∠ACG，
∴AG＝5（cm），
在Rt△CDF中，CD＝16cm，∠CDE＝60°，
∴CF＝CD•sin60°＝8m，
∴GH＝CF＝8cm，
∴AH＝（58）cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于N点，则N点坐标是（ ）
A．（5，2） B．（，2） C．（，2） D．（，2）
【分析】当点E运动到C点位置时，FC﹣0，则BC﹣4，当E点运动到BC中点位置时，FC＝2，证明△ABE∽△ECF，即C当F在DC的延长线上时，且FC＝2，根据相似三角形的性质求得BE的长，即可求得点N的坐标．
【解答】解：根据函数图象可知，当点E运动到C点位置时，FC＝0，则BC＝4，
当E点运动到BC中点位置时，FC＝2，即CD＝2，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∵∠ECF＝∠ABE＝90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵M、N的纵坐标相等，则当F在DC的延长线上时，FC＝2，BE＝t，EC＝t﹣4，
∴，
解得：t1＝22，t2＝2﹣2（舍），
即点N的坐标为（22，2），
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图象获取信息是解题的关键．
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）.
11．（3分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）一个不透明的袋子中装有4张一模一样的卡片，上面分别写着数字“①，②，③3.1415926，④﹣1”，从袋子中随机摸出一张卡片，摸到的卡片上写着的数字为“无理数”的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：根据题意可知，共有4张卡片，为无理数，
所以将它们背面朝上，洗匀后任取一张卡片，所抽到卡片上的数字为无理数的概率是．
故答案为．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．
13．（3分）如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，小明用尺规作图，做法如下：如图2，①以B为圆心，任意长为半径作弧，交BA于F、交BC于G；②以D为圆心，BF为半径作弧，交DA于M；③以M为圆心，FG为半径作弧，两弧相交于N；④过点D作射线DN交AC于点E．若∠ADE＝52°，∠C＝78°，则∠A的度数是 50 度．
【分析】利用平行线的性质求出∠AED，再利用三角形内角和定理求解．
【解答】解：由作图可知DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝78°，
∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣52°﹣78°＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，等腰Rt△ABC的斜边AC∥x轴，直角顶点B落在x轴上，将△ABC向上平移m个单位得到△A′B′C′，点C和点B′恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，则m的值是 4 ．
【分析】表示出C，B′的坐标，再代入反比例函数y，即可求出m的值．
【解答】解：设B（a，0），
∵等腰Rt△ABC的斜边AC∥x轴，直角点B落在x轴上，
∴OA＝OB＝a，AC＝2a，
∴C（2a，a），
∵△ABC向上平移m个单位得到△A′B′C′，
∴B′（a，m），
∵点C和点B′恰好在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴2a•a＝am＝8，
解得：a＝2，m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，表示出C，B′的坐标是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝ ．
【分析】延长EF交BC于H，由AB＝AC，D是BC边的中点，可得CH＝2DH，设DH＝x，AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，有（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，有（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，即可解得xa，y＝3a，从而BH＝4a，EH＝EF+FH＝4a，故tan∠CBE．
【解答】解：延长EF交BC于H，如图：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF∥AD，
∴EH⊥BC，，
∵CE＝2AE，
∴CH＝2DH，
设DH＝x，则CH＝2x，
∴CD＝BD＝3x，
∴BH＝BD+DH＝4x，
设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，
在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，
∴（4x）2+a2＝（3y）2①，
在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，
∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，
由①②联立方程组，解得xa，y＝3a，
∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，
∴tan∠CBE，
故答案为：．
【点评】本题考查等腰三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
三、解答题（本大题共7题.其中16题5分，17题7分，18题8分，19题8分，20题8分，21题9分，22题10分，共55分）.
16．（5分）计算：（1﹣π）0﹣2cos30°+||﹣（）﹣1．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣24
＝14
＝﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7分）先化简、再求值：（2），其中x1＝0．
【分析】先将括号里的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后通过移项求出x的值，代入求值．
【解答】解：原式＝（）
，
∵x1＝0，
∴x1，
原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
18．（8分）某校开设了书画、器乐、戏曲、棋类四类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查抽取了 200 名学生；
（2）补全条形统计图中“书画”“戏曲”的空缺部分；
（3）扇形统计图中，“器乐”所对应扇形的圆心角是 144 度；
（4）若该校共有1600名学生，请估计全校选择“戏曲”课程的学生有 320 名．
【分析】（1）由棋类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比得出其人数，再根据四种课程人数之和等于总人数求出戏曲人数，从而补全图形；
（3）用360°乘以“器乐”人数所占比例即可；
（4）用总人数乘以样本中“戏曲”人数所占比例即可．
【解答】解：（1）本次随机调查抽取学生人数为30÷15%＝200（名），
故答案为：200；
（2）“书画”对应人数为200×25%＝50（人），“戏曲”人数为200﹣（50+80+30）＝40（人），
补全图形如下：
（3）扇形统计图中，“器乐”所对应扇形的圆心角是360°144°，
故答案为：144；
（4）估计全校选择“戏曲”课程的学生有1600320（名），
故答案为：320．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，点D是CB延长线上一点，连接AB，AC，AD，且∠DAB＝∠C．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝1，求（弧AB）的弧长．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAO+∠OAC＝90°，然后根据切线的判定方法可得结论；
（2）根据已知条件可得∠D＝30°，进而可得△AOB是等边三角形，根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∵∠DAB＝∠C，
∴∠DAB＝∠OAC，
∴∠BAO+∠DAB＝90°，即∠DAO＝90°，
∴AO⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵AO⊥AD，BD＝OB＝1，
∴BO＝AO＝DB＝1，
∴DO＝2，
∴sinD，
∴∠D＝30°，
∠AOB＝60°，
∴l．
【点评】此题考查的是切线的判定与性质，求弧长，根据特殊角的三角函数求角度，掌握以上知识是解决此题的关键．
20．（8分）某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．
（1）求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？
（2）若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验；
（2）根据题意，可以写出利润与购进A型华为手机台数的函数关系式，然后根据A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，可以求得购进A型华为手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何进货，利润取得最大值，并计算出这个最大值．
【解答】解：（1）设一台A型华为手机的进价为x元，则一台B型华为手机的进价为（x﹣800）元，
由题意可得：，
解得x＝3200，
经检验，x＝3200是原分式方程的解，
∴x﹣800＝2400，
答：一台A型华为手机的进价为3200元，一台B型华为手机的进价为2400元；
（2）设购进A型华为手机a台，则购进B型华为手机（60﹣a）台，总利润为w元，
由题意可得：w＝（4200﹣3200）a+（2800﹣2400）（60﹣a）＝600a+24000，
∴w随a的增大而增大，
∵A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，
∴20≤a≤60﹣a，
解得20≤a≤30，
∴当a＝30时，w取得最大值，此时w＝42000，60﹣a＝30，
答：当购进A型华为手机30台，购进B型华为手机30台时，才能在销售这批华为手机时获最大利润，最大利润是42000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的分式方程和函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
21．（9分）小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣8
﹣3
0
1
0
﹣3
0
1
0
a
﹣8
…
表格中，a＝ ﹣3 ；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x＝ ﹣2或2 时，y有最大值为 1 ；
（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；
（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①把x＝4代入函数表达式即可求解；
②描点、连线，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象即可求得；
（2）解解析式构成的方程组即可求得；
（3）根据函数图象即可求解．
【解答】解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3；
②画出当x＞0时函数M的图象如下：
③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；
故答案为：﹣2或2，1；
（2）由解得或，
由解得或，
∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；
（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，
∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．
【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，主要通过函数作图，确定函数的最值，确定函数与直线的交点，通过图象求解问题．
22．（10分）（1）【探究发现】如图1，已知点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是CB延长线上一点，作OF⊥OE交BA延长线于F点．小明探究发现，△EOF是等腰直角三角形．请证明这个结论．
（2）【模型应用】如图2，在（1）的结论下，延长DB、FE交于点P，若BC＝6，BE＝2，求BP的长．
（3）【拓展提升】如图3，若点G是正方形ABCD对角线BD上一点，DG＝2BG，BC＝6，点E在CB的延长线上运动时，连接EG，作FG⊥EG交直线AB于F点，设BE＝x，记△EGF与正方形ABCD的重合面积为S，请直接写出S关于x的关系式．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠AOB＝90°，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝45°，证明△AOF≌△BOE（ASA），由全等三角形的性质得出OF＝OE，则可得出结论；
（2）由勾股定理求出EF的长，证明△COE∽△FOP，由相似三角形的性质得出，求出OP的长，则可得出答案；
（3）过点G作GM⊥GB，则△GMB是等腰直角三角形，设EG交AB于点N，过点G作GH⊥AB于点H，求出BN，分两种情况，当0＜x≤2时，S，当x＞2时，设GF交DA于点P，求出PA，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝45°，
∴∠AOE+∠EOB＝90°，∠OAF＝∠OBE＝135°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠FOA+∠AOE＝90°，
∴∠FOA＝∠EOB，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OF＝OE，
∵∠FOAE＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
（2）解：∵△AOF≌△BOE，
∴AF＝BE，
∵BC＝6，BE＝2，
∴BF＝AB+AF＝8，CO＝BO3，
在Rt△BEF中，EF2，
∵△FOE是等腰直角三角形，
∴OF＝OEEF，∠OFP＝45°，
∵∠OCE＝∠OFP＝45°，∠COE＝∠COB+∠POE＝90°+∠POE，∠FOP＝∠FOE+∠POE＝90°+∠POE，
∴∠COE＝∠FOP，
∴△COE∽△FOP，
∴，
即，
∴OP，
∴PB＝OP﹣OB；
（3）解：如图，过点G作GM⊥GB，则△GMB是等腰直角三角形，设EG交AB于点N，过点G作GH⊥AB于点H，
∴GM＝GB，∠GBM＝∠GMB＝45°，
∴∠GBE＝∠GMF＝135°，
∵∠FGE＝∠MGB＝90°，
∴∠FGM＝∠ECB，
∴△FGM≌△EGN（ASA），
∴FM＝BE，∠GFM＝∠GEB，
∵DG＝2BG，BC＝6，
∴GBBD2，
∴MB＝24，
∵GH⊥MB，
∴MH＝HB＝GHMB＝2，
∴AM＝2，
∵BE＝x，
∴FM＝x，FH＝FM+MH＝x+2，
∵∠GFM＝∠GEB，
∴tan∠GFM＝tan∠GEB，
∴，
∴BN，
当0＜x≤2时，SFN＝FB﹣NB＝x+4，
当x＞2时，设GF交DA于点P，
∵∠GFM＝∠PFA，
∴tan∠GFM＝tan∠PFA，
即，
∴PA，
∴S△FGM﹣S△FAP＝x+4，
综上所述，S．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
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