解密01 函数及其性质（分层训练）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密01  函数及其性质

1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

因为，故，

因为为偶函数，故，时，整理得到，

故，故答案为：1

2．（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则___________.

【答案】2

【分析】，故，故答案为：2.

3．（2021·吉林长春·高三月考）已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是（    ）

A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)

【答案】A

【分析】是增函数，

在上递减，在递增，

因此在上递减，则有，解得．

故选：A．

4．（2021·全国·高三期中）已知函数定义域为，且图象关于对称，在上单调递增，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解：关于对称，关于轴对称，为偶函数，

又在上单调递增，在上单调递增．

，，，

，．

故选：C

5．（2021·浙江·慈溪中学高三期中）函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对于函数，，解得，即函数的定义域为，

，即函数为偶函数，排除CD选项，

当时，，，此时，排除A选项.

故选：B.

6．（2021·四川资阳·一模）设，，，则a，b，c大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，即，

又，可得，即，

∴.

7．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）若函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】定义域为，，

为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；

当时，，又，在上均为增函数，

在上为增函数，则在上为减函数；

由可得：，即，

解得：，即不等式的解集为.

故选：D.

8．（2021·全国·模拟预测）已知函数在上单调递减，且为奇函数，则满足的的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由为奇函数可知，函数的图象关于点对称，

所以函数的图象关于直线对称.因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增.

又，所以，则.由可知，，解得，

故选：A.

选：D.

9．（2021年天津高考数学试题）函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.

故选：B.

10．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考）已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】因函数是定义在上的减函数，则有，解得，

所以的取值范围是.故选：D

11．（2021·浙江宁波·高三月考）已知函数，则_____________，函数的单调递减区间是_______．

【答案】5

因函数，则，所以；

当时，在上单调递增，在上单调递减，，

当时，在上单调递减，且，

所以函数的单调递减区间是.

故答案为：5；

1．（2021年全国高考甲卷数学试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

2．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

3．（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】，，

，，，，.故选：D.

4．（2021·四川成都·高三期中）已知定义在上的函数和都是偶函数，当时，，则函数在上的零点个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D 因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，即.又因为函数为偶函数，所以，即，

所以函数的周期为.

因为当时，，

所以，，在上单调递增.

作出函数与函数 的图象如图所示.由图可得，交点共有个，

故函数的零点个数为.

故选:D.

5．（2021·河南·高三期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】因为偶函数满足，

所以，即的周期为，

所以；

，

时，，因为，

所以；

，

因为，

所以．

综上可得．

故选：A

6．（2021·河南·高三月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为，的定义域为，

所以首先满足恒成立，，再者满足，变形得到 ，最终得到.故选：B.

7．（2021·江西·模拟预测）已知，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，

而，，令，则，因此，原函数化为：，

显然在上单调递增，则当时，，

所以函数的值域为.

故选：A

8．（2021·全国全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，（且）.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，

因为为偶函数，所以的图象关于直线对称.

根据条件可知，则，

即为的一个周期，则，

又因为，，

所以，解得或 （舍），

所以当时，，

所以，

故选：B.

9．（2021·江苏·东海县教育局教研室高三期中）函数的定义域为R，为偶函数，且，当x[0，1]时.若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C【分析】由为偶函数，则，所以的图像关于直线对称

所以

由，令，可得，

所以，则，即

由，令，可得，

又，所以

所以，则，

由的图像关于直线对称，则

故选：C

10．（2021·广东·仁化县第一中学高三月考）定义在上的函数关于轴对称且满足：对任意的，有，已知，则、、的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】因为对任意的，有，

所以当时，，所以在上是减函数，

因为定义在上的函数关于轴对称，

所以是偶函数，

所以，，

因为，所以，即．

故选：D．

二、双空题

11．（2021·江苏省前黄高级中学模拟预测）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则____，_____．

【答案】1       

【分析】由题意知，可得，

所以，

所以，

又由，所以.

故答案为：，.

12．（2021·浙江·高三期中）已知若为奇函数，则_______；若为偶函数，则的解集为_______．

【答案】0    ．   

【分析】，

若为奇函数，则；

若为偶函数，则，又在递增，所以，解得，所以，或．解集为．

故答案为：0；．

13．（2021·天津市武清区大良中学高三期中）已知函数（a>0且a）在R上单调递增，则实数a的取值范围是__________，若关于x的方程|f（x）|=x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________.

【答案】       

①当时，，因为该函数在上单调递增，所以，若要在上单调递增，还需满足，即，所以②作出图像：

当时，易知直线与曲线一定只有一个公共点，故只需直线与曲线只有一个公共点即可；

由，得，令，得，代入，得，由，得，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点；

当，即时，直线与曲线有且只有一个公共点．

又1，所以综上可知，的取值范围是

故答案为：﹒

14．（2021·重庆市长寿中学校高三月考）意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452.4—1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么﹖这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的达式为．若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则是_________（选填偶函数或奇函数），若是以为直角顶点的直角三角形，则实数_________．

【答案】奇函数；       

解：令，定义域为，

则，所以为奇函数；

由，，

又，，

可得的方程为，①的方程为，②

联立①②，解得，所以，

由是以为直角顶点的直角三角形，且直线斜率不存在，所以，即有，即，解得．故答案为：奇函数；．