2022温州高一下学期期末教学质量统测试题数学（A卷）含答案

温州市2021-2022学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（A卷）

选择题部分

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数，其中为虚数单位，则复数的虚部是（）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

2. 向量，若，则（）

A. 1 B.  C. 4 D.

【答案】A

3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且满足，则下列命题正确的是（）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

4. 向量，则在上的投影向量是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

5. 月日是世界读书日，中国新闻出版研究院每年发布全国国民阅读调查报告．下面是年我国成年国民阅读情况折线图，记平均图书阅读率和平均数字化阅读方式接触率分别是和，相应标准差分别是和，则下列说法正确的是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

6. 轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

7. 奖金分配是《概率论》中的一道经典问题：甲、乙两人比赛，假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为，先胜3局者将赢得全部奖金8万，但进行到甲胜0局，乙胜2局时，比赛因故不得不终止，为公平起见，甲应分配到（）

A. 0 万 B. 1 万 C. 万 D. 4 万

【答案】B

8. 如图，二面角的平面角的大小为为半平面内的两个点，为半平面内一点，且，若直线与平面所成角为为的中点，则线段长度的最大值是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．

9. 在中，角所对的边分别为的面积为根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

10. 疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）

A. 图中

B. 在份有效样本中，短视频观众年龄在岁的有人

C. 估计短视频观众的平均年龄为岁

D. 估计短视频观众年龄的分位数为岁

【答案】BCD

11. 如图，在梯形中，为线段的两个三等分点，将和分别沿着向上翻折，使得点分别至 (在的左侧)，且平面分别为的中点，在翻折过程中，下列说法中正确的是（）

A. 四点共面

B. 当时，平面平面

C. 存在某个位置使得

D. 存在某个位置使得平面平面

【答案】BCD

12. 如图，已知均为等边三角形，分别为的中点，为内一点 (含边界)，，下列说法正确的是（）

A. 若，则为的重心

B. 若，则的轨迹为一条线段

C. 若，则的取值范围是

D. 的最小值为

【答案】ABD

非选择题部分

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13. 直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占，食品饮料类占，家居生活类占19%，美妆护肤类占，其他占．为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有_____________件

【答案】380

14. 如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．

【答案】##

15. 如图，在Rt中，点是斜边的中点，点在边上，且，则___________．

【答案】

16. 已知，且，实数满足，且，则的最小值是___________．

【答案】##0.25

四、解答题：本题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过和或演算步骤．

17. 已知复数，是虚数单位．

（1）求复数；

（2）若复数，且，当是整数时，求复数满足的概率．

【答案】（1）

（2）

18. 有标号为质地相同的4 个小球，现有放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件：第一次取出的是1号球；事件：两次取出的球号码之和为 5 ．

（1）求事件的概率；

（2）试判断事件与事件是否相互独立，并说明理由；

（3）若重复这样的操作64次，事件是否可能出现6次，请说明理由．

【答案】（1）

（2）相互独立，理由见解析；

（3）有可能，理由见解析

【小问1详解】

解：记为第一次取出球的标号，为第二次取出球的标号，用数对表示两次取球标号的情况，

所以有、、、、、、、、、、、、、、、共16种，

满足事件的有共种，所以；

【小问2详解】

解：由（1）可得，，

所以，所以事件与事件相互独立；

【小问3详解】

解：因为每次操作事件可能发生，也可能不发生，

所以重复这样的操作次，事件发生的次数为次中的一种，

所以事件有可能出现次；

19. 如图，四棱锥的底面四边形为正方形，顶点在底面的射影为线段的中点是的中点，

（1）求证：平面；

（2）求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．

【答案】（1）证明见解析

（2）或

【小问1详解】

由题，如图，取PC中点F，连接EF、DF，则EF为的中位线，故，，故四边形ODEF为平行四边形，故，又平面PCD，平面PCD，故平面

【小问2详解】

由（1）得，过点的截面为平面ADEF，截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合，以及三棱锥与三棱锥组合；

由是的中点，易得，；由是的中点，易得；

故过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比为

20. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解．问题：如图，在中，角所对的边分别为是边上一点，，，若_________，

（1）求角A值；

（2）求的值．

【答案】（1）

（2）

21. 如图，在正六边形中，，为上一点，且交于点

（1）当时，试用表示；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）

（2）

22. 在三棱台中，，，侧面平面

（1）求证：平面；

（2）求证：是直角三角形；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析（3）

【小问1详解】

四边形中，因为，故四边形为梯形，，故，，且，故，又，故，故.又侧面平面，且交线为，故平面

【小问2详解】

在上取一点使得，设，连接.因为，则由余弦定理可得，解得，因为，故.由（1）平面，平面，故，又，平面，故平面.又平面，故.又梯形中，根据平行线中两三角形的性质有，故，又，故，故，故.故是直角三角形

【小问3详解】

由（2），，故，故到的距离为.设到的距离为，则因为，即，所以，解得.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为