第45讲 综合运用动力学、动量观点、能量观点分析解决多物体多过程问题（解析版）

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第45讲 综合运用动力学、动量观点、能量观点分析解决多物体多过程问题1.（2021河北） 如图，一滑雪道由和两段滑道组成，其中段倾角为，段水平，段和段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若后质量为的滑雪者从顶端以的初速度、的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：（1）滑道段的长度；（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。
 【答案】（1）；（2）【解析】（1）设斜面长度为，背包质量为，在斜面上滑行的加速度为，由牛顿第二定律有   解得滑雪者质量为，初速度为，加速度为，在斜面上滑行时间为，落后时间，则背包的滑行时间为，由运动学公式得    联立解得或   故可得（2）背包和滑雪者到达水平轨道时的速度为、，有  滑雪者拎起背包的过程，系统在光滑水平面上外力为零，动量守恒，设共同速度为，有解得 2.（2021广东） 算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔，乙与边框a相隔，算珠与导杆间的动摩擦因数。现用手指将甲以的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取。（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a；（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
 【答案】（1）能；（2）0.2s【解析】（1）甲乙滑动时的加速度大小均为 甲与乙碰前的速度v1，则 解得v1=0.3m/s甲乙碰撞时由动量守恒定律   解得碰后乙的速度v3=0.2m/s然后乙做减速运动，当速度减为零时则可知乙恰好能滑到边框a；（2）甲与乙碰前运动的时间碰后甲运动的时间则甲运动的总时间为  一.知识回顾1.解动力学问题的三个基本观点（1）力的观点：用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题。（2）能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题。（3）动量观点：用动量定理和动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题。2.力学规律的选用原则（1）如果要列出各物理量在某一时刻的动力学关系式，可用牛顿第二定律。（2）研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理涉及时间的问题或动能定理涉及位移的问题去解决问题。（3）若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒定律机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。（4）在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量。（5）在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换，这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决。3.解题技巧（1）认真审题，提炼已知条件和隐含已知条件。（2）通过画运动轨迹图和v-t图像，再现运动过程。（3）明确研究对象，分析其不同的运动阶段的受力情况、运动特点、各力做功及系统能量转化情况，用已知量和未知量列出相关方程。一个方程不能求解，则通过方程组求解。 二.例题精析例1．如图所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径R＝0.5m，物块A以V0＝6m/s的速度滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与直轨上P处静止的物块B碰撞，碰后粘在一起运动。P点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段，光滑段交替排列，每段长度都为L＝0.1m。物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ＝0.25，A、B的质量均为m＝1kg（重力加速度g取10m/s2；A、B视为质点，碰撞时间极短）。（1）求A滑过Q点时的速度大小V和受到的弹力F大小；（2）若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，求k的数值；（3）求碰后AB滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度VAB与n的关系式。【解答】解：（1）由机械能守恒定律可得：mg•2R在Q点由牛顿第二定律有：F+mg＝m联立解得：v＝4m/s，F＝22N（2）AB碰撞前A的速度为vA，由机械能守恒定律可得：AB碰撞后以共同速度vP前进，设向右为正方向，由动量守恒定律可得：mvA＝（m+m）vP故总动能Ek滑块每经过一段粗糙段损失的机械能ΔE＝fL＝μ•2mgLk联立代入数据解得：k＝18（3）AB整体滑到第n个光滑段上损失的能量；E'＝nEk从AB碰撞后运动到第n个光滑段的过程中，由能量守恒定律可得：mE'代入解得：vAB m/s答：（1）求A滑过Q点时的速度大小为4m/s，受到的弹力F大小为22N；（2）若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，k的数值为18；（3）碰后AB滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度vAB与n的关系式为vAB m/s。三.举一反三，巩固练习如图所示，一质量M＝3.0kg、长L＝5.15m的长木板B静止放置于光滑水平面上，其左端紧靠一半径R＝10m的光滑圆弧轨道，但不粘连。圆弧轨道左端点P与圆心O的连线PO与竖直方向夹角为60°，其右端最低点处与长木板B上表面相切。距离木板B右端d＝2.5m处有一与木板等高的固定平台，平台上表面光滑，其上放置有质量m＝1.0kg的滑块D。平台上方有一固定水平光滑细杆，其上穿有一质量M0＝2.0kg的滑块C，滑块C与D通过一轻弹簧连接，开始时弹簧处于竖直方向。一质量m＝1.0kg的滑块A从P点静止开始沿圆弧轨道下滑。A下滑至圆弧轨道最低点并滑上木板B，带动B向右运动，B与平台碰撞后即粘在一起不再运动。A随后继续向右运动，滑上平台，与滑块D碰撞并粘在一起向右运动。A、D组合体在随后运动过程中一直没有离开平台，且C没有滑离细杆。A与木板B间动摩擦因数为μ＝0.75。忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。重力加速度g＝10m/s2，求：（1）滑块A到达圆弧最低点时对轨道压力的大小；（2）滑块A滑上平台时速度的大小；（3）若弹簧第一次恢复原长时，C的速度大小为0.5m/s。则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大？【解答】解：（1）从P点到圆弧最低点，由动能定理在最低点，由牛顿第二定律可知由牛顿第三定律可知FN'＝FN＝20N（2）假设物块A在木板B上与B共速后木板才到达右侧平台，以AB系统，由动量守恒定律mv1＝（M+m）v2由能量关系解得：x相＝5m＜5.15mB板从开始滑动到AB共速的过程中，对B由动能定理解得xB＝1.25m＜2.5m即假设成立；B撞平台后，A在B上继续向右运动，对A由动能定理解得：v3＝2m/s（3）由题分析可知弹簧初态一定是压缩，则弹簧第一次恢复原长时，C的速度方向向左，以AD和C系统，由动量守恒定律mv3＝2mv4+Mv5三者速度相同时弹性势能最大，由动量守恒定律mv3＝（2m+M）v6由能量关系可知解得：Epmax＝2J答：（1）滑块A到达圆弧最低点时对轨道压力的大小为20N；（2）滑块A滑上平台时速度的大小为2m/s；（3）若弹簧第一次恢复原长时，C的速度大小为0.5m/s。则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是2J。如图所示，光滑轨道abcd固定在竖直平面内，ab水平，bcd为半圆，圆弧轨道的半径R＝0.32m，在b处与ab相切。在直轨道ab上放着质量分别为mA＝2kg、mB＝1kg的物块A、B（均可视为质点），用轻质细绳将A、B连接在一起，且A、B间夹着一根被压缩的轻质弹簧（未被拴接）。轨道左侧的光滑水平地面上停着一质量为M、长L＝0.5m的小车，小车上表面与ab等高。现将细绳剪断，之后A向左滑上小车，B向右滑动且恰好能冲到圆弧轨道的最高点d处。物块A与小车之间的动摩擦因数μ＝0.2，小车质量M满足1kg≤M≤3kg，重力加速度g取10m/s2。求：（1）物块B运动到圆弧轨道的最低点b时对轨道的压力大小。（2）细绳剪断之前弹簧的弹性势能EP。（3）物块A在小车上滑动过程中产生的热量Q（计算结果可含有M）。【解答】解：（1）物块B在最高点d时，由牛顿第二定律可得   mBg＝mB物块B从b到d，由动能定理可得﹣mBg•2R物块B在b点时，由牛顿第二定律可得  FN﹣mBg＝mB联立以上方程可得FN＝60N由牛顿第三定律可知物块对轨道的压力大小：FN′＝FN＝60N（2）弹簧释放过程，取向左为正方向，由动量守恒定律可得  mAvA﹣mBvB＝0由机械能守恒可得EPmAvA2mBvB2联立以上方程可得EP＝12J（3）假设A恰好滑到小车左端时与小车有共同速度v，由动量守恒定律可得mAvA＝（ mA+M）v由能量守恒可得μmAg•LmAvA2（ mA+M）v2联立以上方程可得M＝2 kg当1kg≤M≤2kg时，A与小车最终有共同速度，由能量守恒可得物块A在小车上滑动过程中产生的热量Q1mAvA2（ mA+M）v2解得Q1当2kg＜M≤3kg时，A将从小车左端滑出，可得Q2＝μmAgL解得Q2＝2J答：（1）物块B运动到圆弧轨道的最低点b时对轨道的压力大小为60N；（2）细绳剪断之前弹簧的弹性势能EP为12J。（3）当1kg≤M≤2kg时，物块A在小车上滑动过程中产生的热量为；当2kg＜M≤3kg时，物块A在小车上滑动过程中产生的热量为12J。如图所示，水平轨道左端与长L＝1.25m的水平传送带相接，传送带逆时针匀速运动的速度v0＝1m/s。轻弹簧右端固定在光滑水平轨道上，弹簧处于自然状态。现用质量m＝0.1kg的小物体（视为质点）将弹簧压缩后由静止释放，到达水平传送带左端B点后，立即沿切线进入竖直固v定的光滑半圆轨道最高点并恰好做圆周运动，经圆周最低点C后滑上质量为M＝0.9kg的长木板上，竖直半圆轨道的半径R＝0.4m，物块与传送带间动摩擦因数μ＝0.8，物块与木板间摩擦因数μ2＝0.25．取g＝10m/s2．求：（1）物块到达B点时速度vB的大小。（2）弹簧被压缩时的弹性势能Ep。（3）若长木块与水平地面间动摩擦因数μ3≤0.026时，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度S的范围是多少（设最大静动摩擦力等于滑动摩擦力）。【解答】解：（1）物体在光滑半圆轨道最高点恰好做圆周运动，由牛顿第二定律得： （2）物块被弹簧弹出过程中，物块和弹簧组成的系统机械能守恒：因为1m/s，所以物体在传送带上一直做匀减速运动物块在传送带上滑行过程由动能定理得：（N）联立解得：（3）物块从B到C过程中由机械能定律得：mg•2R联立解得：m/s讨论：1、当时，小物块恰好不会从长木板上掉下长度为小木块和长木板共速为v，由动量守恒定律：由功能关系：解得S1＝3.6m2、当0.026时，小物块恰好不会从长木板上掉下长度为物块在长木板上滑行过程中，对长木板受力分析：上表面受到的摩擦力下表面受到的摩擦力0.26N所以长木板静止不动，对物块在长木板上滑行过程由动能定理得：所以所以木块长度的范围是3.6m≤S≤4m答：（1）物块到达B点时速度vB的大小为2m/s。（2）弹簧被压缩时的弹性势能为1.2J。（3）若长木块与水平地面间动摩擦因数μ3≤0.026时，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度S的范围是3.6m≤S≤4m如图所示，在同一竖直平面上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面底部的压缩弹簧的顶端，此时小球距斜面顶端的高度为H＝2L，解除弹簧的锁定后，小球沿斜面向上运动．离开斜面后，达到最高点时（此时A球的速度恰好水平）与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞，碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，O点的投影O′与P的距离为L．已知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度为g，不计空气阻力．求：（1）球B在两球碰撞后瞬间受到悬绳拉力的大小；（2）球A在两球碰撞前瞬间的速度大小；（3）弹簧的弹力对球A所做的功．【解答】解：（1）设球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小为，由动能定理得：﹣mgL＝0mvB2，解得：vB，对B球，由牛顿第二定律得：T﹣mg＝m，解得：T＝3mg；（2）设球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小为v0，球A在两球碰撞后一瞬间的速度大小为vA，两球碰撞过程动量守恒，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：2mv0＝2mvA+mvB，由机械能守恒定律得：•2mv02•2mvA2mvB2，解得：vA，v0；（3）碰后球A做平抛运动，设碰后一瞬间球A距O′的高度为h，由平抛运动规律得：hgt2，vAt，解得：h＝L，弹簧将球A弹起到A碰B的过程中，由能量守恒定律得：W弹＝2mg•3L•2mv02，解得：W弹mgL；答：（1）球B在两球碰撞后瞬间受到悬绳拉力的大小为3mg；（2）球A在两球碰撞前瞬间的速度大小为；（3）弹簧的弹力对球A所做的功为mgL．