新高考数学一轮复习《导数与函数的构造问题》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《导数与函数的构造问题》课时练习

一              、选择题（本大题共9小题，每小题0分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.下列三个数：a＝ln ﹣，b＝ln π﹣π，c＝ln 3﹣3，大小顺序正确的是(　　)

A.a＞c＞b        B.a＞b＞c        C.b＞c＞a        D.b＞a＞c

【答案解析】答案为：A

解析：构造函数f(x)＝ln x﹣x，因为f′(x)＝﹣1＜0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，所以函数f(x)＝ln x﹣x在x∈(1，＋∞)上单调递减，从而有f()＞f(3)＞f(π)，即a＞c＞b.

2.已知x，y∈R，且2x＋3y＞2﹣y＋3﹣x，则下列各式正确的是(　　)

A.x﹣y＞0        B.x＋y＜0        C.x﹣y＜0        D.x＋y＞0

【答案解析】答案为：D

解析：因为2x＋3y＞2﹣y＋3﹣x，所以2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y.令f(x)＝2x﹣3﹣x，

因为f(x)＝2x﹣3﹣x＝2x﹣为增函数，f(x)＞f(﹣y)，所以x＞﹣y，即x＋y＞0.

3.已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)＞0，其中f′(x)为f(x)的导函数，设a＝f(0)，b＝2f(ln 2)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.c＞b＞a        B.a＞b＞c        C.c＞a＞b        D.b＞c＞a

【答案解析】答案为：A

解析：令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0，∴g(x)在R上单调递增，

又0＜ln 2＜1，∴g＜g＜g(1)，即f(0)＜2f＜ef(1)，即c＞b＞a.

4.设x，y∈R，且满足，则x＋y等于(　　)

A.0           B.2         C.4           D.6

【答案解析】答案为：B.

解析：由⇒

设f(t)＝t5＋2t＋sin t，

易得f(t)为奇函数，由题意可得

所以f(x﹣1)＝﹣f(y﹣1)，所以x﹣1＝﹣(y﹣1)，x＋y＝2.

5.使不等式a2＋a＜aln a＋成立的a的取值范围是(　　)

A.(﹣∞，1)        B.(0,1)      C.(1，＋∞)        D.(0，e)

【答案解析】答案为：B

解析：原不等式可化为a2＋a﹣aln a﹣＜0，令φ(x)＝x2＋x﹣xln x﹣(x＞0)，

∴φ′(x)＝x﹣ln x，令g(x)＝x﹣ln x，则g′(x)＝1﹣＝，

∴φ′(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴φ′(x)min＝φ′(1)＝1，∴φ′(x)＞0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，φ(x)＞0，

∴原不等式的解集为(0,1).

6.f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)＞0的解集是(　　)

A.(﹣3,0)∪(3，＋∞)            B.(﹣3,0)∪(0,3)

C.(﹣∞，﹣3)∪(3，＋∞)        D.(﹣∞，﹣3)∪(0,3)

【答案解析】答案为：D

解析：令h(x)＝f(x)g(x)，∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

则h(﹣x)＝f(﹣x)g(﹣x)＝﹣f(x)g(x)＝﹣h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数.

∵当x＜0时，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，∴h(x)在(﹣∞，0)上单调递减.

∵g(3)＝g(﹣3)＝0，∴h(3)＝f(3)g(3)＝0，进而h(﹣3)＝f(﹣3)g(﹣3)＝0，

且h(0)＝f(0)g(0)＝0，要使h(x)＝f(x)g(x)＞0，则0＜x＜3或x＜﹣3.

7.已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x＜0时，xf′(x)﹣f(x)＜0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.b＜a＜c        B.a＜c＜b        C.a＜b＜c        D.c＜a＜b

【答案解析】答案为：D

解析：令g(x)＝，由偶函数f(x)知，

当x∈(﹣∞，0)∪(0，＋∞)时，g(﹣x)＝﹣g(x)，故g(x)＝为奇函数，

当x＜0时，g′(x)＝＜0，则g(x)在(﹣∞，0)上单调递减，

由奇函数性质知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

而ln 2＜1＜e＜3，所以g(3)＜g(e)＜g(ln 2)，即c＜a＜b.

8.已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)﹣2f(x)＞4 ，若f(0)＝﹣1 ，则不等式f(x)＋2＞e2x 的解集为(　　)

A.(0，＋∞)     B.(﹣1，＋∞)     C.(﹣∞，0)     D.(﹣∞，﹣1)

【答案解析】答案为：A

解析：设F(x)＝，则F′(x)＝，

∵f′(x)﹣2f(x)﹣4＞0，∴F′(x)＞0，即函数F(x)在定义域上单调递增，

∵f(0)＝﹣1，∴F(0)＝1，

∴不等式f(x)＋2＞e2x等价为不等式＞1等价为F(x)＞F(0)，解得x＞0，

故不等式的解集为(0，＋∞).

9.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)＞﹣2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)＜g(1)的解集是(　　)

A.(﹣∞，1)               B.(﹣1,1)

C.(﹣∞，0)∪(0,1)        D.(﹣1,0)∪(0,1)

【答案解析】答案为：D

解析：∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f(﹣x)＝f(x).

对任意正实数x满足xf′(x)＞﹣2f(x)，∴xf′(x)＋2f(x)＞0.

∵g(x)＝x2f(x)，

∴g(x)也是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＞0，

∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)在(﹣∞，0)上单调递减.

若g(x)＜g(1)，则|x|＜1(x≠0)，解得0＜x＜1或﹣1＜x＜0.

故g(x)＜g(1)的解集是(﹣1,0)∪(0,1).

二              、多选题（本大题共1小题，共0分）

10. (多选)已知a＞b＞1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.aea＞beb      B.aln b＞bln a     C.aln a＞bln b    D.bea＞aeb

【答案解析】答案为：ACD.

解析：设f(x)＝xex，x＞1，则f′(x)＝(x＋1)ex＞0在(1，＋∞)上恒成立，

故函数单调递增，故f＞f，即aea＞beb，A正确；

设g(x)＝，x＞1，则g′(x)＝，函数g(x)在上单调递增，

在上单调递减，故当1＜b＜a＜e时，g(a)＞g(b)，

即＞，故aln b＜bln a，B错误；

设h(x)＝xln x，x＞1，则h′(x)＝ln x＋1＞0在(1，＋∞)上恒成立，故函数单调递增，h＞h，即aln a＞bln b，C正确；

设k(x)＝，x＞1，则k′(x)＝＞0在(1，＋∞)上恒成立，故函数单调递增，

故k(a)＞k(b)，即＞，故bea＞aeb，D正确.

三              、填空题（本大题共4小题，每小题0分，共0分）

11.设一条平行于x轴的直线与曲线y＝ex，y＝相交于P，Q两点，则|PQ|的最小值为______.

【答案解析】答案为：＋ln 2.

解析：依题意设P(x1，t)，Q(x2，t)(x1＞0，x2＞0，t＞0)，

∵|PQ|＝x2﹣x1，又t＝ex1，t＝，∴x1＝ln t，x2＝t2，

∴|PQ|＝t2﹣ln t(t＞0)，令φ(t)＝t2﹣ln t(t＞0)，

φ′(t)＝2t﹣＝，令φ′(t)＞0⇒t＞，φ′(t)＜0⇒0＜t＜，

∴φ(t)在(0,)上单调递减，在(,+∞)上单调递增，

∴φ(t)min＝φ()＝()2﹣ln ＝＋ln 2.

12.已知函数f(x)＝ln x﹣2x，当x1＞x2＞1时，恒有f(x1)﹣f(x2)＜m，则实数m的取值范围是________.

【答案解析】答案为：(﹣∞，1]

解析：∵f(x1)﹣f(x2)＜m，即f(x1)﹣＜f(x2)﹣，令φ(x)＝f(x)﹣，

∴当x1＞x2＞1时，φ(x1)＜φ(x2)，∴φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，

∴当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＝﹣2＋≤0恒成立，即m≤2x2﹣x.

∵y＝2x2﹣x在(1，＋∞)上单调递增，∴2x2﹣x＞2×12﹣1＝1，∴m≤1.

13.已知函数f(x)对任意的x∈R都有2 021f(x)＋f′(x)＜0，若f(1)＝e﹣2 021，则不等式f(x)＞e﹣2 021x的解集为________.

【答案解析】答案为：(﹣∞，1)

解析：设g(x)＝f(x)e2 021x，则g′(x)＝2 021f(x)e2 021x＋f′(x)e2 021x＜0，

所以g(x)在R上单调递减，因为f(1)＝e﹣2 021，则g(1)＝1.

f(x)＞e﹣2 021x等价于g(x)＞1＝g(1)，解得x＜1，故不等式的解集为(﹣∞，1).

14.设a＞0，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式aeax﹣ln x≥0恒成立，则a的最小值为________.

【答案解析】答案为：.

解析：由aeax﹣ln x≥0⇒axeax≥xln x，即axeax≥ln x·eln x，

令f(x)＝xex，则f(ax)≥f(ln x)，

显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以ax≥ln x⇒a≥.

令g(x)＝，则g′(x)＝，

令g′(x)＞0，得0＜x＜e，令g′(x)＜0，得x＞e，

故x＝e时，g(x)取得极大值，即为最大值，g(x)max＝g(e)＝，从而a≥.