2022-2023学年福建省莆田市荔城区擢英中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省莆田市荔城区擢英中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省莆田市荔城区擢英中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  北京教育资源丰富，高校林立，如图所示四个高校校徽主题图案中，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下面调查中，最适合采用普查的是(    )A. 对全国中学生视力状况的调查 B. 了解某市八年级学生身高情况
C. 调查人们垃圾分类的意识 D. 对“神舟十三号”飞船零部件的调查3.  计算的结果是(    )A.  B.  C.  D. 4.  每年月日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约千克，将数据用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 5.  在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则该样本的中位数是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，已知，一块含角的直角三角板，如图所示放置，，则等于(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，内接于，是边的中点，连接并延长，交于点，连接，则的大小为(    )A.
B.
C.
D. 8.  中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为(    )A.  B.
C.  D. 9.  如图，等腰中，，，轴，交轴于点，且是的中点．反比例函数的图象经过点，交于点若，则的值是(    )A.
B.
C.
D. 10.  对于一个函数，自变量取时，函数值等于，则称为这个函数的零点若关于的二次函数有两个不相等的零点，，关于的方程有两个不相等的非零实数根，，则下列关系式一定正确的是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  因式分解：______．12.  抛物线向右平移个单位，所得抛物线解析式是        ．13.  如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为______ ．
 14.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连结，则的值为        ．
 15.  如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则重叠部分的四边形周长是        ．
 16.  如图，中，，，，点在边上运动不与，重合，以为边作正方形，使点在正方形内，连接，则下列结论：
≌；
的长度可能是的长度的倍；
点到直线的距离为；
面积的最大值是；
其中正确的结论是______填写所有正确结论的序号．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
如图，在中，点是延长线上一点，，，，求证：．
19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．20.  本小题分
为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按，，，四类分别装袋、投放，其中类指废电池、过期药品等有害垃圾；类指剩余食品等厨余垃圾；类指塑料、废纸等可回收物；类指其他垃圾小明投放了一袋垃圾，小亮投放了两袋不同类垃圾．
直接写出小明投放的垃圾恰好是类的概率是______ ；
如果小明投放的垃圾是类，请用画树状图或列表的方法求小亮投放的垃圾恰有一袋与小明投放的垃圾是同类的概率．21.  本小题分
如图，在中，，于点．
在边上求作点，使∽；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，连接，若，，求的长．
22.  本小题分
某商店代销一批季节性服装，每套代销成本元，第一个月每套销售定价为元时，可售出套；应市场变化需上调第一个月的销售价，预计销售定价每增加元，销售量将减少套．
若设第二个月的销售定价每套增加元，填写下表：时间第一个月第二个月销售定价元______ 销售量套______ 若商店预计要在第二个月的销售中获利元，则第二个月销售定价每套多少元？
若要使第二个月利润达到最大，应定价为多少元？此时第二个月的最大利润是多少？23.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是的切线；
若直径，，求的长．
24.  本小题分
如图，中，，以直角边为腰，向外作等腰直角三角形，，，点是边上一点，且，．
探究：与的数量关系；
求证：；
若，，求的长．25.  本小题分
如图，抛物线：经过点，与轴交于，两点．
求此抛物线的解析式；
点，是抛物线上两点，，，．
若，求所在直线的函数解析式；
已知，求证：为定值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：对全国中学生视力状况的调查，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B.了解某市八年级学生身高情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C.调查人们垃圾分类的意识，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D.对“神州十三号”货运飞船零部件的调查，适合普查，故本选项符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，掌握对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查是关键．
 3.【答案】 【解析】解：．
故选：．
利用幂的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是熟记幂的乘方的法则并灵活运用．
 4.【答案】 【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 5.【答案】 【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为、、、，
所以这组数据的样本容量为，中位数为，
故选：．
由方差的计算公式得出这组数据为、、、，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据及中位数的定义．
 6.【答案】 【解析】解：，，


．
，
．



．
故选：．
利用三角形外角与内角的关系，先求出，利用平行线的性质得到的度数，再利用三角形外角与内角的关系求出．
本题考查了平行线的性质、直角三角形内角和定理的推论．本题亦可过点作直线的平行线，利用平行线的性质和平角求出的度数．
 7.【答案】 【解析】【分析】
连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
【解答】解：连接，
，
，
是边的中点，
，
，
，
故选：．  8.【答案】 【解析】解：共买了一千个苦果和甜果，
；
共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
．
可列方程组为．
故选：．
利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：过作于，交轴于，
，，
，
，
轴，是的中点，
，
的横坐标为，的横坐标为，
，
的横坐标为，
设点的坐标为，则，
反比例函数的图象经过点，交于点．
，
解得：，
，
故选：．
过作于交轴于，则轴，根据勾股定理得到，设点的坐标为，则，即可得到，解方程求得的值，进而求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由题意关于的方程有两个不相等的非零实数根，，就是关于的二次函数与直线的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

抛物线的对称轴为直线，
，
由图象可知：一定成立，
故选：．
根据题意画出关于的二次函数的图象以及直线，根据图象即可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
故答案为：．
提公因式，再运用平方差公式因式分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 12.【答案】 【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将向右平移个单位，所得函数解析式为：．
故答案为：．
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：如图，圆心为，连接，，，．

，，
的长．
故答案为：．
如图，圆心为，连接，，，利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心的位置，属于中考常考题型．
 14.【答案】 【解析】解：，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
，
故选：．
在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出长是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，由题意得：矩形≌矩形，
，，，，，
四边形平行四边形，
平行四边形的面积，
，
平行四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
菱形的周长，
即重叠部分的四边形周长是，
故答案为：．
先证四边形平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
当时，，
此时，
则不全等于，
故错误；
当的度数是时，
，
中，，，
，
，
，
，
，
故CD的长度可能是的长度的倍；
故正确；
过作于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
点到直线的距离为，
故正确；
过点作于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，



，
面积的最大值是，
故正确；
故答案为：．
根据“两边对应相等，而夹角不一定相等，这样的两个三角形不一定全等”进行判断；
当的度数是时，进而得，，则，，故CD的长度可能是的长度的倍；
过作于点，证明≌得便可；
过点作于点，证明≌，得，进而解直角三角形，用表示、，再根据三角形的面积公式求得面积关于的解析式，利用完全平方式求得其最小值．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形的知识，关键是证明全等三角形．
 17.【答案】解：

． 【解析】利用零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质化简，计算即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
 18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】证得，可证明≌，则结论得证．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
 19.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】先算减法，然后算除法即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 20.【答案】 【解析】解：垃圾要按，，，四类分别装袋、投放，分别是：类指废电池、过期药品等有害垃圾；类指剩余食品等厨余垃圾；类指塑料、废纸等可回收物；类指其他垃圾，
小明投放的垃圾恰好是类的概率是：；
故答案为：；

根据题意画树状图如下：

小亮投放垃圾共种，恰有一袋与小明一样是类的有种，
则小亮投放的垃圾恰有一袋与小明投放的垃圾是同类的是：．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：如图所示，点即为所求．

，，
，
，
，
∽，
，即，
解得． 【解析】过点作线段的垂线即可；
由，知，结合，得，再由∽知，代入计算即可．
本题主要考查作图相似变换，等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质．
 22.【答案】解：；；
若设第二个月的销售定价每套增加元，根据题意得：
，
解得：舍去，，
当时，．
答：第二个月销售定价每套应为元．

设第二个月利润为元．
由题意得到：


当时，取得最大值，此时，
，
即要使第二个月利润达到最大，应定价为元，此时第二个月的最大利润是元． 【解析】解：若设第二个月的销售定价每套增加元，由题意可得，时间第一个月第二个月销售定价元销售量套故答案为：，．
见答案；
见答案．

根据题意可以将表格补充完整；
根据题意可以写出获得的利润的表达式，令利润等于，即可求得第二个月的销售定价每套的价格；
根据利润的表达式转化为二次函数的顶点式，即可解答本题．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．
 23.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 24.【答案】解：，理由如下：
，
，
中，，
，
，
；
证明：如图，延长至，使，连接，

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，过点作于，

是等腰直角三角形，且，
，
，
，
中，，
，
由知：，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，即，
，
由勾股定理得：． 【解析】先根据等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得：，由此可得结论；
延长至，使，连接，根据证明≌，得，，由三角形的外角的性质和等腰三角形的判定可得结论；
如图，过点作于，先根据勾股定理计算，，根据中的结论可得的长，由相似三角形的性质列比例式可得和的长，最后由勾股定理可得结论．
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定，证明∽是解题的关键．
 25.【答案】解：经过点，
将代入得，，
解得；
抛物线的解析式为；
解：如图，延长交轴于点，

令
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
设所在直线的函数解析式为，
把，代入得，
，
所在直线的函数解析式为；
证明：如图，过点作与的延长线相交于点，

，，，
≌，
，
设直线的解析式为，
直线的解析式为，
将分别代入解析式中得，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
将代入解析式中得，，
．
；
可得；，
，，
；，
；，
；，
，
为定值． 【解析】将代入抛物线解析式求出即可得出结论；
延长交轴于点，由抛物线解析式可得出点，坐标；解，得出点的坐标，可得出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式即可得出结论；
过点作与的延长线相交于点，可证明，≌，可得直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式，可分别表达和，由此可得结论．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系等知识，将函数交点问题转化为一元二次方程的解的问题是解题关键．