重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高一数学下学期3月第一次月考试题（Word版附解析）

这是一份重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高一数学下学期3月第一次月考试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 在中，若，则一定是， 已知复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
万州二中教育集团高一（下）三月质量检测数学试题（120分钟150分）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上的对应点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再判定象限.【详解】因为，所以复数在复平面上的对应点为，在第三象限.故选：C.2. 已知平面向量，且，则A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B.考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（    ）A. 30° B. 60°C. 30°或150° D. 60°或120°【答案】A【解析】【分析】先由正弦定理求出sinB=，可得B=30°或B=150°，再由a>b，得A>B，从而可求出B=30°.【详解】由正弦定理得，即，解得sinB=，又B为三角形内角，所以B=30°或B=150°，又因为a>b，所以A>B，即B=30°.故选：A.4. 在中，若，则一定是（    ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 以上说法都不对【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积的定义及三角形内角性质得，但B、C的大小不定，即可得答案.【详解】由，即，又，则，即为锐角，但不能确定B、C的大小，它们中可能存在钝角或直角或都为锐角.故选：D5 若，，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.【详解】因为，，所以，所以，.又，所以.所以，.故选：C.6. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）A. 20 m B. 30 m C. 20 m D. 30 m【答案】D【解析】【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】，由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.故选：D7. 已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】不妨设，，，，利用数量积和模长的坐标表示求得点的轨迹即可求解.【详解】因为，，夹角为，所以，不妨设，，，则，，则，解得或，设，由得在以为圆心，1为半径的圆上，或所以的最小值为.故选：C8. 若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，，，，，，三者直接各自的夹角都为锐角，，，，，，即在上的投影为1，在上的投影为3，，，如图，即，且则，由基本不等式得，，与的夹角为锐角，，由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，故选：C.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列说法正确的是（    ）A. 的共轭复数是B. 的虚部是C. D. 若复数满足，则的最大值是【答案】AD【解析】【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的除法可判断C选项；利用复数模几何意义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，复数的虚部为，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，令，则，即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.故选：AD.10. 下列说法错误的是（    ）A. 若向量与向量共线，则B. 在平行四边形中，有向线段与有向线段相等C. 为平面中两个不共线的单位向量，若，则D. 一个物体在力的作用下产生位移 ，那么力所做的功就是力与位移所对应的向量的内积【答案】ABC【解析】【分析】根据向量的共线，考虑与共线情况，可判断A；根据向量和有向线段的概念判断B；根据数量积的运算判断C；根据力做功的含义结合数量积（内积）定义判断D.【详解】.向量与向量共线，若与共线，则，A错误；B.有向线段与向量是不相同的概念，有向线段具有三要素：起点､方向､长度，向量完全由模和方向确定，并且有向线段与有向线段的方向相反，二者不相等，B错误C.当时，，此时，C错误；D. 一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功为为和的夹角，则就是力与位移所对应的向量的内积，D正确，故选：ABC11. 在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）A.  B. 向量，夹角的最小值为C. 内角A的最大值为 D. 面积的最小值为【答案】AC【解析】【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到，根据均值不等式得到，计算，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到，得到答案.【详解】，，故A对；，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对；，故D错.故选：AC12. 已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ）A. B. 为内心C. D. 对于平面内任意一点，总有【答案】ACD【解析】【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项的正误.【详解】A：由为的重心，则，，，所以，即，正确；B：，由为外心，所以，即，同理，故为垂心，错误.C：，所以，因，故，而，所以，即，正确.D：，所以，因为，故，正确.故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知点和向量，若，则点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由求向量的坐标，由此可得点的坐标.【详解】设为坐标原点，因为，，故，故点的坐标为．故答案为：.14. 小明在整理笔记时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，、、分别是角、、的对边，已知，，求边.显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据题意,由正弦定理可得， 如图所示, 因为只有一解,以为圆心, 为半径的圆与射线有且仅有一个交点, 观察可得的取值范围.【详解】由正弦定理,可得 , ，则，因为只有一解,所以 , 即 ;故答案为：.15. 已知为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，若存在使得，则实数m的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】由平面向量数量积的运算结合已知得出，参变分离根据二次函数值域得到，通过题意得出，即可得出答案.【详解】为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，，，则，，，，，，，，，故答案为：.16. 年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________.【答案】##.【解析】【分析】根据内心特点可知，利用向量线性运算进行转化可求得，，则；利用余弦定理和基本不等式可求得，由此可得的最大值.【详解】为的内心，，，，，，即，，；（当且仅当时取等号），，，（当且仅当时取等号），的最大值为.故答案为：.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知向量，，. （1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）计算出和的坐标，利用得出关于实数的等式，解出即可；（2）求出坐标，由，可得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，解出即可.【详解】，，，，解得；（2），，，解得.【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.18. 是平面直角坐标系的原点，，记.（1）求在上的投影向量坐标；（2）若向量，满足条件：与互补，求【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）结合向量的投影公式，即可求解.（2）结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】由题意可得，，，则在上的投影向量坐标为.【小问2详解】，又与互补，，，化简整理可得，，解得或，显然时，，不符合题意，故.19. 某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.（1）求点到点的距离；（2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.【答案】（1）海里；（2）小时【解析】【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解； （2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.【详解】（1）由题意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：即，所以海里，（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的时间为小时，所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.20. 在锐角中，分别是角所对的边，，且.（1）求；（2）若周长的范围【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式和二倍角正弦公式化简已知等式可求得，由此可得；（2）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式和辅助角公式可得，利用正弦型函数值域的求法可求得的范围.【小问1详解】由得：，由正弦定理知：，又，，，又，，，，，，则，，解得：.【小问2详解】由正弦定理得：，，，；为锐角三角形，，解得：，，，，即周长的取值范围为.21. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）已知△ABC的面积为，求；（2）若G为三角形的重心，且，求的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理将其转化为角的形式，化简可得答案（2）将作为基底，然后根据题意，把用基底表示，再利用可得，从而可得到的关系，利用基本不等到式可求出的范围，再利用三角函数的关系可求得的范围【小问1详解】因为的面积为，所以所以，所以由正弦定理得，因为，所以，【小问2详解】延长交于，延长交于，因为为的重心，所以，，因为，所以，所以，化简得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即的取值范围22. 如图，A，B是单位圆上的相异两定点（为圆心），（为锐角），点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M（点M异于点、B）（1）求（结果用表示）；（2）若①求的取值范围；②设，记，求的最小值.【答案】（1）    （2）①；②【解析】【分析】（1）由，再结合平面向量的数量积，得解；（2）①设，，化简可得，再根据正弦函数的图象与性质，得解；②设，由，结合，推出，再利用分离常数法和基本不等式，得解．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：①设，，则，，，又，则.②设，则，因为，所以，所以，因为，所以，即，化简得，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．