2023浙江省山河联盟高二下学期3月联考试题数学含解析

山河联盟2022学年第二学期3月联考

高二   数学试卷

一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共4 0分）

1. 直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率可得倾斜角.

【详解】解：将直线化为，所以直线的斜率为，即，

又，所以.

故选：C

2. 若等差数列的前7项和，且，则（   ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件求得，由此求得.

【详解】依题意，即，解得，

所以.

故选：D

3. 已知向量，．若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示直接计算作答.

【详解】向量，，因，则，解得，

所以，B，D都不正确；，C不正确，A正确.

故选：A

4. 若椭圆过点，则其焦距为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将点代入椭圆方程求出，再根据求出半焦距，从而可得焦距.

【详解】解：因为椭圆过点，所以，解得，

所以，

所以，解得，

所以焦距，

故选：D.

5. 已知函数，则的极大值为

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】，则,令x=1得，所以

则，所以函数在（0,2）上递增，在（2，+）上递减，

则极大值为

故选B

6. 设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2023的项的个数为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

【答案】C

【解析】

【分析】求出数列的通项公式，可得出数列的通项公式，利用分组求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整数的值，进而可得出结论.

【详解】由题意可得，

所以，，则，

所以，数列单调递增，因为，

则，则使得不等式成立的最大正整数的值为10.

因此，数列中不超过2023的项的个数为10.

故选: C.

7. 已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C在第一象限上的点，直线PO交双曲线C的左支于点M，若，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A.  B. 3 C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】设双曲线的左焦点为F1，则四边形MFPF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在△△POF中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率．

【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MFPF1为平行四边形．

∴．设，则，，

∴，得，即，

∵，∴△MFP中，由余弦定理可得：，得，

∴，，

在△POF中，由余弦定理可得：，

整理，得，即.

故选：D

8. 已知函数若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数，利用导数进行研究，通过分离常数法求得的取值范围.

【详解】函数，则，

而，

故，

所以，

令，，

所以在区间上递增，最小值为，

所以.

故选：C

【点睛】求解不等式成立的存在性问题或恒成立问题，可考虑分离常数法.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分共20分.全部全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）

9. 设函数，则下列说法正确的是（    ）

A.

B.

C. 在处的切线方程为

D.

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，对四个选项一一求导，即可验证.

【详解】对于A：因为，所以，所以，故A错误；

对于B：因为，所以，所以，故B正确；

对于C：因为，所以，所以.

而，所以在处的切线方程为，故C正确；

对于D：.故D错误.

故选：BC

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 是等差数列的第8项

B. 在等差数列中，若，则当时，前n项和取得最大值

C. 存在实数a，b，使成等比数列

D. 若等比数列的前n项和为，则，，成等比数列

【答案】BD

【解析】

【分析】求出通项公式，代入即可判断A项；根据通项公式，得出首项、公差的值，得到表达式，即可判断B项；设为等比数列，根据等比中项可得，，易知无实数解，即可判断C项；分和，根据前n项和公式，即可判断D项.

【详解】对于A项，易知等差数列的通项为，则，故A项错误；

对于B项，由已知，，所以，所以当时，取得最大值，故B项正确；

对于C项，若存在实数a，b，使得成等比数列，则，，显然无实数解，故C项错误；

对于D项，设的公比为.当时，有，满足等比数列；当时，，，，满足等比数列.

综上所述，，，成等比数列，故D项正确.

故选：BD.

11. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ）

A. 的准线方程为

B. 直线与相切

C. 若，则的最小值为

D. 若，则的周长的最小值为11

【答案】BCD

【解析】

【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.

【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；

由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；

设点，所以，

所以，故C正确；

如图过点作准线，交于点，，，

所以，

当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；

故选：BCD

12. 如图，正三棱柱中，底面ABC是边长为2的等边三角形，，D为BC中点，则（    ）

A. 直线平面

B. 点到平面的距离为

C. 异面直线与所成角的余弦值为

D. 设P，Q分别在线段，上，且，则PQ的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【详解】解：在正三棱柱中，为的中点，所以，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为，即，又平面，所以平面，故A正确；

因为，所以，则点到平面的距离为，故B正确；

因为，，设直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；

设，则、，因为，，所以，，则，，所以，所以当时有最小值，所以，所以，故D正确；

故选：ABD

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 曲线在点处的切线方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.

【详解】函数的导数为，

所以切线的斜率，切点为，则切线方程为．

故答案为：．

【点睛】易错点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点，考查学生的运算能力，属于基础题.

14. 设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.

【答案】

【解析】

【分析】由构造法和与关系求解

【详解】由题意得，而，

所以是首项为2，公比为2的等比数列.

，，当时，，也满足此式，

综上，

故答案为：

15. 在棱长为2的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，则点O到直线的距离为________.

【答案】

【解析】

【分析】如图，以为原点建系，利用向量法即可求出答案.

【详解】解：如图，以为原点建系，

则，

则，

则，

又，所以，

所以点O到直线的距离为.

故答案为：.

16. 设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】将问题转化为与有三个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.

【详解】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点

当时，，则

所以在上单调递减，在上单调递增

且，，

从而可得图象如下图所示：

通过图象可知，若与有三个不同的交点，则

故答案为：

【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果，是中档题.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和，求.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

因为，若成等比数列，

可得，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）可得，

所以.

【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：

1、基本步骤：

裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；

累加：将数列裂项后的各项相加；

消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前项和.

2、消项的规律：

消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

18. 设圆的半径为，圆心是直线与直线的交点．

（1）若圆过原点，求圆的方程；

（2）已知点，若圆上存在点，使，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）联立两直线方程，可求得圆心的坐标，求出圆的半径，由此可得出圆的方程；

（2）设点，由可求得点的轨迹为圆，利用圆与圆有公共点可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围．

详解】（1）由，得，所以圆心.

又圆过原点，，圆的方程为：；

（2）设，由，得：，化简得.

点在以为圆心，半径为的圆上.

又点在圆上，，

即，.

【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆与圆的半径长分别为和.

（1）若，则圆与圆内含；

（2）若，则圆与圆内切；

（3）若，则圆与圆相交；

（4）若，则圆与圆外切；

（5）若，则圆与圆外离.

19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，△为等边三角形.

（1）求证：；

（2）若，，求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）是中点，连接，由题设易得，根据线面垂直的判定有面，再由线面垂直的性质即可证结论.

（2）根据已知及勾股定理可证，即可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，进而确定相关点坐标，求直线的方向向量与平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.

【小问1详解】

∵为菱形，且，

∴△等边三角形，又△为等边三角形，

若是中点，连接，易知：，

又，即面，又面，

∴

【小问2详解】

由，，结合（1）知：，即，

∴，又，

故可构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

∴，则，，，

若是面的一个法向量，则，令，则，

∴，即与平面所成角的正弦值为.

20. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.

（1）求函数的解析式；

（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.

【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.

【解析】

【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.

详解：

（1）有题意可知，当时，，即，

解得，

所以.

（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则

，

，

令，得或（舍去），

所以当时，为增函数；

当时，为减函数，

故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，

即时函数取得最大值.

所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.

点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.

21. 已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．

【答案】（1），（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程和椭圆的离心率；

(2)设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点.

【详解】（1）由已知得，解得，

∴椭圆的标准方程，

∴椭圆的离心率.

(2)设，，则，

可设的直线方程为，

联立方程，整理得，

∴，

，∴，

整理得，，

∴，解得，

∴的直线方程为：，

直线恒过定点.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22. 已知函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间；

（2）不等式变形为．引入新函数，求出导函数，分类讨论时，不等式不恒成立，时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较和的大小得到，从而得出参数范围．

【小问1详解】

函数的定义域为，

，

当时，恒成立，函数在上单调递减；

当时，由，得，

由，得，

∴函数上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

【小问2详解】

，即．

令，

则．

当时，，在上单调递增，

∴，不等式不恒成立；

当时，令，

此时在上单调递增，且，

∴存在唯一时，使得，

∴当时，，则，单调递减；

当时，，则，单调递增，

∴在上的最大值，

则，

即，解得，

∴实数的取值范围是．

【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，由不等式恒成立确定参数范围．解题时需要分类讨论．在讨论导函数的正负、单调性时，需要对导函数中的一部分进行讨论求解，这是难点