专题3.10 《勾股定理》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题3.10 《勾股定理》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.10 《勾股定理》全章复习与巩固（巩固篇）
（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习第四章《实数》后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
1．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（       ）
A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5
2．如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的 东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则 水管AB的长为（       ）

A．40m B．45m C．30m D．35m
3．如图，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，连接AE，BD交于点F，则BF的长为（       ）

A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（       ）

A．1 B． C． D．
5．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD中，，，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则的最小值为（       ）．

A． B． C． D．4
7．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（       ）
A． B．
C． D．
8．在中，，，．以为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点、．再分别以、为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点．连接，并延长交于．过作于点，垂足为，则的长度为　　

A． B． C．2 D．1
9．如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（     ）

A． B． C． D．
10．如图，中，，，，则的长度为（       ）

A．3 B．4 C． D．
11．如图，矩形中，的平分线交于点E，，垂足为F，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的结论有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
12．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是_______．
13．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________．

14．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．

15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则____________．

16．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．

17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______．

18．如图是一个长方体盒子，用一根细线绕侧面绑在点A、B处，不计结头，细线最短长度为______．

19．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（和），门边沿D，C两点到门槛的距高是1尺（1尺=10寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛为_______寸．

20．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高_____．

21．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____．

22．如图，已知，过P作，且；再过作；且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形Rt，Rt，Rt，Rt，……，它们的面积分别为，，，，……，那么_______．

三、解答题
23．如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，AB＝AC．
(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)连接BC，若AD＝6，CD＝4，求△ABC的面积．






24．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．










25．如图1，点B在线段CE上，，垂足分别为C、E，且，连接AB、BF、AF，解答下列问题：

(1)判断的形状，并说明理由．
(2)梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，较短的一条底边叫上底，较长的一条底边叫下底，另外两边叫腰，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高．梯形的面积公式为：．若，且四边形ACEF为梯形．请通过求梯形ACEF面积不同的计算方法验证：在中，两直角边a、b和斜边c满足．
(3)利用（2）中验证的结论解答下列问题：
①若两条直角边长分别为3、4，则斜边的长为_______；
②如图2，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两棵树树梢相距8米，一只鸟从矮树的树梢飞到另一棵数的最短距离是________米．









26．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB＝13m，梯子底端离墙角的距离BO＝5m．
（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD＝4m吗？为什么？
（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？






27．（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．

（2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）．
（3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等．








参考答案
1．C
【分析】
根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．
解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：
c2=62+82 ，
则 c=10 ，
直角三角形面积 S=×6×8=×c×h ，
可得 h=4.8 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．
2．C
【分析】
由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．
解：∵OA是东北方向，OB是东南方向，
∴∠AOB=90°，
又∵OA=24m，OB=18m，
∴30m．
故选：C．
【点拨】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
3．B
【分析】
由已知证得，进而确定三个内角的大小，求得，进而可得到答案．
解：∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵在等腰直角三角形中
∴
∴
∴
∵
∴
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．B
【分析】
过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案．
解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°，

∵AD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B，
又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°，
∴△DAE≌△ABC（AAS），
∴AE＝BC，
∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴AE＝CE，
设BC＝x，则AC＝2x，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴（2x）2＋x2＝22，
∴x＝，即BC＝，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．C
【分析】
先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝8，
∴S△ADE＝16，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝16，
∴•（6+DF）×4＝16，
∴DF＝2，
∴DB＝，
设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，
∴h＝4×2，
∴h＝，
∴点F到BC的距离为．
故选：C
【点拨】此题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
6．B
【分析】
由题意即可推出AE，CF，EC的长度，根据勾股定理即可推出AE，EF，AF的长度，即可推出△AEF为等腰直角三角形，进行解答即可．
解：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=3，
∴CD=2，BC=3，
∵F为CD的中点，
∴DF=BE=1，
∴EC=2，CF=1，
∴AE2=5，EF2=5，AF2=10，
∴AE=EF，
∵AE2+EF2=AF2，
∴的最小值为．

故选：B．
【点拨】本题主要考查勾股定理，关键在于根据题意，推出AE=EF，AE2+EF2=AF2．
7．A
【分析】
由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案
解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；
B、根据面积得到；
C、根据面积得到，整理得；
D、根据面积得到，整理得.
故选：A.
【点拨】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理.
8．A
【分析】
直接利用基本作图方法得出：，再利用全等三角形的判定与性质得出，，结合勾股定理得出答案．
解：如图所示：由题意可得：，

在和中，
，
，
，，
，，，
，
设，
则，，
故，
解得：．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．
9．B
【分析】
先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．
解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；
∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，
∴，
∴，
故选：B．

【点拨】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．
10．C
【分析】
由题意知：，由勾股定理得出：，进而再由勾股定理得出的长，此题得解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理来求线段的长是解本题的关键．
11．D
【分析】
根据AE平分∠DAE，可得， 从而得到AB=BE，进而得到，可得①正确；然后证明△ABE≌△AFD，可得AB=BE=AF=FD，从而得到∠AED=∠CED，故②正确；再证得△DEF≌△DEC，可得③正确；再根据△ABF≌△DCF，可得BF=CF，故④正确；过点F作FG⊥BC于点G，可得，从而得到，进而得到，可得⑤正确；即可求解．
解：在矩形中，∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC，AD∥BC，
∵AE平分∠DAE，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=45°，
∴∠AEB=∠BAE=45°，
∴AB=BE，
∴，
∵，
∴AE=AD，故①正确；
在△ABE和△AFD中，
∵∠BAE=∠DAE，∠ABE=∠AFD，AE=AD，
∴△ABE≌△AFD（AAS），
∴BE=DF，
∴AB=BE=AF=FD，
∴，
∴∠AED=∠CED，故②正确；
∵∠DAE=45°，DF⊥AE，
∴∠ADF=45°，
∴∠CDF=45°，∠EDF=∠ADE-∠ADF=22.5°，
∴∠CDE=∠FDE=22.5°，
∵∠AEB=45°，∠AED=67.5°，
∴∠CED=67.5°，
∴∠AED=∠CED，
∵DE=DE，
∴△DEF≌△DEC，
∴DF=CD，
∴DE⊥CF，故③正确；
∵AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，AF=DF，
∴△ABF≌△DCF，
∴BF=CF，故④正确；
如图，过点F作FG⊥BC于点G，

∴FG∥AB，
∴∠EFG=∠BAE=45°，
∴∠EFG=∠FEG，
∴FG=GE，
∵△DEF≌△DEC，
∴CE=EF，
∴，
∴，
∵BF=CF，
∴BG=CG，
∴，
∵AB=1，，
∴，，
解得：，
∴．故⑤正确；
∴正确的有5个．
故选：D
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
12．直角三角形
【分析】
根据绝对值、完全平方数和算数平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：由题意得： ，
解得：，
∵，
∴三角形为直角三角形．
故答案为直角三角形．
【点拨】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．
13．49
【分析】
根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案．
解：如图对所给图形进行标注：

因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．
因为，，
所以正方形A，B，C，D的面积和．
故答案为：49．
【点拨】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质，面积的计算，掌握勾股定理是解本题的关键．
14．
【分析】
设，则，由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．
解：设，则，
由折叠的性质可知，，，．
在中，，
．
在中，，即，
解得．
的长为．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．34
【分析】
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．
解：∵BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，
BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，
∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，
∴AB2+CD2=34；
故答案为：34．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
16．a2+b2＝c2
【分析】
用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．

由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点拨】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
17．45°##45度
【分析】
取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．
解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：

∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，
∴△APE≌△PQF(SAS),
∴∠PAB=∠QPF，
∵PF∥BE，
∴∠PBA=∠BPF，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，
又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25，
∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，
∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，
∵PQ²=2²+1²=5=QB²，
∴△PQB为等腰直角三角形，
∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
18．15
【分析】
把长方体沿AB边剪开，在根据勾股定理计算即可；
解：如图所示，连接，则即为所求的最短长度；

，，
由勾股定理可得：，
∴；
故答案是15．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．
19．101
【分析】
画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，

设单门的宽度AO是x寸，则AE=x-1，DE=10寸，
根据勾股定理，得：AD2=DE2+AE2，
则x2=102+（x-1）2，
解得：x=50.5，
故AB=101寸，
故答案为：101
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．(4+6)m
【分析】
过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度．
解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=10m，CD=6m，
根据勾股定理得：BD=8m，
∵AB=4m，
∴AD=8+4=12m，
AC===6m，
∴这棵数原来的高度=（4+6）m，
故答案为：（4+6）m．

【点拨】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是添加辅助线，正确的计算AC的长．
21．25
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：如图所示，

∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25．
故答案为25．
【点拨】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
22．
【分析】
根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出、，求出，总结规律，根据规律解答即可．
解：在中，OP=1， =1，
则，，
∴，
同理，，
……
，
故答案为．
【点拨】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、结合题意找出三角形面积的变化规律是解题的关键．
23．(1)见分析(2)
【分析】
（1）根据题目所给条件证即可；
（2）由可得，由勾股定理可求BD，即可求解；
(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴．
(2)解：∵，
∴，
在中，，

∴．
【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握三角形的全等证明及性质是解题的关键．
24．见分析
【分析】
先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立．
解：证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴，
∴，
∴a2+b2＝c2．
【点拨】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形．
25．(1)△ABF为等腰直角三角形，证明见详解(2)见详解(3)①5；②
【分析】
（1）先证△ACB≌△BEF（SAS），得出AB=BF，∠CAB=∠EBF，再证∠ABF=180°-∠ABC-∠EBF=90°即可；
（2）根据△ACB≌△BEF，得出AC=BE=b，CB=EF=a，AB=BF=c，CE=CB+BE=a+b，利用两种方法求梯形ACEF面积整理即可；
（3）①直接利用勾股定理计算即可；
②构造直角三角形，然后利用勾股定理计算即可
(1)解：△ABF为等腰直角三角形，
理由如下：
∵
∴∠ACB=∠BEF=90°，
在△ACB和△BEF中，

∴△ACB≌△BEF（SAS），
∴AB=BF，∠CAB=∠EBF，
∵∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠EBF=∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠ABF=180°-∠ABC-∠EBF=90°，
∴△ABF为等腰直角三角形；
(2)解∵△ACB≌△BEF
∴AC=BE=b，CB=EF=a，AB=BF=c，
∴CE=CB+BE=a+b，
∴S梯形ACEF=，
即，
∴，
∴，
∴
(3)①两条直角边长分别为3、4，斜边c的长=，
故答案为5；
②解高树用AB表示，矮树用CD表示，连结AD，过D作DE⊥AB于E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EBC=∠BCD=∠DEB=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴BE=CD，
∵AB=12米，CD=5米，AD=8米，
∴AE=AB-BE=12-5=7米，
根据勾股定理DE=米．
故答案为．

【点拨】本题考查等腰直角三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，两用面积法证明勾股定理，完全平方公式，勾股定理应用，掌握等腰直角三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，两用面积法证明勾股定理，完全平方公式，勾股定理应用是解题关键．
26．（1）梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，理由见分析；（3）AB上的中点O到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
分析：(1)在中利用勾股定理求得AO的长即可;
(2)在梯子长度不变的情况下,求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断.
解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=12m，
∴梯子顶端距地面12m高；
（2）滑动不等于4m，
∵AC=4m，
∴OC=AO-AC=8m，
∴OD=m，
∴BD=OD-OB=−5＞4，
∴滑动不等于4m；
（3）AB上的中点O到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
点睛：本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是在直角三角形中弄清直角边和斜边.
27．（1）见分析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处．
【分析】
（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可；
（2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积；
（3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可．
解：（1）由面积相等可得，
∴，
∴，
∴．
（2），，
∴．
故答案为：
（3）设千米，则千米．
∵到A，B两个城市的距离相等，
∴，即，
由勾股定理，得，
解得．
即O应建在离C点52.5千米处．
【点拨】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键．