专题1.34 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题1.34 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（知识讲解）知识要点：    中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．   倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．    倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角相等）倍长中线最重要的一点：延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。【方法讲解】常用辅助线添加方法——倍长中线     △ABC中， AD是BC边中线， 如图一                                                       图一                                         图二方式1： 延长AD到E，使DE=AD， 连接BE  如图二结论：方式2：间接倍长   如图三：作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E；如图四：延长MD到N，使DN=MD，  连接CN，                                                       图三                             图四                                 【典型例题】 1．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范围．【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．可证出△ADC与△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△ABE中，进而求出AD的取值范围．方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，AD是△ABC的中线，BA＝BC，点E在BC的延长线上，EC＝BC．写出AD与AE之间的数量关系并证明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）2AD=AE．理由见分析【分析】（1）延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA（SAS），得出AC=BE=6，由三角形三边关系可得出答案；（2）延长AD至F，使DF=AD，由SAS证明△BDF≌△CDA，利用已知条件推出∠FBA=∠ACE，再由SAS证明△ACE≌△FBA即可得到2AD=AE．解：（1）证明：延长AD至E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴AC=BE=6，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7；（2）2AD=AE．理由如下：证明：延长AD至F，使DF=AD，∵AD是BC的中线，∴BD=CD，在△BDF和△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴AC=BF，∠CAD=∠F，∴AC∥BF，∴∠FBA+∠BAC=180°，∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵∠ACE+∠BCA=180°，∴∠FBA=∠ACE，∵BA=BC，EC=BC，∴BA=EC，在△ACE和△FBA中，，∴△ACE≌△FBA（SAS），∴AE=AF，∵2AD=AF，∴2AD=AE．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．【分析】延长AD到E，使FD＝AD，连接BF，易证△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代换即可．解：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF在△ADC和△FDB中， ∴（SAS）∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．∵BE＝AC，∴BF＝BE∴∠BED＝∠F，∴∠BED＝∠CAD．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 2．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　      ；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，证明见分析；（3）EF＝2AD，证明见分析．【分析】（1）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根据AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，进而可知AC∥BM；（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD与EF的数量关系．解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．举一反三：【变式】某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【答案】[探究与发现]见分析；[理解与应用]（1）见分析；（2）1＜x＜4【分析】[探究与发现]由ASA证明△ABC≌△EDC即可；[理解与应用]（1）延长AE到F，使EF=EA，连接DF，证△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再证△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AB=AF=2x，再由三角形的三边关系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．解：[探究与发现]证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，∵点E是CD的中点，∴ED=EC，在△DEF与△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD与△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，∵BD=3，AD=5，在△ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，即x的取值范围是1＜x＜4．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．（1）如图1，在△ABC中，若 AB＝12，AC＝8，求 BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使 DE＝AD，再连接 BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线 AD的取值范围是_______.问题解决：（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，CD上的两点，且∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．问题拓展：（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC 外角平分线上一点，DE⊥AC交 CA延长线于点E，F是 AC上一点，且DF＝DB．求证：AC﹣AE＝AF．【答案】（1）2＜AD＜10；（2）证明见分析；（3）证明见分析.【分析】（1）延长 AD 到点 E 使 DE＝AD，连接 BE，证明△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得到 BE＝AC，根据三角形三边关系计算；（2）延长 CB 到 G，使 BG＝DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到 AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明；（3）作 DH⊥AB 于 H，在 AB 上截取 BR＝AF，分别证明 Rt△DEF≌Rt△DHB， △DAF≌△DRB，根据全等三角形的性质证明．解：（1）延长 AD 到点E使 DE＝AD，连接 BE，在△ADC 和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝8，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即21﹣8＜2AD＜12+8，∴2＜AD＜10，故答案为2＜AD＜10；（2）证明：延长 CB 到 G，使 BG＝DF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG 和△ADF 中， ∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，∵∠EAF＝ ∠BAD，∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝ ∠BAD，∴∠GAE＝∠FAE，在△AEG 和△AEF 中， ∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF＝GE，∴EF＝BE+BG＝BE+DF；（3）证明：作 DH⊥AB 于 H，在 AB 上截取 BR＝AF，∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∵点 D 是△ABC 外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，∴DE＝DH，AH＝AE，在 Rt△DEF 和 Rt△DHB 中， ∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）∴∠DFA＝∠DBA，在△DAF 和△DRB 中， ∴△DAF≌△DRB（SAS）∴DA＝DR，∴AH＝HR＝AE＝ AR，∵AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE∴AC﹣AE＝AF．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 举一反三：【变式】如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．  【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．解：（1）如图1所示，延长至点，使，在与中，，，，，，在与中，,，，；  （2）如图所示，，，平分，，，，，，作，在与中，，，，，在与中，，，，，，设，，，． 【点拨】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．