2023天津和平区高三下学期第一次质量调查数学试题含解析

和平区2022-2023学年度第二学期高三年级第一次质量调查

数学学科试卷

温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.

考试时间120分钟.祝同学们考试顺利!

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用，橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

球的体积公式，其中表示球的半径.

如果事件互斥，那么.

如果事件相互独立，那么，

任意两个事件与，若，则.

第Ⅰ卷（选择题共45分）

一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集，则中元素个数为（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

2. 已知a是实数，则“”是“”（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 函数的图象是

A.  B.

C.  D.

4. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（    ）

A. 频率分布直方图中第三组的频数为15人 B. 根据频率分布直方图估计样本的众数为75分

C. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分

5. 已知，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A. 的最小正周期为

B. 的图象关于直线对称

C. 在上单调递增

D. 的图像关于点对称

7. 抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（    ）

A. 2 B.  C. 8 D. 4

8. 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

第II卷（非选择题共105分）

注意事项：

1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效.

2.本卷共11题，共105分.

二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）

10. 设为虚数单位，复数__________.

11. 的展开式中常数项为__________.

12. 直线与圆交，两点，若为等边三角形，则的值为______．

13. 先后掷两次骰子（骰子六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且”，则概率___________，___________.

14. 若实数x、y满足，则的最大值是______．

15. 已知四边形，且，点为线段，上一点，且，则__________，过作∥交于点，则__________.

三､解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知的内角的对边分别为，且.

（1）求的大小：

（2）若，

（i）求的面积；

（ii）求

17. 在如图所示的几何体中，平面平面；是的中点.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面的夹角的余弦值.

18. 已知数列为首项的等比数列，且成等差数列；数列为首项的单调递增的等差数列，数列的前项和为，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求；

（3）数列满足，记和分别为和的前项和，证明：.

19. 在平面直角坐标系中，椭圆离心率为，点是椭圆与轴负半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知斜率大于0的直线与椭圆有唯一的公共点，过点作直线的平行线交椭圆于点，若的面积为，求直线的方程.

20. 已知函数，其中为自然对数的底数，.

（1）当时，函数有极小值，求；

（2）证明：恒成立；

（3）证明：.