数学（江苏南京B卷）-学易金卷：2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷

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2022-2023学年八年级下学期期中考前必刷卷
数学·全解全析
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　
A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．圆
【答案】B
【分析】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.
2．如图，在矩形中，是的中点，点在上，沿翻折，使点恰好落在上的点处，连接，，则图中与相等的角（除外）有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据折叠的性质证明∠C´MN=∠CMN=∠BC´M=∠MBC，在矩形中，AD∥BC，得∠CC´N=∠C´CN=∠CMN，由此解答即可．
【详解】解：∵C沿着沿翻折，
∴∠C´MN=∠CMN，MC=MC´，NC=NC´，CC´⊥MN，
∴∠C´MN+∠CMN=∠C´MC=∠MBC´+∠BC´M，
∵是的中点，
∴BM=MC=MC´，
∴∠MBC´=∠BC´M，
∴∠C´MN=∠CMN=∠BC´M=∠MBC´，
∵在矩形中，AD∥BC，
∴∠AC´B=∠MBC´，
∴∠AC´B=∠MBC´=∠CMN，
∵∠CMN+∠CNM=90°，
∴∠DCC´=∠CMN，
∵NC´=NC，
∴∠CC´N=∠C´CN=∠CMN，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，掌握这些性质是解题的很关键．
3．已知正方形的边长是cm，是等边三角形，点在上，点在上，则的边长是（    ）
A．cm B．cm
C．cm D．cm
【答案】C
【分析】根据正方形及等边三角形的性质易证△ABP≌△ADQ，即可得BP=DQ，所以PC=CQ；设BP的长为xcm，则PC=CQ=(10-x)cm，在Rt△ABP中根据勾股定理可得AP=cm；在Rt△PCQ中根据勾股定理可列方程，解方程求得x的值，即可求得BP的长．
【详解】∵正方形ABCD，△APQ是等边三角形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=90°，AP=AQ=PQ，
∴△ABP≌△ADQ，
∴BP=DQ，
∴PC=CQ，
设BP的长为xcm，则PC=CQ=(10-x)cm，
在Rt△ABP中，AP=cm，
在Rt△PCQ中，PQcm，CP=CQ=(10-x)cm，
∴
解得：x1=20-10，x2=20+10＞10（舍去）
∴BP的边长是（20-10）cm．
故选：C．

【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，证明△ABP≌△ADQ后再得PC=CQ，利用勾股定理列方程求解是解决本题的基本思路．
4．如图，△ABC，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AC=5，DC=6.5，则BC的长为（        ）

A．13 B．10 C．5 D．12
【答案】D
【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质求出AB，再根据勾股定理解答即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DC=6.5，
∴AB=2DC=13，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．
5．如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，．下列四种说法：

①四边形是平行四边形；
②如果，那么四边形是矩形；
③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果，且，那么四边形是正方形．
其中，正确的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据，，得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，不能证明是正方形，④错误，进而得到正确说法的个数．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，选项①正确；
若，
∴平行四边形为矩形，选项②正确；
若平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形，选项③正确；
若，，
∴平分，
同理可得平行四边形为菱形，不是正方形，选项④错误，
则其中正确的个数有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形和正方形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质．
6．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形．
∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM．
∵∠ENG=∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS）．
∴NG=NM．
∵E是AD的中点，CM=DE，
∴AE=ED=BM=CM．
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM．
∴BN=NF．
∴NM=CF=．
∴NG=．
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，
∴BN=BG﹣NG=3﹣．
∴BF=2BN=5，
∴．
故选B．
二、填空题
7．点M(1，a)和点N（b，-2)关于原点对称，则（a+b）2020=__________．
【答案】1
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得、的值，进而得到答案．
【详解】∵点M(1，)、点N（，-2)关于原点对称，
∴，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
8．如果一个直角三角形斜边上的中线长为6.5cm，一条直角边长为5cm，则另一条直角边的长为_____cm．
【答案】12
【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得该直角三角形的斜边长为13cm．所以根据勾股定理来求另一条直角边．
【详解】解：∵一个直角三角形斜边上的中线长为6.5cm，
∴斜边长为2×6.5＝13（cm）．
∵一条直角边长为5cm，
∴根据勾股定理知，另一条直角边的长为：＝12（cm）．
故答案是：12．
【点睛】本题是对勾股定理的考查，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理是解决本题的关键.
9．已知矩形的一条对角线长是8cm，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为_____．
【答案】（+8）cm.
【详解】试题解析：如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，AC=BD=8cm，AO=OC=AC=4cm，OB=OD=BD=4cm，
∴AO=OB=4cm，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=4cm=CD，
∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=（cm），
即AD=cm，
∴矩形ABCD的周长是：AB+BC+CD+AD=4cm+4cm+4cm+cm=（+8）cm.
考点：矩形的性质．
10．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
随机抽取的乒乓球数







优等品数







优等品率








当越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到）
【答案】0.82.
【分析】由表中数据可判断频率在0.82左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为0.82.
【详解】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.82附近，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.82，故答案为0.82.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.
11．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将△ABC沿∠ABC的平分线的方向平移，得到△，连接，，若四边形是等邻边四边形，则平移距离的长度是__．

【答案】1或
【分析】根据等邻边四边形的定义，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别进行讨论即可．
【详解】由平移的性质可知，，
若四边形是等邻边四边形，
①当时，；
②当时，延长交AB于点D，

，
．
∵平分 ，
∴，
．
设 ，
在中，
，
，
整理得 ，
，
∴一元二次方程无解；
③当时，延长交AB于点D，

，
．
∵平分，
∴ ，
，．
设，则，
在中，
，
，
解得 ，
，
综上所述，的长度为1或．
故答案为：1或．
【点睛】本题主要考查等邻边四边形，掌握角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理并分情况讨论是解题的关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，AD与BC的距离4，阴影部分公共点应为平行四边形的中心，则阴影部分的面积为_____．

【答案】12
【分析】根据题意可知△OEF≌△OHG，△OAM≌△OCN,即可解答
【详解】解：如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
根据对称性可知：△OEF≌△OHG，△OAM≌△OCN，
∴S阴＝S△ABD＝ S平行四边形ABCD＝ ×6×4＝12
故答案为12
【点睛】此题考查了三角形全等和平行四边形的性质，关键在于利用平行四边形的性质得出三角形的全等
13．如图，四边形是正方形，点在上，绕点顺时针旋转后能够与重合，若，，试求的长是__________．

【答案】．
【分析】由正方形的性质得出AB=AD=3，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，由勾股定理求出AP，再由旋转的性质得出△ADP≌△ABP′，得出AP′=AP=，∠BAP′=∠DAP，证出△PAP′是等腰直角三角形，得出PP′=AP，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，DP=1，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴AP=，
∵△ADP旋转后能够与△ABP′重合，
∴△ADP≌△ABP′，
∴AP′=AP=，∠BAP′=∠DAP，
∴∠PAP′=∠BAD=90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形，
∴PP′=AP=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形和旋转的性质是解决问题的关键．
14．如图，在中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°，至的位置．则∠DAC=_______度

【答案】15
【详解】试题分析：由题意分析，本题考查了图形的旋转，所以，因为∠BAC=45，所以∠DAC是15度．
考点：旋转的性质，点的坐标
点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转对应边的夹角叫做旋转角.
15．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，．则的值为______．

【答案】
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接OP，

∵在矩形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
16．如图，正方形ABCD的边长为9，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF、CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为_______

【答案】
【分析】连结AC，如图，由正方形的性质得∠ACB=45°，再由折叠的性质得∠ECB=∠ECF，接着根据切线长定理得到AC平分∠ECF，则∠ECF=2∠ECA，所以∠ECB=2∠ECA，则利用∠ECB+∠ECA=45°可计算出∠ECB=30°，然后在Rt△BCE中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CE．
【详解】】
解：连结AC，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB=45°，
∵△BCE沿CE折叠至△FCE，
∴∠ECB=∠ECF，
∵CF，CE与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，
∴AC平分∠ECF，
∴∠ECF=2∠ECA，
∴∠ECB=2∠ECA，
而∠ECB+∠ECA=45°，
∴∠ECB=30°，
在Rt△BEC，BE=BC=，
∴CE=2BE=．
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了切线长定理．
三、解答题
17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，试建立适当的直角坐标系，写出各顶点的坐标．

【答案】图见解析，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2）（答案不唯一）
【分析】以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴建立坐标系，从而写出点A和点B的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CO，从而求出点C的坐标．
【详解】解：以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴建立坐标系，如下图所示

易知y轴必过点C
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（2，0），CO=AB=2
∴点C的坐标为（0，2）．
【点睛】此题考查的是建立坐标系和等腰直角三角形的性质，掌握建立坐标系的方法和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
18．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．

将线段平移到，使得点和点关于原点对称，请画出平移后的线段；
在坐标系中找出一个格点(任找一个即可)，使得标出点坐标，并直接写出此时 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，．
【分析】（1）根据点和点关于原点对称可得的位置，进而得出的位置即可；
（2）根据网格特点可得点位置，根据三角形面积公式可得．
【详解】解：（1）如图，线段即为所求；
（2）如图，点C（－5，0）即为所求，．

【点睛】本题主要考查了中心对称，格点三角形的面积计算，熟练掌握中心对称的性质及网格特点是解题的关键．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且，连接BE，DF，求证：．

【答案】见解析
【分析】证明：根据平行四边形ABCD，可以证明△ADF≌△CBE，从而得∠AFD=∠CEB，所以∠DFC=∠BEA，由平行线的性质，即可得到DF∥BE．
【详解】证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE
在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB
∴∠DFC=∠BEA，
∴DF∥BE．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是熟悉并灵活应用以上性质解题．
20．以△ABC的三边为边在BC的同一侧作等边△ABP，等边△ACQ，等边△BCR．
（1）四边形QRPA是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形QRPA是矩形？请说明理由．

【答案】（1）四边形QRPA是平行四边形，理由详见解析；（2）当∠BAC＝150°时，四边形QRPA是矩形，理由详见解析
【分析】（1）由“SAS”可证△BRP≌△BCA，△CAB≌△CQR，可得PR＝AC，AB＝RQ，可得RP＝AQ，AP＝RQ，可得结论；
（2）当∠BAC＝150时，由周角的性质可求∠PAQ＝90，可证平行四边形QRPA是矩形．
【详解】证明：（1）四边形QRPA是平行四边形
理由如下：∵等边△ABP，等边△ACQ，等边△BCR，
∴AB＝PB，BC＝BR＝CR，AC＝CQ，∠PBA＝∠RBC＝∠BCR＝∠ACQ＝60，
∴∠PBR＝∠ABC，∠ACB＝∠QCR，
∴△BRP≌△BCA（SAS），
∴PR＝AC，
∵BC＝RC，∠BCA＝∠RCQ，AC＝CQ，
∴△CAB≌△CQR（SAS）
∴AB＝RQ，
∴RP＝AQ，AP＝RQ，
∴四边形QRPA是平行四边形；
（2）当∠BAC＝150时，四边形QRPA是矩形，
∵∠PAQ+∠BAP+∠CAQ+∠BAC＝360，
∴∠PAQ＝360﹣60﹣60﹣150＝90，
∴平行四边形QRPA是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
21．小明在数学活动课上，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF还相等吗？说明理由．
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长．

【答案】（1）AD=CF．理由见解析；（2）CF=
【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OGOE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．
【详解】解：（1）AD=CF．理由如下：
在正方形ABCO和正方形ODEF中，
∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF．
在△AOD和△COF中，
∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，
∴△AOD≌△COF（SAS）．
∴AD=CF．
（2）与（1）同理求出CF=AD，

如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，
∵正方形ODEF的边长为，
∴OE=×=2．
∴DG=OG=OE=×2=1．
∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，，
∴CF=AD=．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，性质的性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是　 　．

【答案】（1）详见解析；（2）3．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到得到CE＝18，根据勾股定理得到AC＝6，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：如图，连接OE，

∵AE＝12，AD＝13，
∴AB＝13，
∴BE＝5，
∵AB＝BC＝13，
∴CE＝18，
∴AC＝＝＝6，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO＝3．
∴OE＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
23．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题．

（1）分别写出A、B两点的坐标；
（2）将绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的；
（3）求出线段所在直线的函数解析式．
【答案】（1），；（2）图见解析；（3）
【分析】（1）从直角坐标系中读出点的坐标．
（2）让三角形的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点，顺次连接即可．
（3）先设出一般的一次函数的解析式，再把点的坐标代入求解析式即可．
【详解】解：（1）从图中可得出：，，
（2）作图如下图所示：

（3）设线段所在直线的函数解析式为：，
将，代入得：
解之得：，，
所以，线段所在直线的函数解析式为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系和旋转变换图形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
24．如图1，在中，以为边作等边，交于点，且．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）如图2，连接，，若，．
①求证：；
②求的长．
【答案】（1）见解析（2）①见解析②
【分析】（1）通过证明△PEF是等边三角形，可得PE＝PF，可得BE＝CF，由“SSS”可证△ABE≌△DCF，可得∠A＝∠D＝90°，由矩形的判定可证四边形ABCD是矩形；
（2）①由等边三角形的性质可得PE＝PF＝EF＝1，PB＝BC＝PC＝3，可得BE＝CF＝2，由“SSS”可证△AFP≌△CFD，可得∠APC＝∠D＝90°，可得结论；
②由全等三角形的性质可得AP＝CD＝AB，由“SSS”可证△APC≌△ABC，可得∠ACB＝∠ACP＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°＝∠P，PB＝PC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＋∠D＝180°，
∴∠PEF＝∠PBC＝60°，∠PFE＝∠PCB＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，
∴PB−PE＝PC−PF，
∴BE＝CF，
又∵AB＝CD，AE＝DF，
∴△ABE≌△DCF（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵∠A＋∠D＝180°，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）①∵△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF＝EF＝1，
∵△PBC是等边三角形，
∴PB＝BC＝PC＝3，
∴BE＝CF＝2，
∵AD＝BC＝3，EF＝1，AE＝DF，
∴AE＝DF＝1，
∴AF＝2＝CF，PF＝DF＝1，
又∵∠AFP＝∠CFD，
∴△AFP≌△CFD（SAS），
∴∠APC＝∠D＝90°，
∴AP⊥PC；
②∵△AFP≌△CFD，
∴AP＝CD，
∴AB＝AP，
又∵BC＝CP，AC＝AC，
∴△APC≌△ABC（SSS），
∴∠ACB＝∠ACP＝30°，
∴AC＝2AB，BC＝AB＝3，
∴AB＝，AC＝2．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE．
（1）求证：四边形ABEC是矩形；
（2）作AF垂直于BC于F，当∠CAF＝3∠BAF，且AF＝2时，直接写出BC长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先证明四边形ABEC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；
（2）证明是等腰直角三角形可得AD=，再由矩形的性质可得结论．
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD为BC边上的中线，
∴BD=CD
又AD=DE
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABEC是矩形；
（2）∵∠BAC＝90°，且∠CAF＝3∠BAF，如图，

∴
∴
∴
∵
∴
∵AD=CD
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形，且AF=DF=2
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，证明是等腰直角三角形是解答本题的关键．
26．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第83页和84页的部分内容．
平行四边形的判定定理2  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图，在四边形中，ABCD且．

求证：四边形是平行四边形．
证明：连接．
(1)请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
(2)【知识应用】如图①，在中，延长到点，使，连接、．求证：四边形是平行四边形．

(3)【拓展提升】在【知识应用】的条件下，若四边形的面积为7，直接写出四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)7

【分析】（1）根据条件证明，然后判定即可；
（2）根据可得AD∥BC，，然后判定即可；
（3）根据平行四边形的特点，同底等高面积相等判断即可．
【详解】（1）证明：连接，在和中
∴AB∥CD，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形


（2）证明：在中，AD∥BC，
∵
∴AD∥CF，
∴四边形是平行四边形
（3）根据题意判断四边形和四边形均为平行四边形，
∴平行四边形和平行四边形同底等高，
∴平行四边形面积=平行四边形面积=7
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
27．如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AD，联结BD（如图a所示），点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设P移动的距离为x，BP=y，
(1）当点P从点A移动到点C，y与x的函数关系式如图b中的折线MNQ，求CD；
(2）在（1）的情况下，点P从点A→B→C→D→A移动的过程中，△BDP为等腰三角形，求x的值

【答案】(1)1(2) 0或3或5−或或11或9＋．
【分析】（1）作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝＝4，得出CD＝BE＝AB−AE＝1；
（2）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）解：由图（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8，
∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如图1所示：

则DE＝BC＝3，CD＝BE，
∵AD＝AB＝5，
∴AE＝＝4，
∴CD＝BE＝AB−AE＝1；
（2）解：可能；理由如下：
分情况讨论：
①点P在AB边上时，
当PD＝PB时，P与A重合，x＝0；
当DP＝DB时，BP＝2BE＝2，
∴AP＝3，
∴x＝3；
当BP＝BD＝＝时，AP＝5−，
即x＝5−；
②点P在BC上时，存在PD＝PB，
此时，x＝5＋＝；
③点P在AD上时，
当BP＝BD＝时，过点B作BH⊥AD于H，如图2所示：

则BH•AD＝DE•AB，
即×BH×5＝×3×5，
∴BH＝3，
∴DH＝＝1，
∴DP＝2，
∴x＝5＋3＋1＋2＝11；
当DP＝DB＝时，x＝5＋3＋1＋＝9＋；
综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的x的取值为：0或3或5−或或11或9＋．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．