江西省新干中学2023届高三下学期第一次模块数学（理）试题(含答案)

这是一份江西省新干中学2023届高三下学期第一次模块数学（理）试题(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省新干中学高2023届第一次模考数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，则（    ）A． B． C．1 D．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（    ）A．132 B．133 C．134 D．1355．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（    ）A． B． C． D．6．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）A．60种 B．90种 C．120种 D．360种7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则A．2 B．4 C．6 D．88．某几何体的三视图如图所示，俯视图是有一条公共边的两个正三角形．该几何体的表面积为（    ）A． B． C． D．9．若，，平面内一点满足，则的最大值是 （    ）A． B． C． D．10．已知三角形的三边长分别为a，b，，则三角形的最大内角是(　　)A．135° B．120°C．60° D．90°11．已知函数函数零点的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．412．函数在定义域R内可导，若且，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13．双曲线的两条渐近线的夹角的弧度数为________________.14．的展开式中，的系数是_________.15．已知内一点满足，， ，则的值为__________.16．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 - 21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．已知等差数列，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．18．为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛.已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示.（1）估计这60名参赛学生成绩的中位数；（2）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格.60分以上（含60分）的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列与数学期望；（3）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（同一组数据用该区间的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四舍五入保留整数）.参考数据：，，.19．，分别是椭圆的左､右焦点，，是上一点，与轴垂直，且.（1）求的方程；（2）设，，，是椭圆上的四点，与相交于，且，求四边形的面积的最小值.20．如图，点C在直径为AB的半圆O上，CD垂直于半圆O所在平面，平面ADE⊥平面ACD，且CD∥BE.（1）证明：CD=BE；（2）若AC=1，AB=，∠ADC=45°，求四棱锥A -BCDE的内切球的半径.21．已知函数为的导函数.（1）求函数的极值；（2）设函数，讨论的单调性；（3）当时，，求实数的取值范围. 请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求以为直径的圆的方程. 23．选修4-5： 不等式选讲设函数.（1）若，求的解集；（2）若，，求a的取值范围.
1．B【解析】根据对数函数的定义域，求集合，再求.【详解】∵，，∴.故选：B2．B【解析】利用复数的乘法法则将复数化为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点所在的象限.【详解】，在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.3．B【解析】根据题中条件，得到，，根据向量数量积的运算法则，即可得出结果.【详解】因为在边长为1的等边三角形中，是边的中点，是线段的中点，所以，，因此.故选：B.4．C【分析】先得到新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，求出通项公式，解不等式求出数列的项数.【详解】由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，设新数列为，则通项公式为，令，解得：，因为，所以这个数列的项数为134.故选：C5．D【分析】先利用三角函数的恒等变换确定点P的坐标，再根据三角函数的定义求得答案.【详解】,,即，则，故选：D.6．A【分析】这是一个组合问题，从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再安排2人到乙场馆是，最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理相乘即可.【详解】依题意从6同学中选出1人安排到甲场馆是，再从剩余5人安排2人到乙场馆是，最后剩余3人安排到丙场馆，根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种.故选：A.7．D【详解】2p=4，p=2，=x1+x2+p=8故选D点睛：若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．8．D【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】解：由题意，几何体的直观图如图：是两个三棱锥的组合体，底面是正三角形，边长为2，棱锥的高为1，所以几何体的表面积为，.故选：【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．9．B【分析】由知为线段的靠近的一个三等分点，且，由推出为的平分线，根据角平分线定理得到，设，则，根据余弦定理以及基本不等式求出的最小值，从而可得的最大值.【详解】由知为线段的靠近的一个三等分点，且，因为，所以，所以，所以，所以为的平分线，根据角平分线定理可得，设，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值是.故选：B【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．B【分析】先比较边的大小，得到最大边，再利用余弦定理求解.【详解】因为，所以长为的边所对的角 最大，由余弦定理，得，因为，所以三角形的最大内角是，故选：B.11．B【分析】令，讨论的取值范围：当时或当时，可得或，讨论的取值范围，再利用导数研究函数的单调性，求出最值即可求解.【详解】令，则，（1）当时，，即，即.当时，有一个解.当时，，，；，，且.当时，，而，所以方程无解.（2）当时，，由（1）知，即.当时，有一个解.当时，，所以无解.综上，函数有两零点.故选：B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题.12．C【分析】确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.【详解】，即，函数关于对称，当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增.，，，故.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.13．【详解】试题分析：双曲线的两条渐近线为，斜率为，倾斜角分别为，它们的夹角为.考点：双曲线的渐近线.14．【分析】因为，所以本题即求展开式中含的项的系数，求出通项公式解出，带入计算可求出系数.【详解】解：，通项公式为：，令，解得：，此时系数为.故答案为：.15．【分析】根据向量数量积运算的性质及向量的线性运算可得，利用外心的性质及数量积的定义可求出的值.【详解】，,,，同理可得,故为的外心,故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，向量的数量积定义，三角形的外心，考查了逻辑推理能力和运算能力，属于难题.16．【分析】结合球体，画出具体的几何体图像，设，则，外接圆的半径为，表示出三棱锥的高为，表示出三棱锥的体积公式，结合基本不等式，换元法，导数即可求得答案【详解】如图所示，设，则，外接圆的半径为则三棱锥的高为，三棱锥的体积公式为，设，则，，令，解得，在单增，单减，，所以三棱锥体积最大值为【点睛】本题考查球体的内接三棱锥最大体积的求法，综合性强，结合了基本不等式、换元法、导数求导方法，对思维转化能力，运算能力要求较高17．（1）；（2）.【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列的通项公式；（2）先由（1）得到，再利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知得，即，所以，解得，所以．（2）由（1）得，所以，①，②    ①②得：，所以．18．（1）中位数为65；（2）分布列见解析；期望为；（3）.【分析】（1）由图中的数据可判断中位数在60分到80分之间，若设中位数为，则，从而可求得中位数；（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为6人，不合格的人数为4人，则的可能取值为0，1，2，3，4，求出各自的概率，从而可得的分布列与数学期望；（3）由已知求出，从而可得，再利用正态分布的对称性可求得结果【详解】（1）设中位数为，则，解得，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为.由题意可知的可能取值为0，1，2，3，4.则，，，，.所以的分布列为01234 所以的数学期望.（3）由题意可得，，，则，由服从正态分布，得，则，，所以此次竞赛受到奖励的人数为.【点睛】此题考查频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等知识，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题19．（1）；（2）.【分析】（1）结合椭圆的定义以及已知条件求出，，转化求解，得到椭圆方程．（2）设直线的斜率为，，，，，则直线的方程为，联立及得，利用韦达定理，弦长公式，结合直线斜率，求出，然后推出四边形的面积，利用基本不等式求解最值即可．【详解】解：（1）由于，则，，又，得.又，则，于是，故的方程为.（2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，，，则直线的方程为，联立及得，所以，..由于直线的斜率为，用代换上式中的可得.∵，∴四边形的面积为.由，所以，当时，即时取等号.当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积，综上可得，四边形面积的最小值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．20．（1）证明见解析；（2）.【分析】 利用平面的基本性质得到CD,BE共面，记作平面BCDE.利用线面垂直判定定理证得AC⊥平面BCDE，得到AC⊥DE，在平面ACD中，作CF⊥AD, 由面面垂直的性质定理证得DF⊥平面ADE, 得到DF⊥DE ，进而得到DE⊥平面ACD，得到DE⊥CD,结合BC⊥CD，得到BC//ED, 进而四边形BCDE为平行四边形，即可得到结论；先求四棱锥的表面积S，再利用体积法，求出四棱锥的内切球的半径．【详解】（1）证明：∵CD∥BE，∴CD,BE共面，记作平面BCDE.∵点C在直径为AB的半圆O上，AB是直径  ∴CB⊥AC,∵CD⊥平面ACB，AC⊂平面ACDB   ∴CD⊥AC，∵CB∩CD=C，∴AC⊥平面BCDE，∵DE⊂平面BCDE,∴AC⊥DE①,在平面ACD中，作CF⊥AD,垂足为F.∵平面ADE⊥平面ACD,平面ADE∩平面ACD=AD,  ∴DF⊥平面ADE,又∵DE⊂平面ADE,∴DF⊥DE②,又∵AC∩AD=A, 结合①②，可得DE⊥平面ACD，又∵CD⊂平面ACD,∴ED⊥CD③,又∵CD⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴CD⊥BC④,由③④可得BC//ED,又∵DC//EB，∴四边形BCDE为平行四边形，∴CD=BE；（2）解：．，．由可证平面BCDE．四棱锥的体积．又四棱锥的表面积．故四棱锥的内切球的半径．21．（1）极小值，无极大值；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）两次求出的导数，可得在单增，且，则可判断出的单调性，求出极值；（2）可得，由（1）得，讨论和两种情况可得出单调性；（3）两次求出的导数，可得在单调递减，再讨论和的情况得出的正负情况，判断的单调性可得.【详解】（1），因为，所以在单增，又，所以当时，单调递减；当时，单调递增；故当时，取极小值，无极大值.（2），由（1）知，，即.当时，在单增；当时，令，得.于是，当，单减，当单增.综上，当时，在单增；当时，在单减，在单增.（3）令，则.的导函数.因为，所以在单调递减，当时，对所以在上单调递减，所以对.当时，因为在单调递减，，当时，故，使，且时，单调递增，所以与，矛盾.所以实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求解函数的单调性，解题的关键是求出函数的导数，必要时需要二次求导，讨论导数正负，得出单调性，含有参数时，需要对参数进行分类讨论.22．（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）.【分析】（1）利用和，把化成直角坐标方程；直线的参数方程为因为为参数，所以消，得到直角坐标方程.（2）直线方程与曲线方程联立，求出A,B两点横坐标之和，再利用抛物线的定义，可求出的值，直线方程确定，可以求出AB中点的坐标，以及半径，最后求出圆的方程.【详解】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得．所以．因直线过抛物线的焦点所以．由题设知，又，故因此的方程为．的中点坐标为（3，2），因此所求圆的方程为．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化、韦达定理、抛物线的定义、圆的方程.23．（1）；（2）.【分析】（1）代入的值，得到关于的不等式组，利用分类讨论法，解出即可；（2）依题意可得恒成立，令根据绝对值三角不等式可得，所以解得即可；【详解】解：（1）由，，当时，，解得，所以，当时，，解得，所以，当时，，解得：，综上可得：，所求的解集为.    （2）因为恒成立，恒成立，又，，或或，所求的a的取值范围是：.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，绝对值三角不等式的应用，属于中档题.