2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第24讲 圆锥曲线弦长面积问题 Word版含解析

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第24讲 圆锥曲线弦长面积问题
考点分析
考点一：弦长公式
设，根据两点距离公式．
注意：
①设直线为上，代入化简，得;
②设直线方程为，代入化简，得
考点二：三角形的面积处理方法
①底·高 （通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
②水平宽·铅锤高或

③在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
题型目录
题型一：求弦长
题型二：弦长的范围问题
题型三：三角形四边形面积问题
题型四：三角形四边形面积范围问题
典型例题
题型一：求弦长
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弦长公式求解即可.
【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
【例2】（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，把直线与椭圆联立，求出，
，即可求出.
【详解】由，得，，，左焦点为．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，
设，，则，，
又，
根据弦长公式得：，
且，
∴，
故选：A．
【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当求此时直线的方程；
【答案】(1)；(2)或为.
【分析】（1）根据离心率及椭圆过点列方程求解即可；
（2）分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当直线斜率不存在时验证知不符合题意，斜率存在时，设直线方程，利用弦长公式求出斜率k即可得解.
(1)，，即，
，又经过点1)，，
解得，
所以椭圆方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，即直线的方程，此时，
直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，设，
联立方程组可得消可得，
其判别式，
，

，
整理可得，解得即
此时直线方程为或为.
【例4】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．

(1)求椭圆的方程；
(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）由题可知，即可求解的值，进而得到椭圆方程；
（2）当直线斜率不存在时，可得，当直线斜率存在时，设直线的方程，与椭圆的方程联立，得到的值，利用弦长公式得到的值，同理可得的值，计算即可.
(1)解：由题可知，，又，故，
所以椭圆的方程为：.
(2)证明：当直线斜率不存在时，此时．
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由，得．
设，
则有，
，
因为，所以直线的方程为，     
同理，
所以，
综上为定值．
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点，及，列方程解出即可得椭圆方程；
（2）由已知可得直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.
（1）解：由题意得，解得，又因为点在椭圆C上，
带入得，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：易得直线l的解析式为，设，联立椭圆的方程
得，

所以．
2．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得，从而可得椭圆方程，
（2）由题意可得直线的方程为，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.
（1）由题意设椭圆的方程为，因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，所以椭圆方程为，
（2）因为直线过点且斜率为1，所以直线的方程为，
设，将代入，得，
整理得，所以，
所以

3．（2022·河北保定·高一阶段练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
【答案】
【分析】设，，利用“设而不求法”求弦长即可.
【详解】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，
∴，因此，．
故答案为:．
题型二：弦长的范围问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，由此可求得椭圆的方程.
（2）对直线斜率分成不存在、直线的斜率为、直线的斜率不为三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得的取值范围.
（1）由题意得，，解得，所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，于是有或
解得，所以.                            
②当直线的斜率为时，方程为或，于是有或
解得，所以.                                 
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=

而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，所以.
综上所述，的取值范围是.
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据椭圆过点的坐标，求出椭圆方程，即可求出椭圆的离心率；
（2）设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到的中点的坐标，从而求出直线的方程，即可得到的坐标，表示出、，即可得到，再根据函数的性质求出最大值；
（1）解：将，代入椭圆方程，
解得，所以椭圆的方程为，
又，所以
（2）解：设直线方程为，，，
联立可得；
则，且，，
设的中点，则，，
∴坐标为，，
因此直线的方程为，从而点为，又，，
所以，令，
则，
因此当，即时，最大值为3.
所以的最大值为，此时，直线l的方程为.
【例3】（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是_________
【答案】
【分析】设,利用三角形内切圆面积计算可得，化简得，由离心率范围求得，再利用弦长公式即可求得答案.
【详解】如图示，由椭圆定义可得 ,
则的周长为4a,设，
设内切圆半径为，的内切圆的周长是，
故 ，
由题意得 ，

得，由于，故，
所以由可得，
故答案为：
【题型专练】
1．（2022·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据圆O过椭圆C的左顶点及右焦点，可求得椭圆的a,b，即可求得答案;
（2）当直线，中，有一条直线斜率不存在时，此时；当直线，斜率都存在时，设直线方程，并和椭圆方程联立，根据根与系数的关系，求得弦长的表达式，结合换元法，利用二次函数的性质，可求得答案.
(1)圆O：与x轴的交点为，即椭圆C的左顶点及右焦点分别为，
故 ，故 ，所以椭圆C的方程为：；
(2)当直线，中，有一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0时，
弦长分别为 ，此时；
当直线，斜率都存在时，设,
联立，可得，，
，
，
同理，
，
令 ，则 ，
，
因为，所以，
所以的取值范围为.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及和弦长有关的范围问题，综合性较强，计算量较大，解答的关键是明确问题的解决思路，即联立直线和椭圆方程，利用弦长公式表示，进而结合二次函数解决问题.
2．（2022安徽高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）设出点M，N，Q的坐标，结合已知利用点差法计算作答.
（2）当直线斜率存在时，设出其方程，与椭圆方程联立，借助向量表示点P坐标，再利用弦长公式建立函数关系并求出值域，直线斜率不存在时，计算作答.
（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
题型三：三角形四边形面积问题
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与椭圆具有共同的焦点，，点P在椭圆上，，______．在下面三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并作答．
①椭圆过点；②椭圆的短轴长为10；③椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）设椭圆C的方程为（），，由题意可得.
选①：可得即可求解椭圆方程；选②：可得即可求解椭圆方程；选③：可得即可求解椭圆方程；
（2）根据椭圆的定义，结合勾股定理可得，再求解面积即可.
（1）设椭圆C的方程为（），，则椭圆与椭圆具有共同的焦点，则．
选①，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．
选②，由已知可得，则，所以椭圆的方程为．
选②，由已知可得，则，所以，椭圆的方程为．
（2）由椭圆的定义知，①
又因为，所以，②
由①②可得，解得，因此．
【例2】（2022·广东·开平市忠源纪念中学模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
【答案】(1)，(2)
【分析】根据题意可得，，所以，即可求得椭圆的方程；
设，，过且斜率为的直线方程为：，直线与椭圆方程联立，消得的一元二次方程，结合韦达定理，即可求的面积．
（1）椭圆的焦点为，，半焦距，
椭圆的右焦点到上顶点的距离为，，
椭圆的方程为．
（2）设，，过且斜率为的直线方程为：，
代入椭圆的方程，化简可得，
，
则，
.
【例3】（2022·湖南师大附中三模）若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为.


(1)求椭圆与椭圆的方程；
(2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点.
①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有.
②点M是椭圆上异于C、D的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l的方程.
【答案】(1)椭圆的方程，椭圆的方程是；
(2)①证明见解析；②或.
【分析】（1）由已知可得，结合相似比及的离心率、椭圆参数关系求出椭圆参数，进而写出、的方程.
（2）①讨论l与坐标轴的位置关系，设l为，联立椭圆方程判断AB和CD的中点是否重合即可；②由弦长公式求、，根据面积比可得，结合①的结论及题图有，进而求出参数t，即可得直线l的方程.
(1)由已知，则，又，故.
又椭圆的离心率，所以，
由，则，从而，
所以椭圆的方程，椭圆的方程是.
(2)①要证明，即证明线段AB和CD的中点重合，
当直线l与坐标轴重合时，由对称性知：结论成立.
当直线l与坐标轴不重合时，不妨设直线l为，，，，，代入椭圆C1方程得，即，
故，，
代入椭圆方程得，即，
故，，
由，可得线段AB和CD的中点重合，故.
综上，恒成立.
②由①得：，
，
而，则，由①知：，
所以，即，可得.
所以直线l的方程为或.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.
【答案】(1)，，(2)2
【分析】（1）根据椭圆的基本量求解即可；
（2）设P(x0，y0)(x0