2023年广东省广州市天河区华南师大附中平行班中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省广州市天河区华南师大附中平行班中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “新冠肺炎疫情”全球肆虐，截止到年月日，全球累计确诊人，这个数据用科学记数法表示精确到万位，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列命题中，是真命题的是(    )

A. 三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点
B. 的平方根是
C. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形
D. 五边形的内角和为

4.  从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表：

当时，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中弧的长为_______结果保留(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是(    )
 

A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 无法确定

8.  直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个

9.  在矩形中，顶点在第一象限且在反比例函数上，与轴交于点，且与轴负半轴的夹角的正弦值为，连接，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.  分解因式：        ．

11.  方程的最简公分母是        ．

12.  如图，平面直角坐标系中，点，点，点，沿方向平移长度的到，四边形的面积为        ．

13.  一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则        填“”或“”或“”．

14.  如图，正方形中，等腰直角绕着点旋转，，，则：        ．

15.  如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上如图；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上如图，给出四个结论：
的长为；的周长为；；的长为，
其中正确的结论有______ 写出所有正确结论的番号
 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组

17.  本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，若，，求证：．

18.  本小题分
已知代数式．
化简已知代数式；
若满足，求已知代数式的值．

19.  本小题分
自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗，以下是某地甲、乙两家医院月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：
根据上面图表信息，回答下列问题：
填空：        ，        ，        ；
在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为        ；
若，，三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．

20.  本小题分
为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了元，购买“文学类”图书花费了元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多本．
求这两种图书的单价分别是多少元？
学校决定再次购买这两种图书共本，且总费用不超过元，求最多能购买“科普类”图书多少本？

21.  本小题分
平行四边形的两个顶点、在反比例函数图象上，点、在轴上，且、两点关于原点对称，交轴于点
已知点的坐标是，求的值及点的坐标；
在的条件下，若的面积为，求点到直线的距离．

22.  本小题分
如图，为的直径，为延长线上一点，为的切线，切点为，于点，且与交于点．
求证：点为的中点；
如果，，求的长．

23.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方．
如图，若，．
求该抛物线的解析式；
若是抛物线上一点，满足，求点的坐标；
如图，已知直线，与轴分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
 

24.  本小题分
如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
如图，连接交于点，若．
求的度数；
求的长；
如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，连接，，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
先将原数精确到万位，然后根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
本题考查了近似数以及科学记数法表示绝对值大于的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：、无法化简，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的性质以及同底数幂的除法运算法则、去括号法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的除法运算、去括号法则、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
      本题考查判断命题的真假，涉及平方根、中点四边形、多边形内角和、三角形的外心等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键．根据平方根、中点四边形、多边形内角和、三角形的外心等知识进行判断即可．
【解答】
解：、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角角平分线的交点是三角形的内心，故为假命题；
B、的平方根是，算数平方根是，故为假命题；
C、对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故为假命题；
D、五边形的内角和为，为真命题．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
【解答】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有种，
恰好抽到甲、丙两人的概率为，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由表格可知，
二次函数的对称轴是直线，该函数开口向上，
则当对应的的值是或，
故当时，的取值范围是．
故选：．
根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和开口方向，从而可以得到对应的的值，然后根据二次函数的性质，即可得到当时，的取值范围．
本题考查二次函数的性质、二次函数的图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，，

、分别与相切于点、，
，
由四边形内角和为可得，
，
，
故选：．
连接，，求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可．
本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
根据三角函数的定义得到，根据勾股定理求得，和的半径比较即可．
【解答】
解：中，，，，
，
，
，
，
与的位置关系是相切，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：直线不经过第二象限，
，
当时，关于的方程是一元一次方程，解为，
当时，关于的方程是一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】
解：过点作轴于点，
四边形是矩形，
，
，
轴，
，轴，
，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
过点作轴于点，由题意可知，由，可知，设，则，利用三角函数求得，
利用，求得的值，在中利用三角函数求得和的长，从而求得点的坐标，即可求得的值．
本题考查了矩形的性质，三角函数，反比例函数的几何意义等知识的综合运用，求出点的坐标，是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
最简公分母是，
故答案为：．
最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，据此求解可得．
本题考查解分式方程，最简公分母，解题的关键是明确解分式方程的一般步骤．
 

12.【答案】 

【解析】解：点，点，点，
，轴，
沿方向平移长度的到，
，
四边形是平行四边形，
四边形的高为点到轴的距离，
，
故答案为：．
根据平移的性质可判断四边形为平行四边形，根据点坐标的性质可求出四边形的底与高，即可求出面积．
此题考查平移的性质，关键是根据平移的性质和四边形的面积公式解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，解得：，
，
反比例函数的图象在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
先由一元二次方程根的判别式求得，再根据反比例函数的性质求解即可．
本题考查一元二次方程根的判别式、反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如右图，连接，
由题知，四边形为正方形，为等腰直角三角形
，，
，
由题知，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
，
∽，
，
故答案为：．
连接，证∽，得，根据等角直角三角形斜边与直角边的比例关系即可得出比值．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，根据，，证∽是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，分别交、于点、，
四边形为矩形，
，，
由折叠可得，且，
四边形为正方形，
，
故正确；
，
和为等腰直角三角形，且，
设，则，，，
又由折叠的可知，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
，，，
又，
，
，且，
∽，
，即，
，，
，
故正确；
又和为等腰直角三角形，且，，
，，
的周长，，
故不正确；正确；
综上可知正确的为，
故答案为：．
过点作，交、于点、，可知四边形为正方形，可求得的长，可判断，且和为等腰三角形，设，则可表示出、、，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得，再利用∽，可求得、和，则可求得，容易判断，可得出答案．
本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质及方程思想等．过点作的平行线，构造等腰直角三角形，利用方程思想在中得到方程，求得的长度是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．
 

16.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：


；
，
，
，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
根据已知易得，然后代入中化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】       

【解析】解：在甲医院接种人数为：人，
，，
在甲医院接种人数为：人，
，
故答案为：，，；
在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为：，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中、、三人在同一家医院接种的结果有种，
这三人在同一家医院接种的概率为．
分别求出在甲医院和乙医院的接种人数，即可解决问题；
由乘以周岁年龄段人数所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中、、三人在同一家医院接种的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率的知识以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设“文学类”图书的单价为元本，则“科普类”图书的单价为元本，
依题意：，
解之得：．
经检验，是所列分程的根，且合实际，
所以．
答：科普类书单价为元本，文学类书单价为元本；
设“科普类”书购本，则“文学类”书购本，
依题意：，
解之得：．
因为是正整数，
所以．
答：最多可购“科普类”图书本． 

【解析】首先设“文学类”图书的单价为元本，则“科普类”图书的单价为元本，根据题意可得等量关系：元购买的科普类图书的本数用元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
设“科普类”书购本，则“文学类”书购本，根据“费用不超过元”列出不等式并解答．
此题主要考查了一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，列出方程不等式，注意分式方程不要忘记检验．
 

21.【答案】解：点的坐标是，平行四边形的两个顶点、在反比例函数图象上，点、在轴上，且、两点关于原点对称，
，点与点关于原点对称，
，，
即的值是，点的坐标是；
过点作轴于点，过点作，如图，
点，，
，
的面积为，
，
即，得，
点，
设过点，的直线解析式为，
，得，
过点，的直线解析式为，
当时，，得，
点的坐标为，
设过点，的直线解析式为，
则，得，
过点，的直线解析式为，
点到直线的直线得距离为：． 

【解析】根据点的坐标是，平行四边形的两个顶点、在反比例函数图象上，点、在轴上，且、两点关于原点对称，可以求得的值和点的坐标；
根据的面积为，可以求得的长，从而可以求得点的坐标，进而可以求得直线的解析式，从而可以求得点的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点到直线的距离．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
 

22.【答案】证明：如图，连接，．

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
即点是的中点．
解：过点作于，则设，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
证明可得结论．
在中，根据，求出半径，再在中，求出即可解决问题．
 

23.【答案】解：将，代入，得
，解得，
抛物线的解析式为；
如图，
当点在左侧时，
由，得
，
与关于轴对称，，
得；
当点在右侧时，延长交轴于点．
作于点，则，．
，
．
设，则，．
在中，由，得．
点．
直线的解析式为
解方程组得，．
，

点的坐标为或

点运动时，是定值，定值为，理由如下：
作于点，设，，，则，．
，
，
．
同理．
．
． 

【解析】根据待定系数法求函数解析式，可得答案；根据平行线的判定，可得，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得点坐标；
根据待定系数法，可得、点的坐标，根据分式的性质，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用函数值相等的点关于对称轴对称得出点坐标是解题关键；利用待定系数法求出、点坐标是解题关键．
 

24.【答案】解：四边形是边长为的正方形，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
如图，过点作于点，
，，
，，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
又，
，
解得：，
；
证明：过点作于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
设，则，
，
四边形是边长为的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
由勾股定理得：，，
，
． 

【解析】由正方形的性质得，，，则，再证是等腰直角三角形，得，则，即可得出结论；
过点作于点，证，，设，则，再由勾股定理得，然后由，得，即可解决问题；
过点作于点，证，设，则，，再由勾股定理即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．