2023长沙长郡中学高一下学期第一次适应性检测数学试卷含答案

这是一份2023长沙长郡中学高一下学期第一次适应性检测数学试卷含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
长郡中学2022～2023学年度高一第二学期第一次适应性检测数学时量：120分钟 满分：150分得分__________一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知，i为虚数单位，则（    ）．A．3 B．4 C． D．102．的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角C的大小为（    ）．A． B． C． D．3．已知平面向量，，若，则（    ）．A． B． C．2 D．4．函数的图象大致为（    ）．A．B．C．D．5．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ）．A．8 B．17 C．20 D．256．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（    ）．A． B． C． D．7．已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个x值的区间可以是（    ）．A． B． C．    D．8．已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ）．A．的图象关于直线对称     B．的图象关于点对称C．      D．的一个周期为8二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列结论正确的是（    ）．A．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底C．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为D．已知，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则10．计算下列各式，结果为的是（    ）．A． B．C．  D．11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（    ）．A．若，则B．若，则是钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes-benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，其定义为：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则，设O是是锐角的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）．A．若，则B．若，，，则C．若O为的内心，，则D．若O为的垂心，，则答题卡题号123456789101112答案            三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设函数，则__________．14．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是__________．15．已知命题，是假命题，则实数a的取值范围是__________．16．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是__________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知，，．（1）求与的夹角；（2）若，且，求实数t的值．18．（12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．19．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B；（2）若D为的中点，且，，求的面积．20．（12分）噪声污染已经成为严重影响人们身体健康和生活质量的问题．实践证明，声音强度D（分贝）由公式（a、b为非零常数）给出，其中为声音能量．（1）当声音强度，，满足时，求对应的声音能量，，满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝至120分贝的空间内约一分钟就会暂时性失聪．问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪．21．（12分）如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点．（1）当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积；（2）当P在线段上移动时，求的最小值．22．（12分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有非零向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设，请问函数是否存在相伴向量？若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由；（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．   长郡中学2022～2023学年度高一第二学期第一次适应性检测数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）题号12345678答案CBABDCBC1．C   【解析】因为，所以．故选C．2．B   【解析】由余弦定理得，因为，所以．故选B．3．A   【解析】∵，∴，显然，∴．故选A．4．B【解析】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，排除CD；当时，，即当时，函数的图象在x轴的上方，显然A不满足，B满足，故选B．5．D【解析】∵，，∴，当且仅当，即，时等号成立，故选D．6．C【解析】依题意，设半球的半径为R，连接，交于点O，连接SO，如图所示：则有，易得，所以正四棱锥的体积为：，解得，所以半球的体积为：．故选C．7．B【解析】因为是偶函数，故，由，得，由函数在上单调递增，得，则，即，所以，，即，．当时，，当时，，当时，，当时，，所以ACD不合题意，选项B符合．故选B．8．C【解析】由题意知是奇函数，即，∴，即，即，故的图象关于点对称，B结论正确；又是偶函数，故，∴，即，故的图象关于直线对称，A结论正确；由以上可知，即，所以，则，故的一个周期为8，D结论正确；由于，令，可得，∴，而的图象关于直线对称，故，所以C结论错误，故选C．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）题号9101112答案BCADABDACD9．BC【解析】对于A，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，A错误；对于B，∵‘为一组基底，∴‘不共线，∴，也不共线，∴，也可以作为一组基底，B正确；对于C选项，，两边平方得，，所以在方向上的投影向量为，C选项正确；对于D选项，复数为纯虚数，则，解得，D选项错误，故选BC．10．AD【解析】对于选项A，由辅助角公式得．故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，故选项C错误；对于选项D，，故选项D正确，故选AD．11．ABD【解析】对A选项，根据结论大角对大边，则有，又因为正弦定理，所以，故A正确；对B选项，由可得，∴，为钝角三角形，故B正确；对C选项，由可得，∴，∴或，是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对D选项，由，则，解得，故，满足条件的三角形有且只有一个，故D正确，故选ABD．12．ACD【解析】对A，由奔驰定理可得，，又、、不共线，故，A对；对B，，由得，故，B错；对C，若O为的内心，，则，又（r为内切圆半径），则三边满足勾股定理，故，C对；对D，若O为的垂心，则，，又，同理，，∴，∵，则，且，令，，，且，因为，所以，．如图，D，E，F分别为，，边的垂足，，，，所以，D对，故选ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．   【解析】由已知可得，则．14．【解析】由直观图可知，在直观图中，正方形的对角线长为，由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图形如图所示，所以原图图形为平行四边形，底面边长为1，位于y轴的对角线长为，所以原来图形的面积为．15．【解析】命题，是假命题，即命题，是真命题，即在上恒成立，令，因为，所以当时函数取最小值，即，所以．16．【解析】因为，则，，又，故由正弦定理可得：，又为锐角三角形，故可得，，，解得，则，故，即．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【解析】（1）因为，所以，即，所以，所以，又，所以．（5分）（2）因为，且，所以．即，解得．（10分）18．【解析】（1），故．（5分）（2）因为，向左平移个单位长度，得到，故要使，需满足，，解得，，故的解集为，．（12分）19．【解析】（1）因为，所以．即，所以，又，所以．（5分）（2）由，得，则由平行四边形法则可得，则，即①，又，即②，由①②可得．（10分）则．（12分）20．【解析】（1）∵，∴，∴，所以．（5分）（2）由题意得，（7分）即，解得（9分）所以，由，得，得．所以当声音能量在时，人会暂时性失聪．（12分）21．【解析】（1）由已知可得，由余弦定理有，得到．在中，有，（3分）．（6分）（2）将绕旋转到与同一平面（如图所示），连接交于点，此时取得最小值，最小值即长．（8分）在中，，，，故，故，即，又易知，故，由余弦定理得，所以，（或者在中由勾股定理得）故的最小值为．（12分）22．【解析】（1）因为，（3分）所以，函数存在相伴向量，，所以，与共线的单位向量为或．（5分）（2）的“相伴函数”，，因为在处取得最大值，所以，当，，即，时，有最大值，所以，，所以，因为，，所以，（8分）所以，令，则，因为，在上均为单调递减函数，所以在上单调递减，所以，（10分）所以，，所以，的取值范围为．（12分）