2023年安徽省淮北市九年级下学期第一次模拟考试数学试题（含解析）

2023届九年级第一次模拟考试

数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义逐项分析即可．

【详解】解：A、C、D选项旋转180度不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，

故选：B．

【点睛】本题考查中心对称图形的识别，绕某一个点旋转180度能够与自身重合的图形，叫做中心对称图形．

2. 如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】要判断这个几何体的俯视图即从上面看这个几何体即可做出判断．

【详解】解：要判断这个几何体的俯视图即从上面看这个几何体，

从上面看这个几何体之后发现只有A选项符合，

故选择A．

【点睛】本题考查三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解答本题的关键．

3. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐项计算即可．

详解】，故A计算错误，不符合题意；

，故B计算错误，不符合题意；

，故C计算正确，符合题意；

，故D计算错误，不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查合并同类项，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式．掌握各运算法则是解题关键．

4. 二次函数的顶点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】二次函数的顶点式为，顶点坐标为，据此可得答案．

【详解】解：根据解析式可得其顶点坐标为，

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为，顶点坐标为，写出顶点时注意符号．

5. 下列说法正确的是（    ）

A. 翻开数学书的页码是偶数属于确定性事件

B. 寓言故事“守株待兔”发生的概率是1

C. 如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买100张这种彩票一定会有一张彩票中奖

D. 如果淮北市明天下雨的概率是，那么准北市明天下雨的可能性非常大

【答案】D

【解析】

【分析】根据事件的分类，概率的意义，逐一进行判断即可．

【详解】解：A、翻开数学书的页码是偶数属于随机事件，原说法错误，不符合题意；

B、寓言故事“守株待兔”发生的概率：，原说法错误，不符合题意；

C、如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买100张这种彩票不一定会有一张彩票中奖，原说法错误，不符合题意；

D、如果淮北市明天下雨的概率是，那么准北市明天下雨的可能性非常大，说法正确，符合题意；

故选D．

【点睛】本题考考查事件的分类，概率的意义．熟练掌握事件的分类以及概率表示事件发生的可能性大小，是解题的关键．

6. 某市新能源出租车的收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费元，超过3千米后，每超1千米就加收元（不足1千米按1千米计费）．若某人乘出租车的费用为元，则他乘坐出租车行驶的距离不可能是（    ）

A. 6千米 B. 千米 C. 千米 D. 7千米

【答案】A

【解析】

【分析】设乘坐x千米，根据费用列方程求解即可得到答案；

【详解】解：设乘坐x千米，由题意可得，

，

解得：，

∵不足1千米按1千米计费，

∴，

故选A．

【点睛】本题考查一元一次方程解决分段计价问题，解题的关键是找到等量关系及分段点．

7. 如图，是等边的外接圆，点D是上一动点（不与A，C重合），下列结论中不一定成立的是（    ）

A. 平分 B.

C. 当最长时， D. 若的边长为6，则的半径为

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆周角定理，等边三角形的性质，逐一进行判断即可．

【详解】解：A、∵是等边三角形，是等边的外接圆，

∴，，

∴，

∵点D是上一动点，

∴，即：平分，选项正确，不符合题意；

B、∵点D是上一动点，

∴不一定等于，

∴不一定等于；选项错误，符合题意；

C、当最长时，则：为的直径，

∴，

∵，

∴，

∴；选项正确，不符合题意；

D、∵的边长为6，

∴，

由（C）可知，当为的直径时，，

由勾股定理得：，即：，

∵，

∴，

∴的半径为；选项正确，不符合题意；

故选B．

【点睛】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等边三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．

8. 如图，中，，，，平分交于点D，分别过点D作于E，于F，则四边形的面积为（    ）

A. 12 B. 16 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意易得四边形是正方形，，则有，设，则，然后可得，进而求解即可．

【详解】解：∵，，，

∴，

∴四边形是矩形，

∵平分，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴四边形是正方形，

∵，，

∴，

∴，

设，则，

在中，，

解得：，

∴四边形的面积为，

故选D．

【点睛】本题主要考查三角函数、勾股定理及正方形的性质与判定，熟练掌握三角函数、勾股定理及正方形的性质与判定是解题的关键．

9. 如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案；

【详解】解：∵，

∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，

∴连接交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，

∵，，

∴，，

根据勾股定理可得，

，

∴，

故选C．

【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．

10. 如图，菱形的边长为，，点，在菱形的边上，从点同时出发，分别沿和的方向以每秒的速度运动，到达点时停止，线段扫过区域的面积记为，运动时间记为，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据菱形的性质，结合题意，分两种情况讨论，时，当时，根据三角形的面积公式建立函数关系，根据二次函函数的图象的性质即可求解．

【详解】解析：当时，过点作于，如图，

，，

则，

线段扫过区域的面积，图象是开口向上，位于轴右侧的抛物线的一部分，

当时，

如图，过点作于，则，

，

线段扫过区域的面积，

图象是开口向下，位于对称轴直线左侧的抛物线的一部分，

故选：C．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解直角三角形，二次函数图象的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 因式分解： ____________

【答案】

【解析】

【分析】先提公因式x，然后利用公式法分解因式．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查公因式法，公式法分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键．

12. 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，当时，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）之间满足关系式，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得到销售利润为（元/个），乘以销售总量，化简整理即可得到函数表达式．

【详解】解：每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个），

销售利润为：（元/个），

依题意得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——销售问题；解题的关键是表示出每个产品的销售利润．

13. 如图，点A是反比例函数的图象上的一动点，过点A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数（，）的图象交于点B、点C，连接，．若四边形的面积为5，则________．

【答案】3

【解析】

【分析】延长分别交轴，轴于点，易得四边形的面积等于，即可得解．

【详解】解：延长分别交轴，轴于点，

∵轴，轴，则：四边形为矩形，为直角三角形，

∵点A在反比例函数的图象上，点B、点C在反比例函数（，）上，

∴，，

∴四边形的面积，

∴；

故答案为：3．

【点睛】本题考查一直图形面积求值．熟练掌握值的几何意义，是解题的关键．

14. 如图，在中，，，点D是斜边的中点，点E是边上的一点，，交射线于点F．

（1）写出图中与相等的角________；

（2）若，，则________．

【答案】    ①.     ②. 6

【解析】

【分析】（1）根据直角等腰三角形可得，结合三角形内角和定理及平角即可得到答案；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半及勾股定理即可得到，由（1）易得，得到，即可得到答案；

【详解】解：（1），，

，

，

，

，

；

故答案为：；

（2）点D是的中点，

，，

，

，

，由（1）得，

∴，

，

，

，

，整理得，解得或（舍去），

故答案为：6．

【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，相似三角形的判定与性质，解题的关键是相似三角形的判定与性质．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 计算： ．

【答案】2

【解析】

【分析】利用负整数指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数值；熟记特殊角三角函数值并熟练掌握运算法则是解题的关键．

16. 已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数表达式．

【答案】

【解析】

【分析】既然已知顶点，故设出顶点式，再将另外一个点的坐标代入即可．

【详解】解：∵抛物线的顶点是，

∴可设抛物线函数表达式为，

∵抛物线经过点，

∴，解得，

∴抛物线的函数表达式为．

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据题目中已知信息，选择合适的表达式的形式是解题的关键．当已知顶点式时，设顶点式；当已知任意三点坐标时，设一般式．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 观察下列等式：

第1个等式：；第2个等式：；

第3个等式：；第4个等式：；……

请根据上述规律，解答下列问题：

（1）请直接写出第5个等式；

（2）猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

【答案】（1）   

（2），证明见解析

【解析】

【分析】（1）观察式子，即可写出第五个等式；

（2）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母是序数，第二个分母是第一个分母与比第一个分母大1的数的积，等式的右边分母是序数．然后直接通分计算即可得证；

小问1详解】

第5个等式为；

【小问2详解】

第n个等式是；

证明：等式左边等式右边，所以猜想成立．

【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键．

18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）

（1）以点O为位似中心，在点O的另一侧画出的位似，使与的位似比是．

（2）将绕点顺时针方向旋转得到，请画出．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）分别连接，并令，，，即可确定的位置；

（2）借助网格，分别找出点和的位置，连接即可．

【小问1详解】

如图即为所求；

【小问2详解】

如图即为所求．

【点睛】本题考查网格作图，理解位似的两个图形，顶点与位似中心连线之比等于位似比是正确画出图形的关键．另外在画旋转图形时，需明确旋转中心、旋转方向和旋转角度．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 如图，中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的交于D，交于E，若．

（1）求证：为的切线；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）7

【解析】

【分析】连接，由等腰三角形的性质可证，，根据，可证，进而得，根据切线的判定可知是切线；

（2）利用勾股定理求出的长，根据求出，进而可求出的长．

【小问1详解】

如图，连接，

，

，

，

，

，

，

，

∴，

∵是半径，

∴为的切线；

【小问2详解】

过点C作于点M，

在中，由勾股定理得，

，

，

，，

，，

．

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解答．

20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点C，若．

（1）求k的值；

（2）已知点P是x轴上的一点，若的面积为24，求点P的坐标．

【答案】（1）18    （2）或

【解析】

【分析】（1）如图所示，过点C作轴于点H，先求出A、B的坐标得到，再证明得到，，即可求出点C的坐标，进而求出k的值；

（2）设点P坐标为，则，根据的面积为24，得到，解方程即可得到答案．

【小问1详解】

解：如图所示，过点C作轴于点H，

∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴点C的坐标是，

∵点C在反比例函数上，

∴；

【小问2详解】

解：设点P坐标为，

∴，

∵的面积为24，

∴，

∴，

解得或，

∴点P坐标为或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明是解题的关键．

六、（本题满分12分）

21. 某校举办“安全在我心中，你我一起行动”演讲比赛，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全、师生心理安全”五个主题内容，分别制成1号题组、2号题组、3号题组、4号题组、5号题组，为体现比赛的公平性，赛事组委会规定：参赛选手每人可以从上述5个题组中随机选取组一个题组参加比赛，但演讲内容不能雷同．

（1）若小明第一个上台演讲，求他选取偶数号题组的概率；

（2）若小明和小刚同时上台参加对抗赛，求他俩一位选取奇数号题组另一位选取偶数号题组的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式进行解答即可；

（2）根据题意先画出树状图得出所有情况数和小明、小刚都选答奇数号材料的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．

【小问1详解】

解：因为共有5组，小明上场时，其中偶数号材料有2组，所以小明选答的材料编号是偶数的概率是；

【小问2详解】

解：画树状图分析为：

共有20种等可能的结果，他俩一位选取奇数号题组另一位选取偶数号题组的结果有12种，

（一位选取奇数号题组另一位选取偶数号题组）．

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

七、（本题满分12分）

22. 已知关于x的二次函数（m是常数）．

（1）若该二次函数的图像经过点，

①求m的值；②若该二次函数的图像与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），求的面积；

（2）若该二次函数的图像与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值；

【答案】（1）①；②   

（2）2

【解析】

【分析】（1）①直接利用待定系数法求解，再由二次函数定义即可得出结果；

②先求出二次函数与x轴的交点，然后求面积即可；

（2）先确定纵坐标的解析式，然后化为顶点式即可求解．

【小问1详解】

解：①关于x的二次函数的图像经过点，

，

整理得，

解得，，

，

，

；

②，

该二次函数表达式为，

当时，

即，

解得，，

点B在点C的左侧，

点B坐标为，点C坐标为，

的面积；

【小问2详解】

当时，，

点P的纵坐标为，

又∵，

，

抛物线开口向下，

时，y有最大值2，

点P纵坐标的最大值为2．

【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括待定系数法确定解析式，与坐标轴的交点，一般式化为顶点式等，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．

八、（本题满分14分）

23. 如图，四边形中，对角线，相交于点，且，．

（1）若，求证：；

（2）求证：；

（3）若平分，，，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）由三角形内角和定理可以得出，根据可以得出，由等角对等边可知，即可证明；

（2）取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角相等得，，可证；

（3）根据同弧所对的圆周角相等得，因为平分，所以，等量代换得，根据同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等可得，继而求出的长，证明，可得，即可求出的长．

【小问1详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵在和中，

，

∴．

【小问2详解】

解：取的中点，连接，，

∵，

∴，同理，

∴，

∴点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上，

∴，，

∴．

【小问3详解】

解：由（2）点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等，熟练掌握相关知识点并根据题目得出点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上是解答本题的关键．