2023年湖南省岳阳市岳阳县九校联考第一次模拟考试数学试卷（含答案）

2023年湖南省岳阳市岳阳县九校联考第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．实数﹣2023的绝对值是（　　）

A．2023 B．﹣2023 C． D．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（    ）

A． B．

C． D．

4．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

5．一个正六边形的内角和的度数为（　　）

A．1080° B．720° C．540° D．360°

6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=25°，则∠CAD的度数是(　　)

A．25° B．60° C．65° D．75°

7．下列命题是假命题的是（　　）

A．在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 B．圆内接四边形的对角互补

C．三角形的内心到三边的距离相等 D．三角形的外心是三边垂直平分线的交点

8．已知二次函数，若关于x的方程的实数根为a，β，且，则下列不等式正确的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

9．分解因式：－x=__________．

10．根据相关数据显示，参加2023年全国初中毕业会考的考生预计在人以上，用科学记数法表示是______．

11．二次函数的顶点坐标是______．

12．已知，则代数式的值是________．

13．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点．若，则的长为_______________．

14．如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则_____度．

15．已知圆锥的底面圆半径是3，高为4，则圆锥的侧面积是__________．

16．如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，切线与的延长线相交于点P，弦平分，交于点F，连接，

（1）若，，则 弧的长为_____．

（2）若，，则的长为_____．

三、解答题

17．计算：

18．如图，点D为的边的中点，过点D作，交于点E，延长至点F，使，求证：．

19．反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．

（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

20．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．

(1)本次调查共抽取学生多少人？

(2)表中a的值为      ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为      ．

(3)已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．

21．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

22．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．

23．

(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．

(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．

(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．

24．如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．

(1)请直接写出点，，的坐标；

(2)若点是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点的坐标，并求出面积的最大值．

(3)点是抛物线上的动点，作交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．A

【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案．

【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，

所以，﹣2023的绝对值等于2023．

故选：A．

【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．

2．D

【分析】根据积的乘方运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则逐项计算判断即可．

【详解】解：A、，该选项计算错误，不符合题意；

B、，该选项计算错误，不符合题意；

C、，该选项计算错误，不符合题意；

D、，该选项计算正确，符合题意，

故选：D．

【点睛】本题考查积的乘方运算、完全平方公式、同底数幂的除法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键．

3．C

【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可．

【详解】解：由于圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，所以该物体的主视图是：

故选：C．

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常考题型，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是解题关键．

4．D

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．

【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，

解得a＜1且a≠0．

故选：D．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

5．B

【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．

【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．

6．C

【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理的推论可得∠D=∠ABC=25°，继而求得答案．

【详解】解：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∵∠D=∠ABC=25°，

∴∠CAD=90°﹣∠D=65°．

故选：C．

【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．

7．A

【分析】根据命题对错逐个判断即可得到答案；

【详解】解：在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，故A选项错误，是假命题，符合题意；

圆内接四边形的对角互补，故B正确，是真命题，不符合题意；

三角形的内心到三边的距离相等，故C正确，是真命题，不符合题意；

三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故D正确，是真命题，不符合题意；

故选A．

【点睛】本题考查命题真假的判断，解题关键是熟练掌握各选项知识点．

8．B

【分析】方程的根相当于将函数的图象向上平移个单位，得到的函数图象与x轴的交点的横坐标，进而可求解．

【详解】解：根据题意，方程的根相当于将函数的图象向上平移个单位，得到的函数图象与x轴的交点的横坐标，

∵函数的图象与x轴的交点的横坐标为1和2，

∴方程的实数根为a，β在1和2之间，

即，

故选：B．

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象的平移，熟练掌握利用函数图象平移的思想求解是解答的关键．

9．x（x+1）（x－1）

【详解】解：原式

10．

【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11．

【分析】根据二次函数的顶点坐标为求解即可．

【详解】解：二次函数的顶点坐标是为，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象是解答的关键．

12．1

【分析】先求得，再代入中求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴

，

故答案为：1．

【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键．

13．9

【分析】直接根据位似图形的位似比求解即可．

【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，

∴，

∵，

∴，

故答案为：9．

【点睛】本题考查位似图形，会利用位似图形的位似比求线段长是解答的关键．

14．

【分析】连接，根据旋转性质得到，，，则可证明是等边三角形，进而得到，即，然后利用三角形的外角性质求解即可．

【详解】解：如图，连接，

∵将绕点B按顺时针方向旋转得到，

∴，，，

∵，

∴是等边三角形，

∴，则，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、圆的基本性质等知识，熟练掌握旋转的性质，证明是等边三角形是解答的关键．

15．

【分析】根据勾股定理求得圆锥的母线长，即为圆锥侧面展开图的扇形的半径，再利用扇形面积公式求解．

【详解】解：∵圆锥的底面圆半径是3，高为4，

∴圆锥的母线长为，

又圆锥底面周长为，

∴圆锥的侧面积为，

故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理、圆锥侧面展开图、扇形面积公式，熟练掌握圆锥侧面展开图和勾股定理是解答的关键．

16．         

【分析】（1）根据切线性质得到，再根据平行线的判定和性质和等腰三角形的性质证得得到，再利用三角形的外角性质求得，根据等边三角形的判定与性质证得为等边三角形，进而有，利用弧长公式求解即可；

（2）连接，先根据圆周角定理和角平分线的定义求得，设的半径为r，则，，利用勾股定理分别求解r和即可．

【详解】解：（1）∵是过点C的切线，

∴，又，

∴，又，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∴弧的长为，

故答案为：；

（2）连接，

∵是的直径，

∴，

∵弦平分，

∴，

∴，

设的半径为r，则，，

在中，由勾股定理得，

∴，

解得或，

当时，符合题意；

当时，不符合题意，

∴，

在中，，

故答案为：．

【点睛】本题考查切线性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、弧长公式、勾股定理、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

17．0

【分析】利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角函数值、绝对值意义化简原式，再加减运算即可求解．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值意义、二次根式的加减，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．

18．证明见详解；

【分析】根据点D为的边的中点得到，结合可得，，即可得到，利用边角边定理即可得到，从而得到，，即可证明；

【详解】证明：∵点D为的边的中点，

∴，

∵，

∴，，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴

∴．

【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，三角形全等的性质与判定，平行线截线段对应成比例，解题关键是根据平行线所截线段对应成比例得到三角形全等条件．

19．(1); B点坐标为（3，1）；(2) P点坐标为（，0）．

【分析】（1）先把A点坐标代入y= 求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；

（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．

【详解】（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，

∴反比例函数解析式为y=；

把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，

∴B点坐标为（3，1）；

（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），

∵PA+PB=PA′+PB=BA′，

∴此时PA+PB的值最小，

设直线BA′的解析式为y=mx+n，

把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得，

∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5，

当y=0时，2x﹣5=0，解得x=，

∴P点坐标为（，0）．

【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、最短路径问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键 ．

20．(1)100

(2)20；108°

(3)1950人

【分析】（1）由2本人数及其所占百分比可得总人数；

（2）用总人数分别减去其它读书量人数即可得出a的值；用360°乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数；

（3）总人数乘以样本中“读书量”不少于3本的学生人数所占百分比即可．

【详解】（1）解：抽样调查的学生总数为：25÷25%＝100（人），

答：本次调查共抽取学生100人；

（2）a＝100﹣10﹣25﹣30﹣15＝20；

扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为：360°×＝108°，

故答案为：20；108°；

（3）3000×＝1950（人），

答：估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950人．

【点睛】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．(1)20%

(2)18个

【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；

（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．

【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，

根据题意得：，

解这个方程得，，，

经检验，符合本题要求．

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．

（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，

由题意得：，

解得．

∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．

22．96米

【分析】根据题意可得是直角三角形，解可求出AC的长，再证明是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．

【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，

∴是直角三角形，

∴，

∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，

在Rt△ACD中，，CD=90米，

∴米，

∵，

∴

∴，

∴ 即是直角三角形，

∴，

∴米，

∴米，

答：A，B两点间的距离为96米．

【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题．

23．(1)证明见详解

(2)

(3)

【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；

（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；

（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴．

（2）解：由（1）得，

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

（3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．

在中，．

∵，

∴由（1）得，

∵，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵平分，

∴，

∴．

∴．在中，．

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．

24．(1)，，

(2)点的坐标为时，有最大值

(3)存在，点的坐标为或或

【分析】（1）将和代入抛物线，进而求得结果；

（2）连接，设点，分别表示出，，计算出，根据，从而得出面积的函数关系式，根据函数的性质即可得出结果；

（3）可分为两种情形：①当四边形为时，点和点关于抛物线对称轴对称，从而得出点的坐标，②当四边形为时，可推出点的纵坐标为6，进而求得结果．

【详解】（1）解：当时，，

，

当时，，

解得，，

，；

（2）解：如图，连接，

设点，

，

，

，

，

当时，即点的坐标为时，有最大值；

（3）解：存在．

①如图，当四边形为时，，

抛物线对称轴为直线，

的坐标为，

②如图，当四边形为时，作于点，

，

当时，，

，，

，，

综上所述，点的坐标为或或．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，三角形的面积，正确构造辅助线画出图形是解题的关键．