2023年河南省新乡市卫滨区第四十五中学等4校中考一模数学试题(含答案)

这是一份2023年河南省新乡市卫滨区第四十五中学等4校中考一模数学试题(含答案)，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省新乡四十五中等四校中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣4的绝对值是（　　）
A． B． C．4 D．﹣4
2．（3分）碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知，碘原子的半径约为0.0000000133cm，数字0.0000000133用科学记数法表示为（　　）
A．13.3×10﹣9 B．1.33×10﹣9 C．1.33×10﹣8 D．0.133×10﹣7
3．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（3a）2＝6a2 B．4a2﹣2a2＝2
C．5a3b÷ab＝5a2b D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
6．（3分）在2022年9月“中国共青团成立一百周年”知识竞赛比赛中，某校15名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前8名进入决赛．如果小丽知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小丽还需知道这15名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠﹣1
C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠﹣1
8．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，5），C（x3，8）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M，N为边BC和CD上的动点（不含端点），若AB＝，∠MAN＝45°，则△MNC的周长是（　　）

A． B．2 C．2 D．3
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（a，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
12．（3分）不等式组的解集是 　 　．
13．（3分）甲袋中装有黄、白两个乒乓球，乙袋中装有两个黄色和一个白色的乒乓球，两袋里的球除颜色不同外其他都相同．如果分别从两个袋中各摸一个乒乓球，则从两个袋中摸出的球都是黄色球的概率是 　 　．
14．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为 　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E在边AB上，连接CE，将△EBC沿CE折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对角线上时，AE的长为　 　．

三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）计算：4﹣1﹣（π+2）0+；
（2）化简：（1+）÷．
17．（9分）2022年12月14日，卡塔尔世界杯总决赛四强全部产生，小刚同学支持的“格子军团”克罗地亚队位列其中，小刚同学在足球场对一部分同学预计“谁能夺得冠军”进行了一次抽样调查，收集的数据整理如图表所示．请根据以上不完整的数据和图表，解答下列问题：
你预计谁能夺得冠军
人数
阿根廷
24
法国
a
克罗地亚
14
摩洛哥
5
（1）这次抽样调查的样本容量为 　 　，a＝　 　，m＝　 　；
（2）求扇形统计图中克罗地亚对应的扇形圆心角的度数；
（3）小刚同学本次抽样调查的结果能否代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法？若能，请估计全校1000名同学中认为“谁能夺得冠军”的人数；若不能，请你说明原因并设计一种能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法的抽样方法．

18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．
（1）求证：△CDE≌△EFC；
（2）若AB＝4，连接AC．
①当AC＝　 　时，四边形OBEC为菱形；
②当AC＝　 　时，四边形EDCF为正方形．

19．（9分）如图是人民英雄纪念碑，它位于北京天安门广场中心，是为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，碑体正面是毛泽东亲笔题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字．右图是纪念碑的示意图，小丽在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进37.1m后，在B处测得碑顶D的仰角为53°（点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上）求纪念碑的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin53°≈；cos53°≈，tan53°≈）

20．（9分）某“数学兴趣小组”对函数y＝+x的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请将其补充完整．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0




2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣1
﹣
﹣


3



…
（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围为 　 　．
（2）如表是y与x的几组对应值：
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象.
（3）结合函数的图象，写出该函数的两条性质：　 　．
（4）①该函数的图象与一条垂直于x轴的直线无交点，则这条直线为 　 　．
②直线y＝m与该函数的图象有交点，则m的取值范围 　 　．
21．（9分）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售5台A型和10台B型打印机的利润和为2000元，销售10台A型和5台B型打印机的利润和为1600元．
（1）求每台A型和B型打印机的销售利润；
（2）商店计划购进A、B两种型号的打印机共100台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这100台打印机的销售总利润为w元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元（0＜m＜100），但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请直接写出商店销售这100台打印机总利润最大的进货方案．
22．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ADC的形状，并求△ADC的面积；
（3）如图②，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，直接写出此时P点的坐标．

23．（10分）[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．
小明的证明思路是：
如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．
请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF．

[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值．
[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝2cm，AD＝3cm，BD＝cm，MN分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．


2023年河南省新乡四十五中等四校中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）﹣4的绝对值是（　　）
A． B． C．4 D．﹣4
【解答】解：|﹣4|＝4．
故选：C．
2．（3分）碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知，碘原子的半径约为0.0000000133cm，数字0.0000000133用科学记数法表示为（　　）
A．13.3×10﹣9 B．1.33×10﹣9 C．1.33×10﹣8 D．0.133×10﹣7
【解答】解：数字0.0000000133用科学记数法表示为1.33×10﹣8．
故选：C．
3．（3分）如图所示几何体的左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：

故选：A．
4．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：B．

5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（3a）2＝6a2 B．4a2﹣2a2＝2
C．5a3b÷ab＝5a2b D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
【解答】解：A、（3a）2＝9a2，故A不符合题意；
B、4a2﹣2a2＝2a2，故B不符合题意；
C、5a3b÷ab＝5a2，故C不符合题意；
D、（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，故D符合题意；
故选：D．
6．（3分）在2022年9月“中国共青团成立一百周年”知识竞赛比赛中，某校15名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前8名进入决赛．如果小丽知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小丽还需知道这15名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【解答】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有8个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：C．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠﹣1
C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠﹣1
【解答】解：根据题意得k+1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k+1）（k﹣3）≥0，
解得k≥﹣且k≠﹣1，
即k的取值范围为k≥﹣且k≠﹣1．
故选：D．
8．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，5），C（x3，8）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝7＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵点A（x1，﹣3），B（x2，5），C（x3，8）都在反比例函数y＝的图象上，﹣3＜0＜5＜8，
∴x1＜x3＜x2，
故选：B．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M，N为边BC和CD上的动点（不含端点），若AB＝，∠MAN＝45°，则△MNC的周长是（　　）

A． B．2 C．2 D．3
【解答】解：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，

则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，AE＝AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△ABM和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△ADE（HL），
∴BM＝DE，
在△EAN和△MAN中，
，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC＝BC＝，
∴△MNC的周长为2，
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（a，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵顶点C的坐标为（a，3），
∴OE＝﹣a，CE＝3，
∴OC＝＝2，
∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，
∴OB＝OC＝2，∠BOD＝∠BOC＝30°，
∵DB⊥x轴，
∴DB＝OB•tan30°＝2×＝2，
∴点D的坐标为：（﹣2，2），
∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，
∴k＝xy＝﹣4．
故选：C．

二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≥﹣2　．
【解答】解：由题意可知：x+2≥0，
∴x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
12．（3分）不等式组的解集是 　x＜1　．
【解答】解：由2x﹣1＜1得x＜1，
由6+4x≥5x得x≤6，
所以不等式组解集：x＜1，
故答案为：x＜1．
13．（3分）甲袋中装有黄、白两个乒乓球，乙袋中装有两个黄色和一个白色的乒乓球，两袋里的球除颜色不同外其他都相同．如果分别从两个袋中各摸一个乒乓球，则从两个袋中摸出的球都是黄色球的概率是 　　．
【解答】解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，从两个袋中摸出的球都是黄球的结果有4种，
∴从两个袋中摸出的球都是黄球的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为 　π　．

【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
由勾股定理得：AB＝＝2，
∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，
∴∠CAC1＝90°，
∴阴影部分的面积S＝+﹣S△ACB﹣
＝﹣，
＝﹣
＝π．
故答案为：π．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E在边AB上，连接CE，将△EBC沿CE折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对角线上时，AE的长为　或　．

【解答】解：①如图1所示，当点B'在AC上时，

由勾股定理得，AC＝＝5，
由折叠可得，B'C＝BC＝3，
∴AB'＝5﹣3＝2，
由∠AB'E＝∠B＝90°，∠B'AE＝∠BAC，可得Rt△AB'E∽Rt△ABC，
∴，即，
解得AE＝；
②如图2所示，当点B'在BD上时，

由BE＝B'E，BC＝B'C，可得CE垂直平分BB'，
∴∠BCE+∠CBD＝90°＝∠BCE+∠CEB，
∴∠CBD＝∠BEC，
由∠CBE＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠BEC，可得Rt△BCE∽Rt△DCB，
∴＝，即，
解得BE＝，
∴AE＝4﹣＝；
综上所述，AE的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）计算：4﹣1﹣（π+2）0+；
（2）化简：（1+）÷．
【解答】解：（1）4﹣1﹣（π+2）0+
＝
＝；
（2）（1+）÷
＝
＝x+3．
17．（9分）2022年12月14日，卡塔尔世界杯总决赛四强全部产生，小刚同学支持的“格子军团”克罗地亚队位列其中，小刚同学在足球场对一部分同学预计“谁能夺得冠军”进行了一次抽样调查，收集的数据整理如图表所示．请根据以上不完整的数据和图表，解答下列问题：
你预计谁能夺得冠军
人数
阿根廷
24
法国
a
克罗地亚
14
摩洛哥
5
（1）这次抽样调查的样本容量为 　50　，a＝　7　，m＝　28　；
（2）求扇形统计图中克罗地亚对应的扇形圆心角的度数；
（3）小刚同学本次抽样调查的结果能否代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法？若能，请估计全校1000名同学中认为“谁能夺得冠军”的人数；若不能，请你说明原因并设计一种能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法的抽样方法．

【解答】解：（1）样本容量为24÷48%＝50，a＝50×14%＝7，
∵m%＝14÷50，
∴m＝28，
故答案为：50，7，28；
（2）扇形统计图中克罗地亚对应的扇形圆心角为360°×＝100.8°；
（3）在足球场对一部分同学预计“谁能夺得冠军”的抽样调查不能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法，可以在全校的每个班抽取5人进行调查．
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点B作BD⊥l，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．
（1）求证：△CDE≌△EFC；
（2）若AB＝4，连接AC．
①当AC＝　2　时，四边形OBEC为菱形；
②当AC＝　2　时，四边形EDCF为正方形．

【解答】（1）证明：如图，

∵BD⊥CD，
∴∠CDE＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵CD是切线，
∴∠FCD＝90°，
∴四边形CFED矩形，
∴CF＝DE，EF＝CD，
在△CDE和△EFC中，
，
∴△CDE≌△EFC．

（2）解：①当AC＝2时，四边形OCEB是菱形．
理由：连接OE．

∵AC＝OA＝OC＝2，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∵∠AFO＝90°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠B＝60°，∵OE＝OB，
∴△OEB是等边三角形，
∴∠EOB＝60°，
∴∠COE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵CO＝OE，
∴△COE是等边三角形，
∴CE＝CO＝OB＝EB，
∴四边形OCEB是菱形．
故答案为2．
②当四边形DEFC是正方形时，

∵CF＝FE，
∵∠CEF＝∠FCE＝45°，
∵OC⊥AE，
∴＝，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴＝，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC＝OA＝2．
∴AC＝2时，四边形DEFC是正方形．
故答案为2．
19．（9分）如图是人民英雄纪念碑，它位于北京天安门广场中心，是为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，碑体正面是毛泽东亲笔题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字．右图是纪念碑的示意图，小丽在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进37.1m后，在B处测得碑顶D的仰角为53°（点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上）求纪念碑的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin53°≈；cos53°≈，tan53°≈）

【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图所示：
设DH＝xm，
在Rt△DBH中，tan∠DBH＝tan53°＝，
∴BH＝≈x（m），
在Rt△AHD中，tanA＝tan30°＝，
∴AH＝x（m），
∴AB＝AH﹣BH＝x﹣x＝37.1，
解得：x≈37.9，
答：纪念碑的高度约为37.9m．

20．（9分）某“数学兴趣小组”对函数y＝+x的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请将其补充完整．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0




2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣1
﹣
﹣


3



…
（1）函数y＝+x的自变量x的取值范围为 　x≠1　．
（2）如表是y与x的几组对应值：
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象.
（3）结合函数的图象，写出该函数的两条性质：　当x≥2或x≤0时，y随x的增大而增大，当0≤x＜1或1＜x≤2时，y随x的增大而减小；图象关于点（1，1）成中心对称　．
（4）①该函数的图象与一条垂直于x轴的直线无交点，则这条直线为 　x＝1　．
②直线y＝m与该函数的图象有交点，则m的取值范围 　m≥3或m≤﹣1　．
【解答】解：（1）∵x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，
∴x≠1，
因此自变量的取值范围为x≠1，
故答案为：x≠1；
（2）在坐标系中描点、连线即可画出图象，如下图：

（3）通过观察图象可得答案为：
①当x≥2或x≤0时，y随x的增大而增大，当0≤x＜1或1＜x≤2时，y随x的增大而减小，
②图象关于点（1，1）成中心对称；
（4）①通过观察图象，结合函数关系式自变量的取值范围可得，
该函数的图象与一条垂直于x轴的直线无交点，则这条直线是x＝1，
②由函数的图象可得，当m≥3或m≤﹣1时，直线y＝m与该函数的图象有交点，
故答案为：x＝1，m≥3或m≤﹣1．
21．（9分）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售5台A型和10台B型打印机的利润和为2000元，销售10台A型和5台B型打印机的利润和为1600元．
（1）求每台A型和B型打印机的销售利润；
（2）商店计划购进A、B两种型号的打印机共100台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这100台打印机的销售总利润为w元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元（0＜m＜100），但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请直接写出商店销售这100台打印机总利润最大的进货方案．
【解答】解：（1）设每台A型打印机的利润为x元，每台B型打印机的利润为y元，
根据题意得：，
解得：，
∴每台A型打印机的利润为80元，每台B型打印机的利润为160元．
答：每台A型打印机的利润为80元，每台B型打印机的利润为160元．
（2）由题意得：w＝80a+（100﹣a）×160＝﹣80a+16000，
∵﹣80＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a≥，即a≥，
∵a是正整数，
∴a＝34时，w最大，
∴100﹣a＝66（台），
∴当商店购进A型号的打印机34台，B型号的打印机66台时，才能使销售总利润最大．
答：当商店购进A型号的打印机34台，B型号的打印机66台时，才能使销售总利润最大．
（3）由题意得：w＝（80+m）a+（100﹣a）×160＝（m﹣80）a+16000，
∵≤a≤50，
①当m﹣80＞0时，即m＞80时，w随a的增大而增大，
∴a＝50时，w最大，w＝50m+12000＞16000，
此时100﹣a＝50（台），
∴商店购进50台A型打印机和50台B型打印机才能获得最大利润；
②当m﹣80＜0时，即m＜80时，w随a的增大而减小，
∴当a＝34时，w最大，w＝34m+13280＜16000，
此时100﹣a＝66（台），
∴商店购进34台A型打印机和66台B型打印机才能获得最大利润；
③当m﹣80＝0时，即m＝80时，w＝16000，
∴当a满足≤a≤50的整数时，w最大，
∴商店购进A型打印机数量满足≤a≤50的整数时，均获得最大利润．
综上，①当m﹣80＞0，即80＜m＜100时，w随a的增大而增大，∴当a＝50时，w最大；
②当m﹣80＜0，即0＜m＜80时，w随a的增大而减小，∴当a＝34时，w最大；
③当m﹣80＝0时，即m＝80时，w＝16000，∴80＜m＜100时，购进A型打印机50台，B型打印机50台可获最大利润；
0＜m＜80时，购进A型打印机34台，B型打印机66台可获最大利润；m＝80时，任意方案的利润都是16000元，
22．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ADC的形状，并求△ADC的面积；
（3）如图②，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，直接写出此时P点的坐标．

【解答】解：（1）∵B点坐标为（1，0），
∴OB＝1，
又∵OA＝OC＝3OB，
∴OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
将A，B，C三点代入解析式得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，
∴D点的坐标为（﹣1，﹣4），
∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝，
∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，
∴△ACD是直角三角形，
S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；
（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t，
代入A，C点坐标，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHE＝∠OCA＝45°，
设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），
∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，
∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，PE有最大值为，
此时P点的坐标为（﹣，﹣）．
23．（10分）[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．
小明的证明思路是：
如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．
请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF．

[结论运用]（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD＝8，CF＝3，求PG+PH的值．
[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝2cm，AD＝3cm，BD＝cm，MN分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．

【解答】（1）小明的证明：连接AP，如图②，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD+PE．
小颖的证明：
过点P作PG⊥CF，如图2，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，
∴∠CFD＝∠FDG＝∠FGP＝90°，
∴四边形PDFG为矩形，
∴DP＝FG，∠DPG＝90°，
∴∠CGP＝90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠PGC＝∠CEP，
∵∠BDP＝∠DPG＝90°，
∴PG∥AB，
∴∠GPC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠GPC＝∠ECP，
在△PGC和△CEP中，
，
∴△PGC≌△CEP（AAS），
∴CG＝PE，
∴CF＝CG+FG＝PE+PD；
（2）小明的证明思路：连接AP，如图③，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD﹣PE；
小颖的证明思路：
过点C作CG⊥DP，如图③，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，
∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°，
∴四边形CFDG是矩形，
∴CF＝GD，∠DGC＝90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠CGP＝∠CEP，
∵CG⊥DP，AB⊥DP，
∴∠CGP＝∠BDP＝90°，
∴CG∥AB，
∴∠GCP＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠PCE，
∴∠GCP＝∠ECP，
在△CGP和△CEP中，
，
∴△CGP≌△CEP（AAS），
∴PG＝PE，
∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．
（3）解：如图④

过点E作EQ⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CF＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，
由折叠有，DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，
∴DF＝5，
∵∠C＝90°，
∴DC＝＝4，
∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ＝DC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
∵∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，
∴PG+PH＝4．
∴PG+PH的值为4．
（4）解：延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，

∵AD×CE＝DE×BC，
∴，
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A＝∠CBE，
∴FA＝FB，
由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，
设DH＝x，
∴AH＝AD+DH＝3+x，
∵BH⊥AF，
∴∠BHA＝90°，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，
∵AB＝2，AD＝3，BD＝，
∴（）2﹣x2＝（2）2﹣（3+x）2，
∴x＝1，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝37﹣1＝36，
∴BH＝6，
∴ED+EC＝6，
∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，
∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE，
∴△DEM与△CEN的周长之和
＝DE+DM+EM+CN+EN+EC
＝DE+AE+BE+EC
＝DE+AB+EC
＝DE+EC+AB
＝6+2，
∴△DEM与△CEN的周长之和（6+2）dm．