重庆市西南大学附属中学2022-2023学年高三数学下学期3月期中考试试卷（Word版附答案）

2023年高三拔尖强基定时期中质检

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名” 与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时150分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．如果复数是纯虚数，则实数的值为（    ）

A．0 B．2 C．0或3 D．2或3

3．若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④.

其中是“理想函数”的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

4.已知函数f (x)为偶函数，定义域为R，当x>0时，f ′ (x)<0，则不等式f (x2－x)－f (x)>0的解集为（    ）

A.                      B.

C.                    D.

5.石碾子是我国传统粮食加工工具．如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（    ）

A.3∶2       B.5∶4         C.5∶3       D.4∶3

6.已知等差数列{an}的首项a1≠0，而a9＝0，则＝（    ）

A.0           B.2            C.－1       D.

7.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.四面体的各个顶点都在球的表面上，两两垂直，且是线段上一点，且，过作四面体外接球的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（    ）

A.    B.    C.    D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。

9.已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A.为函数的一个周期

B.是曲线的一个对称中心

C.若函数在区间上单调递增，则实数的最大值为

D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象

10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，下列说法正确的有（    ）

A.线段长度的最小值为4

B.过点与抛物线只有一个交点的直线有两条

C.直线交抛物线的准线于点，则直线平行轴

D.可能为直角三角形

11．已知A（4，2），B（0，4），圆，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（  ）

A．的最大值为

B．的最小值为

C．的最小值为

D．最大时，

12.已知，则有（    ）

A.    B.

C.    D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为______．

14．若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________.

15.已知直线l：y＝kx＋b是函数f (1)＝ax2与函数g＝ex的公切线，若     （1，f(1)）是直线l与函数f 相切的切点，则b＝________．

16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，c＝3b，则△ABC面积的最大值是__________；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知数列的前项和为，且满足.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，数列的前项和为，求证：.

18.（12分）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.

（1）求；

（2）若的面积为，求的值.

19.（12分）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，分别是的中点.

(1)求证：平面；

(2)若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值.

20．（12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；

(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；

(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？

21．（12分）已知点F（0，1）和直线：y=-1，直线过直线上的动点M且与直线垂直，线段MF的垂直平分线l与直线相交于点P．

（1）求点P 轨迹C的方程；

（2）过点F的直线l与C交于A，B两点．若C上恰好存在三个点，使得的面积等于，求l的方程．

22．（12分）已知函数，．

（1）证明：f（x）存在唯一零点；

（2）设，若存在，，使得，证明：

2023年高三拔尖强基定时期中质检

数学试卷参考答案

选择题：CACCBAAA  ABD  AC  AC  BCD

填空题：13．3    14．[－4,0)   15.－     16.3；（，2）

解答题：

17.（1）由，得①，

当时，②，

①-②整理得，

当时，，即，

数列是以9为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，

，即，

.

18．（1）因为向量与向量共线，

故，　　　　　　　　　　　　 

即，　　　　　

，　　　　　　　　

，∴， 　　　　　　　　　　　　 

又，

．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　

（2）由已知，

所以．    　　                                   

由余弦定理得，

即，联立          

解得或，　　　　　　　　　　　　　　    　　

所以．

19.（1）取中点为，连接，

因为点分别为的中点，

故，，

又点为的中点，且四边形为矩形，

故，，

故，，

故四边形为平行四边形，

则，又平面平面，

所以平面；

（2）因为为正方形，故可得，

又因为平面平面，且平面平面，

又平面，

所以平面，

又平面，

所以，又，，

如图建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的法向量为，则，

令，则，

设与平面所成角为，则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

20.（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，

其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，

则，，

所以，.

（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，

所以，，

，，

所以的分布列如下表：

所以

（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，

由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，

由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试

21．（1）连接PF，因为MF的垂直平分线l交于点P，所以，即点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线：y=-1的距离，由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线；

（2）如图，作与l平行且与C相切的直线，切点为D．

由题知的面积等于．

设l的方程为y=kx+1，方程可化为，则，令，解得x=2k，

将x=2k代入，得，故，所以D到l的距离，

由消去y，得，从而，，

所以，

故的面积，从而，解得=或．

所以l的方程为或．

22．（1）证明：，．

，，

因为时，恒成立，所以在上单调递增，因为，

所以在（-1，0）上恒小于0，在上恒大于0，所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在上单调递增，因为，所以有唯一零点0．

（2）证明：因为，所以，

若是方程的根，则是方程的根．

因为，都单调递增，所以，

所以，设，，

所以的解为，的解为（-1，1），

所以h（x）在（-1，1）上递减，在上递增，

所以h（x）的最小值为h（1）=1-2ln2，即的最小值为1-2ln2．