2023温州普通高中高三下学期3月第二次适应性考试（二模）数学含解析

机密★考试结束前

温州市普通高中2023届高三第二次适应性考试

数学试题卷

2023.3

本试卷共6页，22小题，满分150分.

考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠､不要弄破.

选择题部分（共60分）

一､选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数在复平面内对应的点在（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.展开式中二项式系数最大的是，则不可能是（    ）

A.8    B.9    C.10    D.11

4.某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差是，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，暴雨后的水面离桥拱顶的距离为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为.现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为.设，设，记事件“”，“”，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知正四棱锥的底面边长为，高为3.以点为球心，为半径的球与过点的球相交，相交圆的面积为，则球的半径为（    ）

A.或    B.或

C.或    D.或

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.是等比数列的前项和，若存在，使得，则（    ）

A.    B.是数列的公比

C.    D.可能为常数列

10.已知圆的方程为，对任意的，该圆（    ）

A.圆心在一条直线上    B.与坐标轴相切

C.与直线不相交    D.不过点

11.蜜蜂是自然界的建筑大师，在18世纪初，法国数学家马拉尔迪指出，蜂巢是由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房（如图）构成，其中每个蜂房的底部都是由三个全等的菱形构成，每个菱形钝角的余弦值是，则（    ）

A.平面

B.

C.蜂房底部的三个菱形所在的平面两两垂直

D.该几何体的体积与以六边形为底面，以为高的正六棱柱的体积相等

12.函数，则（    ）

A.，使得在上递减

B.，使得直线为曲线的切线

C.，使得既为的极大值也为的极小值

D.，使得在上有两个零点，且

非选择题部分（共90分）

三､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.

13.已知向量，若，则__________.

14.已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是__________.

15.平面内有四条平行线，相邻两条间距为1，每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是__________.

16.若数列满足，则称此数列为“准等差数列”.现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

17.（本小题满分10分）已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，与平面所成角的余弦值为.

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

18.（本小题满分12分）已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，.

（1）求的通项公式；

（2）若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.

①②.

19.（本小题满分12分）在一次全市的联考中，某校高三有100位学生选择“物化生”组合，100位学生选择“物化地”组合，现从上述的学生中分层抽取100人，将他们此次联考的化学原始成绩作为样本，分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值；

（2）在抽取的100位学生中，规定原始成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“不够优秀"，请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关？

（3）浙江省高考的选考科目采用等级赋分制，等级赋分的分差为1分，具体操作步骤如下：

第一步：将原始成绩从高到低排列，按人数比例划分为20个赋分区间.

第二步：对每个区间的原始成绩进行等比例转换，公式为：

其中分别是该区间原始成绩的最低分､最高分；分别是该区间等级分的最低分､最高分；为某考生原始成绩，为转换结果.

第三步：将转换结果四舍五入，确定为该考生的最终等级分.

本次联考采用浙江选考等级赋分制，已知全市所有的考生原始成绩从高到低前的考生被划分至的赋分区间，甲､乙两位考生的化学原始成绩分别为，最终的等级分为98､99.试问：本次联考全市化学原始成绩的最高分是否可能是91分？请说明理由.

附：，其中.

20.（本小题满分12分）已知满足.

（1）试问：角是否可能为直角？请说明理由；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）若，求方程的解；

（2）若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明.

22.（本小题满分12分）已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限.

（1）求点横坐标的取值范围；

（2）线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值.

温州二模数学逐题详细解析

1.【参考解析】，故选D.

2.【参考解析】显然对称轴，

所以由对称性知，故选C.

3.【参考解析】当时，显然，不满足，故选A.

4.【参考解析】典型的排队特极导的题型，

由图知为奇函数，故排除C；

之间由零点（其实是），排除；故选.

5.【参考解析】

利用对称性建系易知，可设，则，

则由，

而，

所以，故选A.

6.【参考解析】显然是取大函数，所以“”，

则中有一个数字是5，另一个数字小于等于5，有种；

显然是取小函数，所以，则有和；

所以，故选B.

7.【参考解析】显然，

所以最小，观察选项明显只有D满足，

所以选项还可以优化，一般在高考中最小最多能排除2个选项.

考后分析：

因为，所以，

所以，

即.

8.【参考解析】

当公共面在内部时，如下图所示，

易知，

由勾股定理有，所以，

设，则②，③，

联立②③解得.

前面一样，后面类似有，

设，则②，③，

联立②③解得.

故选B.

9.【参考解析】

当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，

所以D错；

当，

所以，故ABC对.

10.【参考解析】

对于：显然圆心在对；

对于B：显然对；

对于C：显然圆心在，故相离，C对；

对于D：，

显然，故有解，所以可能过点错；

故选ABC.

11.【参考解析】

对于：显然，所以平面对；

对于：因为每个菱形钝角的余弦值是，所以错；

对于CD：

方法提供与解析：

解析：（立体几何）因为平面，且平面，故平面，故A正确；

因为，每个菱形钝角的余弦值是，即不垂直，即不垂直，故错误；

若蜂房底部的三个荾形所在的平面两两垂直，可知平面平面，则平面，所以，故与不垂直矛盾!故C错误；

补形可知：，同理，故该几何体的体积与以六边形为底面，以为高的正只棱柱的体积相等，所以D正确；

故选.

12.【参考解析】

选BCD.

A.时，，故A错；

B.只需，故B对；

C.注意到，令，

另一方面，时，，

当时，，

当时，

此时为极小值，由图象的对称性，

-1为的极大值，此时也为极大值.C对；D.1

对于D，若，则，

所以或，当时，或，此时要使有2个零点，则，

则，不符合题意；当时，，设，

所以，当时，，当时，，所以在递减，在上递增，所以可设，设，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以，即，而在上单调递减，所以，故不正确；

综上，选BC

13.【参考解析】，

因为，所以.

14.【参考解析】显然，由对称性易知为双通径，

所以，

所以.

15.【参考解析】

如图，，

所以.

16.【参考解析】

和为5有2种组合，和为6有2种组合，

和为7有3种组合，和为8有3种组合，

和为9有4种组合，和为10有4种组合，

和为11有5种组合，

和为12有4种组合，和为13有4种组合，

和为14有3种组合，和为15有3种组合，

和为16有2种组合，和为17有2种组合，

所以；

扩充：由一般特殊思想归纳易知，

当为偶数时，，

当为奇数时，.

17.【参考解析】

（1）如图所示，取中点为，连接，

因为是边长为3的正三角形，，

所以三棱锥是正四面体，

所以，

又因为平面平面，

所以平面，又因为平面，

所以.

（2）如下图所示，

取中点为，连接，

因为是边长为3的正三角形，，

所以三棱锥是正四面体，

所以，

所以二面角的平面角为，

另一方面，，

所以由余弦定理得，

所以，

所以二面角的平面角的正弦值.

18.【参考解析】

（1）设的公差为的公比为，

因为，所以，

联立消得，解得或与矛盾，

故，代回计算得，

所以

（2）若选①，则有，

所以剩余的项就是原数列的奇数项，

相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，

所以；

若选②，则有，

因为，

所以当时，对应的为整数，满足，

当时，对应的不为整数，不满足，

所以剩余的项就是原数列的奇数项，

相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，

所以；

19.【参考解析】

（1）；

（2）易知优秀人数为人，所以不够优秀的为85人，

表格如下：

零假设：成绩是否优秀与所选的组合无关，

所以，

所以没有的把握认为成绩是否优秀与所选的组合有关.

（3）（猴哥说：由于涉及到四舍五入取整问题，所以最好不要用转化分来反求原始分，而应该用原始分继续求出相应的转化分，然后再分析）

假设本次联考全市化学原始成绩的最高分是91分，

则有，

此时99.72四舍五入后变为100分，与99分矛盾，

故假设不成立，

所以本次联考全市化学原始成绩的最高分不可能是91分.

20.【参考解析】

（1）假设角为直角，则，

所以，

因为，

所以

显然，所以矛盾，故假设不成立，

所以角不可能为直角.

（2）因为，

所以，

由正弦定理得，

由余弦定理化简得，

因为为锐角三角形，

所以

令，则有

所以的取值范围为.

21.【参考解析】

（1）解析：

定义域为

令，设

故在上单调递增，在上单调递减，，故方程的解为

（2）解析：

令，得，设，

故在单调递增，在单调递减，，得

，令，得

设，则，

故在单调递增，在单调递减，得，综上，

不妨令，由于

要证，即证

由于，易证

只需证，即证，

由于

得，由于函数在上单调递椷

故，得证

22.【参考解析】

解析：

（1）设，则，

根据向量定比分点公式：，

将坐标代入双曲线得：，

两式相减得：

则有：，再结合，解得，

故.

（2）显然，

，

，

则，此时，

故为.