2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线的斜率与倾斜角关系求解即可.

【详解】设直线的倾斜角为，则，

又，所以.

故选：B.

2．已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据递推关系即可逐一代入求值.

【详解】.

故选:C

3．已知函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据导数运算法则直接求解即可.

【详解】.

故选：A.

4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量的加法，减法，数乘向量运算的定义求解即可.

【详解】.

故选：C.

5．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据单调性可知在上恒成立，分离变量可得，根据二次函数性质可求得的最小值，由此可得的取值范围.

【详解】的定义域为，，

又在定义域内单调递减，

在上恒成立，即在上恒成立；

，

，即实数的取值范围为.

故选：D.

6．已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上一点，且（为坐标原点），以为圆心，为半径的圆与轴相交于两点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件作出图形，利用点在曲线上及垂径定理，结合锐角三角函数及构造齐次式方程法解决椭圆的离心率即可.

【详解】由题可知，，过作轴，垂足为，如图所示

因为点是椭圆上一点，且，设，则

所以，即，解得，

不妨设点在第一象限，所以，即圆的半径，

因为圆心在弦的垂直平分线上，

所以为的中点，即,

所以,

又因为，

所以，

在中，，，

所以,即，

所以，即0，即，解得或.

因为，所以.

故椭圆的离心率为，

故选：A.

7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值.

【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，

，则，

，

，

由得：，解得：，又，.

故选：B.

8．已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.

【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，

所以，

即有两解，

所以有两解，

令，

则，

所以当时，0，此时函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以在处取得极大值，，

且时，的值域为，

时，的值域为，

因此有两解时，实数的取值范围为，

故选：C.

二、多选题

9．已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，设，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，由此可构造方程求得结果.

【详解】由圆的方程可知：圆心，半径；

设直线，

则圆心到直线的距离，解得：或，

直线的方程为：或.

故选：AC.

10．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ）

A．双曲线的离心率为

B．双曲线与双曲线的渐近线相同

C．的面积为4

D．的周长为

【答案】BCD

【分析】由双曲线的方程求，由此可求双曲线的离心率，分别求双曲线和双曲线的渐近线方程判断B；结合双曲线的定义和勾股定理求，再求的面积，判断C；由条件求，求的周长判断D.

【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距长为，则

，所以，离心率，A错误；

双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程是，双曲线与双曲线的渐近线相同，B正确；

由双曲线定义可得，又，

所以，

即，所以的面积为，C正确；

，

即，所以的周长为，D正确.

故选：BCD.

11．已知是数列的前项和，，，，则（    ）

A．

B．数列是等比数列

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A正确；将递推关系式转化为，结合，由等比数列定义可得B正确；利用累加法可求得C错误；采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D正确.

【详解】对于A，，，，

，，，

，A正确；

对于B，由得：，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B正确；

对于C，由B知：，

当时，，

又满足，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：ABD.

12．已知函数的两个极值点分别是，则（    ）

A．或

B．

C．存在实数，使得

D．

【答案】BD

【分析】对于A，由题意可得在上有2个不等的实根，从而可求出的范围，对于B，根据根与系数的关系结合的范围进行判断，对于C，由题意得，令，利用导数可求得，从而可进行判断，对于D，，令，利用导数可求出其在上的最大值小于零即可.

【详解】由有两个极值点，得在上有2个不等的实根，

即在上有2个不等的实根，则解得，A错误；

由韦达定理，得，当时，，B正确；

，

令，则，

所以在上单调递减，所以，

所以恒成立，C错误；

，

令，

令，

所以在上单调递减，

所以，即，

所以在上单调递减，.

所以，D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是根据题意可得在上有2个不等的实根，即在上有2个不等的实根，然后利用根与系数的关系分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.

三、填空题

13．已知的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为__________.

【答案】

【分析】由两点斜率公式求得，根据垂直直线的斜率关系求边上的高所在直线的斜率，再由直线的点斜式求边上的高所在直线的方程.

【详解】因为，

所以，设边上的高所在直线的斜率为，则

，所以，故边上的高所在直线的斜率为，

所以边上的高所在直线的方程为，即.

故答案为：.

14．张大爷为了锻炼身体，每天坚持步行，用支付宝APP记录每天的运动步数.在11月，张大爷每天的运动步数都比前一天多相同的步数，经过统计发现前10天的运动步数是6.9万步，前20天的运动步数是15.8万步，则张大爷在11月份的运动步数是__________万步.

【答案】26.7

【分析】由题分析知张大爷每天的步行步数成等差数列，利用等差数列及等差数列前项和公式的性质求解.

【详解】设张大爷在11月份每天的运动步数构成数列，由题可知该数列为等差数列

且的前项和为

所以成等差数列，

所以，

即，

解得26.7，

所以张大爷在11月份的运动步数是万步.

故答案为：26.7.

15．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________.

【答案】

【分析】令，，公共点为，结合导数几何意义可构造方程组，由此可解得，进而求得的值.

【详解】令，，则，；

设与的公共点为，

与在公动点处有相同的切线，

，即，，解得：，

，解得：.

故答案为：.

16．已知点是抛物线的焦点，过点作互相垂直的直线，且分别与抛物线相交于点，则四边形的面积的最小值为__________.

【答案】

【分析】设，将其与抛物线方程联立，结合抛物线的焦点弦长公式可表示出，根据垂直关系，将代入，即可求得，利用基本不等式即可求得面积的最小值.

【详解】由抛物线方程知：；

设，，，

由得：，则，

，，

；

，，同理可得：，

（当且仅当，即时取等号），

则四边形面积的最小值为.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：求解直线与抛物线综合应用中的四边形面积最值问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理求解出所需的长度；

④将所求面积转化为关于某一变量的函数形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值.

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）设数列的公差为，然后根据已知条件列方程可求出，从而可求出其通项公式；

（2）根据等差数列的求和公式和通项公式列方程可求得结果.

【详解】（1）设数列的公差为，则由，得，

因为，所以，解得.

所以.

（2），

由，得，

即，解得或，

又，所以.

18．已知函数，且.

(1)求函数的图象在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；

（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域.

【详解】（1），，解得：，

，则，

在点处的切线方程为：，即.

（2）由（1）知：，则，

当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减，

又，，，，，，

的值域为.

19．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中点.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1）四边形为矩形，，为中点，

，又，，；

平面，平面，；

，平面，平面.

（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

由（1）知：平面，平面的一个法向量为，

，

即平面与平面夹角的余弦值为.

20．已知双曲线的离心率为，是上一点.

(1)求的方程；

(2)已知直线与交于两点，为坐标原点，若，判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)直线恒过定点

【分析】（1）根据离心率、双曲线关系和双曲线所过点可构造方程求得，进而得到双曲线方程；

（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得，由此可得直线所过定点.

【详解】（1）双曲线的离心率，，则，

又为上一点，，解得：，，

双曲线的方程为：.

（2）设，，

由得：，

，则；

，，

，

整理可得：，又，，则，

直线恒过定点.

21．在数列中，.

(1)证明：是等比数列；

(2)若数列的前项和，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知可得，进而可证明为等比，

（2）根据 的关系可求解，由（1）知，进而可得，由错位相减法即可求解.

【详解】（1）证明：因为，所以，

又，所以，所以.

所以是首项为1，公比为的等比数列.

（2）由（1）知，

因为数列的前项和，所以当时，，当时，，满足上式，所以.

所以.

，①

由①，得，②

①②相减得

所以.

22．已知函数，（，为自然对数的底数）.

(1)求函数的极值；

(2)若对，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)

【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；

（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.

【详解】（1）定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

的极大值为，无极小值.

（2）由得：，在上恒成立；

令，则；

令，则，

在上单调递增，又，，

，使得，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，；

由得：，，

，，

则实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.