2022-2023学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知命题：向量，所在的直线平行，命题：向量，平行，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义可解．

【详解】因为向量，所在的直线平行时，可得向量，平行，则充分性成立，

而向量，平行时，向量，所在的直线平行或重合，则必要性不成立，

则命题是的充分不必要条件，

故选：A．

2．设圆，圆，则圆，的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．

【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．

故选：B．

3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影数量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用求得向量在向量方向上的投影.

【详解】依题意，向量在向量方向上的投影为，

故选：D.

4．已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.

【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.

故选：C

5．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

6．已知直线过双曲线的左焦点，且与交于，两点，当时，这样的直线有（    ）条．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对直线与轴是否垂直、与双曲线左右支的交点情况分类讨论，即可判断出结论．

【详解】由双曲线，可得左焦点，顶点，

若轴，则，不符合题意，舍去；

若与轴不垂直，与的左支交于，两点，则，存在两条直线；

若与轴不垂直，与的左、右支各交于一个点，则只有，为顶点时满足，存在一条直线．

综上可得：满足条件的直线有3条，

故选：C．

7．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ）

A．3 B．5 C． D．13

【答案】B

【分析】由，结合图形即得.

【详解】因为椭圆，

所以，，

则椭圆的右焦点为，

由椭圆的定义得：，

当点P在点处，取等号，

所以的最大值为5，

故选：B.

8．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的余弦值大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，，进而得出结论．

【详解】，设，，

则，，

解得，，

，

故选：D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若空间中的，，，满足，则，，三点共线

B．空间中三个向量，，，若，则，，共面

C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面

D．设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底

【答案】ABC

【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断B、C、D．

【详解】对于A，根据向量的线性运算，若空间中的，，，满足，则，即，则，，三点共线，故A正确；

对于B，因为，则共线，则根据共面向量的定义可得，，，共面，故B正确；

对于C，对空间任意一点和不共线的三点，，，若，又，则，，，四点共面，故C正确；

对于D，若，，共面，则，则共面，与是空间的一组基底矛盾，所以，，不共面，所以能为空间的一组基底，故D错误，

故选：ABC．

10．（多选）已知方程表示曲线，则（    ）

A．当时，曲线一定是椭圆

B．当或时，曲线一定是双曲线

C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则

D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则

【答案】BD

【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的标准方程，一一判断即可.

【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；

对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，

当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；

对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；

对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．

故选BD．

11．设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ）

A．准线的方程是 B．的最大值为2

C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切

【答案】ACD

【分析】根据抛物线方程，直接求准线方程，判断A；根据三角形三边关系，判断B；根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合判断C；根据直线与圆相切的定义，判断D.

【详解】由题意得，则焦点，准线的方程是，A正确；

，当点在线段的延长线上时等号成立，所以的最大值为，B错误；

如图所示，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，当点在线段上时等号成立，所以的最小值为5，C正确；

设点，线段的中点为，则，所以以线段为直径的圆与轴相切，D正确，

故选：ACD.

12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上异于，的一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ）

A．

B．

C．轴，且

D．四边形的内切圆过焦点，

【答案】ABD

【分析】设，计算，又根据点在椭圆上，，两者联立求出离心率可判断A；由勾股定理以及离心率公式可判断B；根据结合斜率公式可判断C；由四边形的内切圆的半径为可得，求出离心率可判断D．

【详解】，

，，，，，，

对于A：设，则，，所以，

又因为为椭圆上一点，故，所以，

代入中整理可得，，所以，所以，故A正确；

对于B：，，

所以，整理得，即，

解得（舍去）或，满足题意，故B正确；

对于C：轴，且，，，即，解得，

又，所以，不满足题意，故C错误；

对于D：四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为，则到的距离为，

在直角中，，，，

，解得（舍去）或，，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知，，，则的坐标为______．

【答案】

【分析】由向量的坐标表示可得，再根据向量坐标的线性运算求的坐标.

【详解】由题设，，

所以.

故答案为：

14．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

【答案】

【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.

【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，

解法一：解得   

所以

解法二：

设，则,

过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.

15．已知椭圆的焦点为，．过且倾斜角为的直线交椭圆的上半部分于点，以，为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则离心率______．

【答案】##

【分析】根据四边形为平行四边形且可得，将其代入椭圆方程即可求解，的值，进而可得离心率．

【详解】由椭圆的焦点为，可知，，

设，，因为四边形为平行四边形，所以，

又因为，所以，

因为，且直线的倾斜角为，所以，

所以，

所以，将其代入，得，

又因为，所以，

所以，所以，

故答案为：．

16．在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ______．

【答案】

【分析】根据题意可得且，平方后利用数量积公式展开即可得解．

【详解】依题意，且，

所以，

即，解得．

故答案为：．

四、解答题

17．已知空间三点，，，设，．

(1)若，，求；

(2)求，夹角的余弦值．

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解；

（2）根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解．

【详解】（1），，则，

，可设，，

，，解得，

或；

（2），，，

，，

．

18．已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点．

(1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围；

(2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数的取值范围；

（2）先得出双曲线的方程，再联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系结合题意可得斜率的取值范围．

【详解】（1）由双曲线方程可知，，，，，

因为，所以，解得，

即实数的取值范围是；

（2）由（1）可知，，解得，所以双曲线方程为，

设，，过点的直线方程为，

由，消去整理得，

，，

由，，，解得，

所以该直线斜率的取值范围是．

19．如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）证明出平面，即可证得；

（2）计算出的边上的高，并求出点到平面的距离，由此可得出二面角的正弦值为.

【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，

平面，则，

，则，为的中点，则，

，平面，

平面，因此，；

（2），，，所以，，

同理可得，

取的中点，连接，则，

因为且，故四边形为矩形，则，

所以，，

由余弦定理可得，则，

所以，的边上的高，

平面，平面，则，

，，平面，

因为，平面，平面，故平面，

，故点到平面的距离，

设二面角为，则.

20．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．

(1)求的离心率；

(2)设是与的公共点．若，求与的标准方程．

【答案】(1)；

(2)，．

【分析】（1）由为的焦点且轴，为的焦点且轴，分别求得的坐标和，，由已知条件可得，，，的方程，消去，结合，，和的关系，解方程可得的值；

（2）由（1）用表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得，进而得到所求曲线方程．

【详解】（1）因为为的焦点且轴，可得，，

设的标准方程为，

因为为的焦点且轴，所以，，

因为，，的焦点重合，所以，

消去，可得，所以，所以，

设的离心率为，由，则，

解得舍去），故的离心率为；

（2）由（1）可得，，，

所以，，

联立两曲线方程，消去，可得，

所以，解得或（舍去），

从而，解得，

所以和的标准方程分别为，．

21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，虚轴长为4．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线与双曲线交于，两点且，求△的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据双曲线的几何性质，方程思想即可求解；

（2）连接，，则由双曲线与直线的对称性易知：四边形为平行四边形，从而得△的面积等于△的面积，再推到出“焦点三角形“的面积公式，从而根据公式即可求解．

【详解】（1）双曲线的离心率，虚轴长为4，

，解得，，，

双曲线的标准方程为；

（2）如图，连接，，

则由双曲线与直线的对称性易知：四边形为平行四边形，

又，，

根据平行四边形的性质可知：△的面积等于△的面积，

设，，，

则根据双曲线的几何性质及余弦定理可得：

，两式结合化简可得，

△的面积，

由（1）知，又，

△的面积，

△的面积为．

22．动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)经过定点的直线交曲线于，两点，设，直线，的斜率分别为，，求证：恒为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设点，利用条件可得等式，化简，可得轨迹的轨迹方程；

（2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，，，，．直线的方程与曲线的方程联立，消去，可得根与系数的关系，由斜率公式，化简计算可得常数，即可得证．

【详解】（1）设点，则根据题意有，

则，即，所以，

所以动点的轨迹的方程为．

（2）由题意可得直线的斜率存在，

设直线的方程为：，，．

联立，消去得：，

所以，，

从而，

即恒为定值．