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专题03 因式分解（课件+学案）-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件（全国通用）
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这是一份专题03 因式分解（课件+学案）-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案+课件（全国通用），文件包含专题03因式分解课件pptx、专题03因式分解学案含解析docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共32页， 欢迎下载使用。
中考数学一轮复习03 因式分解
1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
乘积
【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2－x－1=x(x－1)－1 B．x2－1=(x－1)2 C．x2－x－6=(x－3) (x＋2) D．x(x－1)= x2－x
【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
【例2】（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，
【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
1. 一般方法：（1）提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝ ．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. ②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. ③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
m(a＋b＋c)
（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝ (a＋b)(a－b) ；②a2±2ab＋b2＝ (a±b)2 ．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．
2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（ ）A．–3x2y2 B．–2x2y2 C．6x2y2 D．–x2y2
【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D
利用提公因式法分解因式
利用提公因式法分解因式
【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝ ．
【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．故答案为：3a (a－7b)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
利用平方差公式分解因式
【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为 ．
【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案为：(x＋2)(x－2)．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝ ．
【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
利用平方差公式分解因式
利用完全平方公式分解因式
【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（ ）A．x(x－4)＋4 B．(x＋2) (x－2) C．(x＋2)2 D．(x－2)2
【考点】因式分解—运用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故选：D．【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝ ．
【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m＋n－3)2．故答案为：(m＋n－3)2．
利用完全平方公式分解因式
【例9】已知二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），则b+c的值为（ ）A．1 B．–1 C．–5 D．5
【分析】∵二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），∴x2+bx+c＝（x–3）（x+1）＝x2–2x–3，∴b＝–2，c＝–3，故b+c＝–5．故选C．【答案】C．
利用十字相乘法分解因式
利用十字相乘法分解因式
【例10】（2022•内江）分解因式：a4－3a2－4＝ ．
【考点】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4－3a2－4＝(a2＋1)(a2－4)＝(a2＋1)( a＋2)( a－2)，故答案为：(a2＋1)( a＋2)( a－2)．
【例11】因式分解：x2 – y2 –2x+2y ．
【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x–y即可.【答案】x2 – y2–2x+2y = (x2 – y2 )–( 2x–2y )= ( x+y ) ( x –y ) –2 ( x–y )= ( x–y ) ( x+y–2 ) ．
利用分组分解法分解因式
【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a－3ab－4＋6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b) ＝a (2－3b)－2(2－3b) ＝(2－3b)(a－2) 解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2) (2－3b)
利用分组分解法分解因式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；
利用分组分解法分解因式
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．
利用分组分解法分解因式
【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a) ＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a) ＝(x＋a) (x－a＋1)；
【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．
利用分组分解法分解因式
（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2) ＝x (a－b)＋(a－b) 2＝(a－b)( x＋a－b)；
（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b) ＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2) ＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab) ＝(a2＋b2) (a－b) 2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，∴原式＝9．
利用分组分解法分解因式
几种方法的综合运用
【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1) ＝2022(x－1) 2．故答案为：2022(x－1) 2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
几种方法的综合运用
利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.
【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是 ．
【考点】因式分解的应用【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵∵ab＝2，a＋b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．
【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为 ．
【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．
【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9又∵a＋b＝1，∴原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．
【分析】方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．
【解答】方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝a2－(b－1)2＋10＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．又∵a＋b＝1，∴原式＝10．
巩固训练及详细解析见学案．
中考数学一轮复习03 因式分解
1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
乘积
【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2－x－1=x(x－1)－1 B．x2－1=(x－1)2 C．x2－x－6=(x－3) (x＋2) D．x(x－1)= x2－x
【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
【例2】（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，
【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
1. 一般方法：（1）提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝ ．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. ②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. ③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
m(a＋b＋c)
（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝ (a＋b)(a－b) ；②a2±2ab＋b2＝ (a±b)2 ．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．
2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（ ）A．–3x2y2 B．–2x2y2 C．6x2y2 D．–x2y2
【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D
利用提公因式法分解因式
利用提公因式法分解因式
【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝ ．
【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．故答案为：3a (a－7b)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
利用平方差公式分解因式
【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为 ．
【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案为：(x＋2)(x－2)．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝ ．
【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
利用平方差公式分解因式
利用完全平方公式分解因式
【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（ ）A．x(x－4)＋4 B．(x＋2) (x－2) C．(x＋2)2 D．(x－2)2
【考点】因式分解—运用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故选：D．【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝ ．
【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m＋n－3)2．故答案为：(m＋n－3)2．
利用完全平方公式分解因式
【例9】已知二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），则b+c的值为（ ）A．1 B．–1 C．–5 D．5
【分析】∵二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），∴x2+bx+c＝（x–3）（x+1）＝x2–2x–3，∴b＝–2，c＝–3，故b+c＝–5．故选C．【答案】C．
利用十字相乘法分解因式
利用十字相乘法分解因式
【例10】（2022•内江）分解因式：a4－3a2－4＝ ．
【考点】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4－3a2－4＝(a2＋1)(a2－4)＝(a2＋1)( a＋2)( a－2)，故答案为：(a2＋1)( a＋2)( a－2)．
【例11】因式分解：x2 – y2 –2x+2y ．
【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x–y即可.【答案】x2 – y2–2x+2y = (x2 – y2 )–( 2x–2y )= ( x+y ) ( x –y ) –2 ( x–y )= ( x–y ) ( x+y–2 ) ．
利用分组分解法分解因式
【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a－3ab－4＋6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b) ＝a (2－3b)－2(2－3b) ＝(2－3b)(a－2) 解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2) (2－3b)
利用分组分解法分解因式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；
利用分组分解法分解因式
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．
利用分组分解法分解因式
【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a) ＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a) ＝(x＋a) (x－a＋1)；
【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．
利用分组分解法分解因式
（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2) ＝x (a－b)＋(a－b) 2＝(a－b)( x＋a－b)；
（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b) ＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2) ＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab) ＝(a2＋b2) (a－b) 2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，∴原式＝9．
利用分组分解法分解因式
几种方法的综合运用
【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1) ＝2022(x－1) 2．故答案为：2022(x－1) 2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝ ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
几种方法的综合运用
利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.
【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是 ．
【考点】因式分解的应用【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵∵ab＝2，a＋b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．
【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为 ．
【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．
【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9又∵a＋b＝1，∴原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．
【分析】方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．
【解答】方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝a2－(b－1)2＋10＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．又∵a＋b＝1，∴原式＝10．
巩固训练及详细解析见学案．
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