2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二上学期期末数学试题（解析版）

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2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高二上学期期末数学试题

一、单选题
1．已知等差数列的前项和为，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列下标和性质可化简已知等式求得，代入等差数列求和公式可求得结果.
【详解】由等差数列性质知：，解得：，
.
故选：B.
2．已知圆：和定点，若过点可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把圆的方程化为标准方程，由过点可以作两条直线与圆相切，可知点在圆外，列出不等式即可得到的取值范围.
【详解】圆：化为标准方程：，
过点可以作两条直线与圆相切，
点在圆外，将点代入圆方程得：，
（舍去）或，
的取值范围是.
故选：D.
3．如果直线与直线关于直线对称，那么（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出，然后在上任取一点，其关于直线的对称点在上，代入可求出.
【详解】在上取一点，
则由题意可得其关于直线的对称点在上，
所以，得，
在上取一点，
则其关于直线的对称点在上，
所以，得，
综上，
故选：A
4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【分析】作于，由抛物线的定义可得，.根据三角形的三边关系可得，，，可知要使取得最小值，则需四点共线，则过过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于，可得出最小值.
【详解】由题意知，圆心，半径，抛物线的焦点，准线.

如图，作于，因为在抛物线上，所以.
因为，，当三点共线时，取等号.
又，则当三点共线时，取等号.
过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于，
此时，有四点共线，则上述两式可同时取等号.
所以有，.
所以，的最小值为8.
故选：C.
5．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出，由，通过运算得到，再利用之间的关系得到关于的方程，解出即可.
【详解】解：双曲线的渐近线方程为：，即，
到渐近线的距离为，
，则直角三角形的内切圆的半径，

如图，设三角形的内切圆与切于，则，，可得，
，
即，则，
所以，
由，，
，.
故选：A.
6．已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（    ）
A．0 B．50 C．100 D．2525
【答案】B
【分析】法一：先利用求出，利用累乘法得到，再分组求和；
法二：先利用求出，又易知，从而得到为常数列，求出，再分组求和.
【详解】法一：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，易知，
所以．
又满足，故，则，
易知，所以.
法二：由于①，则当时，②，

①-②，得，即，又易知，
所以数列为常数列，所以，所以，则，
易知，所以.
故选：B．
7．法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（    ）
A．椭圆C的离心率为
B．M到C的右焦点的距离的最大值为
C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则
D．面积的最大值为
【答案】D
【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；
B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；
C.根据为圆的直径，则点关于原点对称，利用点在椭圆上，证明；
D.利用圆的几何性质，确定面积的最大值.
【详解】A.因为椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，所以椭圆，，，则，所以椭圆的离心率，故A正确；
B.点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B正确；
C.根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径,与椭圆交于两点，点关于原点对称，设，，，
，故C正确；
D.因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误.
故选：D
8．已知函数的定义域为R，且满足，对任意实数都有，若，则中的最大项为（    ）
A． B． C．和 D．和
【答案】D
【分析】方法一：由条件变形为，采用赋值法令可得，推出数列是首项为，公差为10的等差数列，求得，判断其单调性，即可求得答案.
【详解】方法一：由题意，
可得，
令，而，得，
即，即
即数列是首项为，公差为10的等差数列，
所以，则，
则，
当时，；当 时，；当时，，
所以中最大项为和，
故选：D.
方法二：
由，
得，
设，
则，故可设，由，
得，所以，则，
所以，因为，
所以当时，，；
当时，，；当时，，,
所以中的最大项为和，故选：D.
【点睛】关键点点睛：
方法一：构造等差数列，利用等差数列的通项公式以及数列的单调性判断，即可求出中的最大项；
方法二：熟悉相关二级结论，即可知晓抽象函数的原型，根据具体函数的性质以及数列的单调性判断求出．若，则对任意实数，有；若，则对任意实数，有；若（，），则对任意实数，有．

二、多选题
9．下列有关数列的说法正确的是（    ）
A．数列与数列是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的通项公式为
【答案】BCD
【分析】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误,
使,即可得出项数,判断选项B的正误,
根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误,
根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误.
【详解】对于选项A,数列与中数字的排列顺序不同,
不是同一个数列,
所以选项A不正确;
对于选项B,令,
解得或（舍去）,
所以选项B正确;
对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列,
第8个数为,即,
所以选项C正确;
对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为,
所以选项D正确.
故选:BCD
10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据数列的特征得到为，为周期为3的数列，从而得到，A正确；
根据数列的周期求和得到或，所以B错误.
利用斐波那契数列的特征得到，C正确；
根据提公因式和斐波那契数列的特征得到D正确.
【详解】根据斐波那契数列的特征可以看出：数列为依次连续两个奇数和一个偶数，
所以数列为，则数列为周期数列，且周期为3，
所以，所以A正确.
因为，且，所以或，所以B错误.
因为
，所以C正确.，
所以D正确.
故选：ACD
【点睛】斐波那契数列有以下性质：
（1）从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1，
（2）奇数项之和，偶数项之和，
（3）平方之和，
（4）两倍项关系，
（5）.
11．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则下列说法正确的是（    ）
A．四边形面积的最小值为4
B．线段的最小值为
C．当直线的方程为时，最小
D．若动直线，且交圆于、两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为
【答案】ABD
【分析】由切线性质，，，由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合四边形面积计算判断AB，当方程为时，由对称性求得，求出，然后再取一特殊值得出比此时的小可判断C，由弦长求出圆心到弦的距离的范围，从而设直线方程为后可求得的范围，从而可得横截距范围判断D．
【详解】圆的圆心，半径为，
可知，，，
，
当取最小值时，四边形面积取得最小值，
此时，
所以四边形面积的最小值为，故A正确；
又圆心到直线的距离，
所以当取得最小值时，，
可得，故最小值，故B正确；
当直线的方程为时，，，则，
所以直线与直线垂直，又是中点，，，
所以，则，
所以，
易得四边形是正方形，此时=，而当时，直角三角形中，，，故C错误；
设M到直线的距离为，因为，且，
所以，则，
设，所以，即，
解得，
所以直线的横截距的取值范围为，故D正确．
故选：ABD．
12．已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（    ）
A．若直线的斜率为，则
B．的最小值为
C．若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为
D．若点，则周长的最小值为
【答案】BCD
【分析】首先求出抛物线的解析式，设出的坐标，联立进行求解，当时，，进而判断选项A错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；过作垂直于准线，垂足为，结合的周长，进而判断选项D即可.
【详解】由题意得点在抛物线上，
所以，解得，所以，则，
设直线，与联立得，
设，，所以，，
所以，
当时，，A项错误；

，
则，
当且仅当，时等号成立，B项正确；
如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，

取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，
则，是梯形的中位线，
由抛物线的定义可得，
所以，
所以以为直径的圆与轴相切，
所以点为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，
又为的中点，所以点的纵坐标为，
又点在抛物线上，所以点的横坐标为，C项正确；
过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号，D项正确.
故选：BCD.

三、填空题
13．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围．
【详解】解：如图，

，，，
，，
则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，，
又直线倾斜角的范围是：，且
直线l的倾斜角的范围为．
故答案为：．
14．已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由求出数列的通项公式，根据通项公式可知，当时，数列递减，因此只需使即可.
【详解】①当时，，
②当时，，

∴当时，，数列递减，
综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，
解得，
故答案为：.
15．已知椭圆的两个焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，两点，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是______．
【答案】
【分析】首先根据题意，画出图像，利用向量变形得，，再结合内心的性质得到，然后利用余弦定理得,再结合焦点三角形的面积公式即可求解.
【详解】不妨设为下焦点，为上焦点，延长交于，如下图；

分别记，，，面积为，，，，
以，为基底表示，
又，，三点共线，，，
∴，
由内心的性质知，，
不妨令，，，由椭圆的第一定义，且，在中，余弦定理得，∴，∴，∴，
∴，．
故答案为：
16．如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为___________.

【答案】4
【分析】先由，判断出，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得焦距.
【详解】由题意得，，设，.连接，
由，，可知，，，在以为直径的圆上，且，
又原点为圆的弦的中点，
所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又，
所以，
因为，所以，
所以，
当时，则0，
若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾，
所以，所以，故圆的圆心坐标为，
所以圆的方程为，将代入可得，又，
所以，故椭圆的焦距为.
故答案为：4.

【点睛】关键点点睛：“，，”的化简､转化，由此得到，，，在以为直径的圆上以及该圆的方程.

四、解答题
17．半径为3的圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限．
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）通过圆心在直线上，且在第一象限设出圆心的坐标，再利用圆上的点到圆心的距离等于半径求出圆心，进而可得圆的方程.
（2）先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求切线方程.
【详解】（1）设圆心为，则，
解得，则圆的方程为.
故答案为：.
（2）点在圆外，
①切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为,满足条件.
②切线斜率存在时，设切线，即,
则圆心到切线的距离，解得，
则切线的方程为：.
故答案为：或.
18．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度；
(2)求顶点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；
（2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求解.
【详解】（1）椭圆的方程为，
椭圆的方程为，

分别为椭圆的左焦点和右焦点，
，
，线段的长度；
（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，
，
，
,
．
点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
设该双曲线方程为
且，

顶点的轨迹方程为
19．已知数列满足
(1)求an.
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围；
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）将当时，和两式作差即可求出结果，注意检验时是否成立；
（2）证得数列的单调性，从而结合不等式恒成立即可求出结果.
【详解】（1）当时，；当时，
又，
上述两式作差可得，即，不满足，所以；
（2）当时，，即，
所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.
①若为正奇数，则，，则，可得；
②若为正偶数，则，可得.
综上所述，.
20．如图，已知点，，是抛物线上的三个不同的点，且是以点为直角顶点的等腰直角三角形.

（Ⅰ）若直线的斜率为1，求顶点的坐标；
（Ⅱ）求的面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）设点，，的坐标，用点，，的坐标表示出点，，由即可求顶点的坐标；
（Ⅱ）设直线的斜率为，用表示出和，再表示出，再根据基本不等式即可求解.
【详解】解：（Ⅰ）设，，，
，同理，
由，，所以，
，
，
由，所以，所以，所以
（Ⅱ）设直线的斜率为，由（Ⅰ）知，则，，
直线的斜率为，，由，
所以，所以，
，
，
由和得，
，
当且仅当时取等号，故的面积的最小值为1.
【点睛】关键点点睛：本题的第二问，设直线的斜率为，表示出之后，再表示也比较容易，其关键在于使用和，两次基本不等式的使用增加了本题难度.
21．已知数列的前项和为，且满足，当时，.
(1)计算：，；
(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，
(3)

【分析】（1）利用特值法可得，；
（2）构造数列，即可得证，进而可得，再利用退一相减法可得数列的通项公式；
（3）由（2）得，利用裂项相消法，可得数列的前项和.
【详解】（1）令，得，又，所以；
令，得，又；
（2）因为当时，，
所以，
所以数列为等差数列，首项为，公差为，
所以，
所以，
于是，当时，
，
当时，，满足上式，
故；
（3）因为，则，
于是，
.
22．设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，圆的方程为，的取值范围是

【分析】（1）根据题意得到，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求出，从而求出，得到椭圆方程；
（2）先考虑直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到，由向量垂直得到向量数量积为0，代入两根之和，两根之积得到，得到或，从而得到原点到直线的距离，即圆的半径，得到圆的方程，验证直线的斜率不存在时，也满足要求，从而得到圆的方程为，再由弦长公式求出，换元后得到，结合求出的取值范围，考虑直线的斜率不存在时，的长，得到答案.
【详解】（1）由题意得：，
故，
双曲线渐的近线方程为，
故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为，
因为，解得：，
故，
所以椭圆方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设直线为，
联立与，得：
，
由得：，
设，
则，
因为，所以，
其中
，
整理得：，
将代入中，解得：，
又，解得：，综上：或，
原点到直线的距离为，
则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，
该圆的半径即为，故圆的方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，
与椭圆的两个交点为，或，，
此时，满足要求，
经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或，
综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且；
，
将代入上式，

令，则，
因为，则，
所以，
因为，所以，
故当时，取得最大值，最大值为，
又，
当直线的斜率不存在时，此时，
综上：的取值范围为.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．