2022-2023学年河北省邢台市第一中学高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省邢台市第一中学高二上学期1月期末考试数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ）.

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】将抛物线的方程化为标准方程，根据焦准距的意义，可得答案.

【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，

则其焦准距为，即焦点到准线的距离是，

故选：B

2．“”是“直线与圆相切”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由直线与圆相切，根据列方程求解的值，再利用充分必要条件判断.

【详解】已知圆的圆心为，半径为，

当直线与圆相切时，

，化简得，解得或，

所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.

故选：A

3．数列满足，则的值为（    ）

A． B．1 C．3 D．2

【答案】B

【分析】计算数列的前几项，归纳出数列的周期性，从而易得结论．

【详解】由已知，，，，，，，

因此数列是周期数列，周期是6，

所以．

故选：B．

4．抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（    ）

A．8 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据抛物线以及双曲线的标准方程，分别明确其准线以及左焦点的坐标，由题意，建立方程，可得答案.

【详解】由抛物线方程，可得其准线方程为，

由双曲线方程，则其左焦点坐标可表示为，

故，解得，则双曲线的虚轴长为.

故选：C.

5．已知数列的各项均为正数,点在拋物线上,则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件可得数列是以公差为的等差数列,过点的直线的方向向量与共线,根据向量共线定理即可求解.

【详解】因为点在拋物线上,

所以,即,

所以数列是以公差为的等差数列,

所以,

则过点的直线的方向向量为,

经检验，.

故选：D.

6．某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出方程，代入坐标即可求出曲线方程，进而可求离心率.

【详解】设曲线的方程为：，

代入点得：①，

代入点得：②，

联立①②解得：，，

所以曲线为双曲线，其方程为：，

离心率，

故选：D.

7．数列满足，对任意的都有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】运用累和法，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.

【详解】由，

当时，

，显然也适合，

所以，于是有

因此，

故选：C

8．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（    ）

A．直线与所成角的范围是

B．平面平面

C．三棱锥的体积为定值

D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

【答案】D

【分析】A在该空间几何体中建立空间直角坐标系,用向量法求出异面直线所成的角即可；B用面面垂直的判定证明平面平面；C用换底法得出体积为定值；D选项则直接观测即可判断.

【详解】

对于A，以D为原点，DA为轴，DC为轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系， D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，

设,，，

，

令，则，上式化为，

根据二次函数的性质知：，

直线D1P与AC所成的角为 ，故A正确;

对于B，正方体中，且面，

∴平面，平面，

∴平面平面，故B正确;

对于C，，P到平面的距离BC=1，

∴三棱锥的体积:为定值，故C正确;

对于D，为线段上的动点（不含端点），连接并延长，

若的延长线交于，如下图截面为四边形，

若的延长线交于，设交点为，如下图截面为，

设，则，，故，

故不为直角三角形，故D错误.

故选：D

二、多选题

9．已知两条直线，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，

B．若，则或

C．当时，与相交于点

D．直线过定点

【答案】ACD

【分析】根据直线的位置关系分别判断AB，列方程组求得方程组的解得直线交点坐标判断C，由直线方程观察得定点坐标判断D．

【详解】时，，，A正确；

，则，或，

其中时，方程为，即，方程为，两直线平行，

时，两直线方程均为，两直线重合，不平行，B错；

时，由得，即两直线交点为，C正确；

的方程为，恒过点，D正确．

故选：ACD．

10．已知递减的等差数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．最大 C． D．

【答案】ABD

【分析】根据项的正负可判断AB，利用前项和与通项的关系可判断CD.

【详解】因为，故，所以，

因为等差数列为递减数列，故公差，

所以，故AB正确；

又，，故C错误，D正确.

故选：ABD.

11．如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可.

【详解】因为，，

所以，，

所以故A错误；

因为，，，

所以，

所以，故B正确；

因为，

所以，故C错误；

因为，，

所以

因为，

所以，，

所以，

所以，故D正确.

故选：BD.

12．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ）

A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2

C．曲线关于直线对称的曲线方程为

D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

【答案】BCD

【分析】A，曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0）；

B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，即可判定；

C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程；

D，利用x2≥y2，比较直线y＝kx的斜率即可判定；

【详解】解：对于A，令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A错；

对于B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；

对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为（x2+y2）2＝4（y2﹣x2），故C正确；

对于D，据据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正确；

故选：BCD．

三、填空题

13．若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______．

【答案】

【分析】由两圆公共弦方程，将两圆方程相减得到，结合已知列方程组求、，即可得答案.

【详解】由题设，两圆方程相减可得：，即为公共弦，

∴，可得，

∴.

故答案为：.

14．设等比数列的前项和为，且满足①，②是递增数列，③.写出一个满足上述三个条件的的公比：__________.

【答案】2（答案不唯一，只要满足即可）

【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的单调性进行求解即可,

【详解】因为，是递增数列，所以．

由且，而，

所以．

故答案为：2（答案不唯一）

15．已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】将到抛物线的准线的距离转化为到抛物线焦点的距离，再根据三角形三边关系将的最小值表示为，最后根据圆外一点到圆上动点的距离转化为到圆心的距离减去半径求的最小值即可.

【详解】抛物线的焦点为，则，

圆的圆心为，半径为

所以.

故答案为：.

16．数列满足，且，其前项和为则__________.

【答案】（写成也给满分）

【分析】根据三角函数的性质，分奇偶两种情况整理递推公式，结合等差数列与等比数列的定义及求和公式，可得答案.

【详解】当为奇数时，，，则，

当为偶数时，，，则，

故对于数列，其中所有的奇数项可构成以为首先，以为公比的等比数列，

所有的偶数项可构成以为首相，以为公差的等差数列，

则该数列前项中所有的奇数项的和，

所有的偶数项的和，

则，

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列的前项的和为，成等差数列，且成等比数列

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项的和为，求证：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出的通项公式；

（2）将化简，利用裂项相消法求和，即可证明.

【详解】（1）设的公差为，由题意得，

即，解得，

所以.-

（2）证明：，

所以

18．已知圆过点，且圆关于直线对称的圆为

(1)求圆的圆心坐标和半径，并求出圆的方程；

(2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.

【答案】(1)圆的圆心为，半径为5，

(2)或

【分析】（1）代入点，求出，进而求出圆方程，可知圆的圆心坐标和半径，利用点关于直线对称求出圆的圆心坐标，可求出圆的方程；

（2）根据题意可求出圆心到直线的距离，分别求出直线的斜率存在和不存在两种情况的直线的方程即可.

【详解】（1）将代入方程得：，

，故圆方程为：，

即：，故圆的圆心为，半径为5.

设关于直线对称的点为，

则，解得：.

故圆的方程为.

（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为8，

故圆心到直线的距离为.

当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；

当直线的斜率存在时，其方程为，

即，

故圆心到直线的距离为，

依题意，解得：，

此时直线的方程为，即.

综上，直线直线的方程为或.

19．已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点是抛物线的焦点，分别为椭圆的左､右焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆上一点，.若成等差数列，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由离心率的定义以及椭圆中的关系，列出方程，即可得到结果；

（2）根据题意，可得，再由等差中项可得然后表示出的长，根据的范围即可得到的范围.

【详解】（1）抛物线的焦点为，故椭圆的下顶点是

由题设，，解得所以椭圆的方程为

（2）设为椭圆上一点，则有.

由，，成等差数列，得即

由，则.又在椭圆上，有，

故，

因为，所以当时，；当时，

，即，所以，所以实数的取值范围是

20．如图1，四边形为等腰梯形，，将沿折起，使得平面平面，得到图2的棱锥为的中点，连接.

(1)求证：

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据等腰梯形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）在图1中，过作于，易知，

，

，故.折起后图2中不变，

又平面平面，平面平面，

平面，而平面.

（2）取中点，连接，易得两两垂直，以所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则

∴，，

设为平面的一个法向量，则，

即，取，有.-

，-

∴直线与平面所成的角的正弦值为.

21．已知为正项数列的前项的乘积，且

(1)求数列的通项公式

(2)令，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用得的递推关系，取对数得常数数列，从而得通项公式；

（2）用错位相减法求和．

【详解】（1）由得：当时，，

两式相除得：，即，

两边取对数得：，亦即，故数列是常数列，

，，；

（2），，

，

，

两式相减得，

．

22．设双曲线的右焦点是椭圆的右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3.

(1)求双曲线的方程；

(2)为双曲线上一定点，为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

【答案】(1)；

(2)证明见解析，定点.

【分析】（1）根据双曲线焦点和椭圆顶点坐标公式，结合点到直线距离公式、双曲线渐近线方程进行求解即可；

（2）根据直线的斜率是否存在，结合一元二次方程根与系数关系、直线斜率公式分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）椭圆的右顶点为，

故双曲线的右焦点为，

双曲线的渐近线为，

依题意解得：，故双曲线的方程为；

（2）①当直线的斜率不存在时，则可设，

代入，得，则，

即，解得或，当时，过点，不合题意；

当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，不合题意.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，

整理得，，设，

则，

由，

所以，，即，

整理得即，

所以或，

若，则，直线化为，

即，过定点；

若，则，直线化为，

即，它过点，舍去.

综上，直线恒过定点

【点睛】关键点点睛：根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解是解题的关键.