2022-2023学年广西壮族自治区河池市八校高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西壮族自治区河池市八校高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，，若，则实数m的值为（    ）

A．－2 B．2 C．3 D．－3

【答案】A

【分析】利用向量平行列方程组即可求得实数m的值

【详解】∵，∴

∴，解之得，，

故选：A

2．已知直线，则直线的倾斜角的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系列出不等式组，解之即可求得直线的倾斜角的范围

【详解】设直线的倾斜角为，则，

由，得或，

故选：B.

3．直线与直线的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．不确定 D．重合

【答案】C

【分析】根据直线方程判断直线的位置关系，注意讨论参数的数量关系.

【详解】当时，两直线重合，

当时，两直线平行，

所以题设两直线位置可能重合、平行.

故选：C.

4．已知向量，，，若是平面ABC的法向量，则mk的值是（    ）

A．3 B．2 C．6 D．4

【答案】A

【分析】根据向量垂直的坐标表示结合条件即得.

【详解】由题可得，，

又为平面ABC的法向量，

∴，解得，

，解得，

∴.

故选：A.

5．过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程

【详解】当截距时，设直线方程为，

将，代入得，∴方程为

当截距时，过原点和点的直线方程为

又且在两坐标轴上的截距相等，

∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和

故选：D.

6．已知向量，，且则（    ）

A．－3 B．－2 C．－1 D．－4

【答案】B

【分析】根据向量的模的运算列方程，化简求得的值.

【详解】∵，

由已知得，解得或，

∵，∴.

故选：B

7．已知圆C：，直线l：，则圆C上到直线l的距离等于1的点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式及圆的性质即得.

【详解】由题可知圆C的圆心为，半径为3，

圆C到直线距离为，圆C的半径为3，

故圆C上到直线l的距离等于1的点有3个.

故选；C.

8．已知圆A：与圆B：，则两圆的公切线的条数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】先判断两圆位置关系，进而可判断两圆的公切线的条数

【详解】∵圆A：圆心，半径为1，

圆B：圆心，半径为4，

，

∴两圆外切，故两圆的公切线有3条.

故选：D.

二、多选题

9．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．直线l的斜率可以为0 B．直线过点

C．直线在两坐标轴上的截距有可能相等 D．直线的斜率有可能不存在

【答案】CD

【分析】根据直线的斜率、定点、截距等知识进行分析，从而确定正确答案.

【详解】当时，直线的斜率不存在；

当时，直线的斜率，∴A错，D对，

∵，∴直线l不过点，∴B错，

当时，直线l在x轴，y轴上的截距分别为，，

令得，∴C对.

故选：CD

10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ）

A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则

B．若非零向量，，满足，，则

C．若向量，，是空间一组基底，则，，也是一组基底

D．若，，是空间向量的一组基底，，则A，B，C，D四点共面

【答案】ACD

【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A，∵，与任何向量都不构成空间向量的基底，

∴，只能为共线向量

∴，A对；

对于B，取，，，显然满足，，但与不平行，B不对；

对于C：∵，，为一组基底，∴对于空间任意向量，存在实数m，n，t，

使，

∴，，也是一组基底，C对；

对于D：∵，

∴，

即：，

∴A，B，C，D四点共面，

∴D对.

故选：ACD

11．已知圆M：与圆N：的交点为A，B，则（    ）

A．直线AB的方程为

B．线段AB的中垂线方程为

C．在过A，B的所有圆中，圆 M的半径最小

D．线段AB的长度为

【答案】AC

【分析】求得直线AB的方程判断选项A；求得线段AB的中垂线方程判断选项B；求得以线段AB为直径的圆判断选项C；求得线段AB的长度判断选项D.

【详解】圆M的方程为：，圆心M，半径

圆N的方程为：圆心N，半径

∵两圆相交于A，B，联立上述两方程得，

圆心在直线上，则直线与圆M相交

则直线AB的方程为：，选项A判断正确；

∵线段AB的中垂线过N点，又，与直线AB垂直的直线斜率为1

∴AB的中垂线方程为，即，则选项B判断错误；

∵满足，∴M在公共弦AB上，

∴AB的长为圆M的直径，即，∴选项D不对，选项C对.

故选：AC.

12．已知圆和点，，若C上存在点P，使得，则m的可能值是（    ）

A．4 B．7 C．2 D．8

【答案】AB

【分析】由圆的方程可得圆上的点到点的距离的范围，结合条件可得，从而得到的取值范围，即得.

【详解】由圆，可知圆心，半径为2，

所以圆心C到原点O的距离为5，

∴圆C上的点P到原点O的距离满足，

因为圆上存在点，使得，

所以，即，选项A，B正确，

故选：AB.

三、填空题

13．已知直线l的方向向量，平面M的法向量分别为，，则l与M的位置关系是______.

【答案】，或

【分析】利用向量的方法即可判断l与M的位置关系

【详解】∵，

∴，或.

故答案为：，或

14．已知m为实数，方程表示圆，则实数m的值为______.

【答案】

【分析】先依据题给条件列出关于实数m的方程，解之即可求得实数m的值

【详解】∵表示圆，

∴，∴，，

当时，原方程化为

即：，符合题意，

当时，原方程化为

即：，不是圆的方程，∴不合题意，

故答案为：

15．已知空间三点，，，则三角形ABC的面积为______.

【答案】##

【分析】先求得角A的正弦值，再利用三角形面积公式即可求得三角形ABC的面积

【详解】∵，，，

∴，，

∴，

又，∴，

∴.

故答案为：

16．过点作圆C：的两条切线，设切点分别为A，B，则直线AB的方程为______.

【答案】

【分析】求出以MC为直径的圆的方程，可得AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，两圆方程相减可得答案.

【详解】可化为：，

∴圆心为，半径为，

∴MC的中点为，，

以MC为直径的圆的方程为：，

即

∵，，

∴M，A，C，B四点共圆，

∴AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，

两圆方程相减得直线AB的方程为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知正四面体O-ABC中，E，F分别为AB，OC的中点，.

(1)证明：EF是异面直线AB，OC的公垂线；

(2)求线段EF的长度，（用向量知识求解）.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用向量数量积为0去证明直线垂直，进而证得EF是异面直线AB，OC的公垂线；

（2）利用向量数量积即可求得线段EF的长度.

【详解】（1）设，，，则，

则，

∴，，

∵，∴，

∵

，∴，

∴EF为AB，OC的公垂线.

（2）

.

则线段EF的长度为.

18．已知直线l：.

(1)求直线m：关于直线l对称的直线方程；

(2)求圆C：关于直线l对称的圆的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用相关点法即可求得直线m关于直线l对称的直线方程；

（2）先求得圆C关于直线l对称圆的圆心坐标，进而求得该圆方程.

【详解】（1）设为所求直线上的任一点，P关于直线l的对称点为

则，解得

∵Q在直线m上，∴，即

故直线m关于l的对称直线的方程为.

（2）设圆心关于直线l的对称点为，则M为所求圆的圆心

由，解得，∴

所以所求圆的方程为

19．如图2，P-ABCD为四棱锥.

(1)若，求证：，

(2)若P-ABCD为正四棱锥，且，求底面中心O到面PCD的距离.（要求用向量知识求解）

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求得；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求底面中心O到面PCD的距离.

【详解】（1）∵A，B，C，D共面，

∴存在实数，满足

∴

∵，∴，，，

∴

（2）∵O为正四棱锥P-ABCD的底面中心，∴O为AB，CD的交点，

以O为原点，分别以OB，OC，OP为x，y，z轴建立坐标系如图，

则，，

设OG⊥平面PCD，垂足为G，则

∵，，

∴，同理由得

∴，

又C、D、P、G四点共面，，则，

∴

∴，

所以底面中心到面PCD的距离为.

20．已知直线l：，圆C：.

(1)求证不论m取何值，直线l与圆C恒相交；

(2)若直线l被圆C截得的弦长为8，求l的方程.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由题可得直线恒过定点，然后根据点与圆的位置关系即得；

（2）根据弦长公式及点直线的距离公式可得，进而即得.

【详解】（1）直线l的方程可化为，

所以 l 过定点，

由圆C：，可知圆心，半径为，

∵，

∴点A在圆内，

∴不论m取何值，直线l与圆C恒相交；

（2）∵l被圆截得的弦长为8，

∴圆心C到直线l的距离，

∴，解得，

代入l方程中化简得，

故所求直线l的方程为.

21．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，面ABCD，，，点M在棱SC上，.

(1)证明：M为SC的中点；

(2)求二面角S-AM-B的余弦值，（要求用向量知识求解）

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法表达，进而求得M为SC的中点；

（2）利用向量的夹角公式即可求得二面角S-AM-B的余弦值

【详解】（1）以D为坐标原点，DA，DC，DS分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

设，则，

设，

则，解之得，则，

则，又∵，，

∴，

即，解得，

∴M为SC的中点

（2）由（1）得，，

设AM的中点为G，则，

，

∴，则，

，

∴的大小等于二面角S-AM-B的大小，

则二面角S-AM-B的余弦值为

22．已知圆C经过点，，且圆心在直线上，

(1)求圆C的方程；

(2)若过点的直线l交圆C于E，F两点，问是否存在以EF为直径且过点的圆，若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，和

【分析】（1）先求得圆C的圆心坐标，进而求得圆C的方程；

（2）过点的直线l分为两种情况去讨论，利用设而不求的方法即可求得符合题意的圆的方程.

【详解】（1）∵点A，B关于x轴对称，∴圆心在AB的中垂线上，

又圆心在上，∴圆心C的坐标为

∴圆C的半径，

∴C的方程为：

（2）当直线l不垂直于y轴时，设直线l的方程为：，

代入中化简得，，

由得或

设，，则，

∴

若存在以EF为直径的圆过定点，则，

又

∴，即，

则，

解得，符合要求，

∴，，，，

以EF为直径的圆的方程为：，

整理得，

即：，

亦即：，

又当直线l为时，E，F分别为和，

显然EF为直径的圆过点，

故存在以EF为直径且过定点的圆，

其方程为和.