2022-2023学年福建省南安市侨光中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省南安市侨光中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据图象得倾斜角范围以及大小关系，再根据斜率与倾斜角关系确定斜率大小.

【详解】令直线，，的倾斜角分别为，，，

由图像可得，

所以，即．

所以

故选：A.

2．下列方程表示圆的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合圆的标准方程，由定义判断即可.

【详解】圆的标准方程为，其中圆心为，半径为.

对A，不符合，A错；

对B，化为，不符合，B错；

对C，化为，符合，C对；

对D，化为，不符合，也不满足平方项中间是+号，D错.

故选：C

3．已知，，，若三向量共面，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共面可设，由向量坐标运算可构造方程组求得结果.

【详解】共面，可设，即，解得：.

故选：C.

4．若直线和直线互相垂直，则（    ）

A． B．1 C．或 D．或1

【答案】D

【分析】考虑直线的斜率是否存在分类讨论，再根据两直线垂直时斜率的关系求解.

【详解】设 ，

当 时， ，显然 ；

当 时， ， ，解得 ；

故选：D.

5．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据所给的点的坐标,又知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变,纵标和竖标改变,写出点的坐标.

【详解】点,

一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变,纵标和竖标改变,

点关于x轴对称的点的坐标为

故选：A .

6．已知圆和圆，则这两个圆的公切线的条数为（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意, 由圆的方程分析两圆的圆心与半径, 进而分析两圆的位置关系, 据此分析可得答案.

【详解】根据题意, 圆 :, 即,

其圆心为 , 半径 ,

圆 , 其圆心为 , 半径 ,

圆心距：,

又由 , 两圆相交, 则这两个圆的公切线的条数为 2 ;

故选: D.

7．已知椭圆，其两焦点分别为，左右顶点分别为，点（异于）在椭圆上，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．直线过交椭圆于两点，则的周长为4

C．

D．

【答案】D

【分析】根据椭圆的方程知道，可判断A，由椭圆的定义可判断B，设出点坐标，代入椭圆方程得坐标关系，化简可判断C,D.

【详解】椭圆：，，所以长轴长为，A错误.

直线过交椭圆于两点，则的周长为，B错误.

由题意可知，，设且满足 ，

即.

所以，所以D正确，C错误.

故选：D.

8．直线与圆公共点的个数（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个或个或个

【答案】C

【分析】根据直线方程可确定其恒过定点，由点与圆位置关系的判断可知点在圆内，由此可得直线与圆的位置关系，即公共点个数.

【详解】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，

，点在圆内，

直线与圆相交，必有个公共点.

故选：C.

9．已知椭圆，斜率为的直线与椭圆相交于两点，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设代入椭圆方程，两式相减，根据斜率及中点坐标化简即得解.

【详解】设

所以，两式相减得，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以.

故选：B

10．在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，设，，，则，根据线面关系求得关系，即可求得线段长度的最小值.

【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，

所以，

设平面的法向量，

则，取，得，

设，，，则，

因为平行于平面，

所以，整理得，

线段长度，

当且仅当时，线段长度取最小值．

故选：B．

11．在直三棱柱中，，，，，，分别是，， 的中点，则下面说法中正确的有（    ）

A．平面

B．

C．直线与平面所成角的余弦值为

D．点到平面的距离为

【答案】A

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，由向量法即可证线面平行、线线垂直；求线面角、点面距离.

【详解】直三棱柱中，，故可建立如图所示空间直角坐标系，

则有，

.

对A，平面的其中一个法向量为，由，平面，故平面，A错；

对B，由得BD与EF不垂直，B错；

对C，平面的其中一个法向量为，则 ，

则直线与平面所成角的余弦值为，C错；

对D，，设平面的法向量为，则有，令得，

故到平面的距离为，D错.

故选：A

二、多选题

12．已知直线，，则下列命题正确的有（    ）

A．直线在轴上的截距为 B．直线的倾斜角为

C．直线的倾斜角不可能为 D．若直线与直线平行，则两平行线间的距离是

【答案】ACD

【分析】将写成斜截式，可判断选项AB，由的形式可知斜率一定存在，如果直线与直线平行，先求出，再根据平行线间距离公式可判断.

【详解】将写成斜截式，可得截距为，斜率为，倾斜角为，

的斜率一定存在，所以倾斜角不可能为，

故答案为：ACD

13．若方程所表示的曲线为椭圆，则下列命题正确的是（  ）

A．该椭圆焦距为 B．表示焦点在轴上的椭圆

C．离心率为时，的取值为或 D．焦距为

【答案】BCD

【解析】根据焦点在轴和轴两种情况分别讨论即可得答案.

【详解】解：由题意知，解得且，

若，则方程表示焦点在轴上的椭圆，

此时，，

所以，，；

所以，解得，

若，则方程表示焦点在轴上的椭圆，

此时，，

所以，，，

所以，解得，

综上，BCD选项正确，A选项错误.

故选：BCD

【点睛】本题解题的关键在于根据题意，分焦点在轴和轴两种情况分别讨论，考查分类讨论思想和运算求解能力，是中档题.

14．已知是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，为切点，则（    ）

A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为

C．存在点，使得 D．弦长的最小值为

【答案】ABD

【分析】根据圆的方程可确定圆心和半径，利用切线长可确定当为圆心到直线距离时，切线长最小，知A正确；利用可知当最小时，四边形面积最小，知B正确；由可求得，由可知C错误；利用余弦定理可知，结合角的范围可确定，知D正确.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径；

对于A，，

当垂直于直线时，取得最小值，

，，A正确；

对于B，，

当取得最小值时，四边形面积取得最小值，B正确；

对于C，，，又，

，又，，

不存在点，使得，C错误；

对于D，由余弦定理得：，

由C知：，的最小值为，

，则，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

15．已知平面的一个法向量，点，在平面内，则_________.

【答案】10

【分析】法向量和平面内任意向量垂直，数量积为0计算可得.

【详解】

故答案为：10

16．已知，且，则的最大值为__________.

【答案】10

【分析】由数形结合结合定点到圆上点最大值即可求.

【详解】为圆心为，半径的圆，

可看作到原点距离的平方，

故.

故答案为：10.

17．已知，O为坐标原点，点分别在线段上，则周长的最小值为___________.

【答案】

【分析】作P关于直线AB对称点和P关于y轴对称点，利用两点之间直线距离最短求解.

【详解】如图：

作点P关于直线AB对称点 和关于y轴对称点 ，则 ，并且 的中点在AB上，

直线AB的方程为： ，即…① ，

的中点坐标为 ，代入直线AB的方程得： …②，

联立①②解得 ，即 ，显然 ，

的周长 ，

，

故答案为： .

18．设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点．若，轴，则________．

【答案】

【分析】首先求得点坐标，由可构造方程求得点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆的关系可求得结果.

【详解】，轴，，不妨令，

，，

设，则，

，即，，，即，

，即，解得：.

故答案为：.

四、解答题

19．已知直线经过点.

(1)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程；

(2)设直线与坐标轴交于两点，且为的中点，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出直线的斜率，再结合直线经过点，即可求解；

（2）根据已知条件，先求出点，，再结合直线的截距式方程，即可求解．

【详解】（1）解：当原点到直线的距离最大时，

则当直线与直线垂直时，原点到直线的距离最大，

，，

，

，

直线经过点，

，即，

故直线的方程为．

（2）解：直线与坐标轴交于，两点，且为的中点，

不妨设，，

故直线的方程为，即．

20．如图所示，已知平行六面体中，，，，为的中点.

(1)求长度；

(2)求异面直线与所成的角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得的长；

（2）根据向量线性运算和数量积运算可求得，由此可得结果.

【详解】（1）；

，，，

，

，即的长为.

（2），

，即与所成角为.

21．在平面直角坐标系中，的顶点分别为.

（1）求外接圆的方程；

（2）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）先设圆的方程为，根据圆过，，三点，列出方程组，即可求出结果；

（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况，分别用代数法联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，即可得出结果.

【详解】（1）设圆的方程为，

因为圆过三点，

所以有，解得，，

∴外接圆的方程为，

即.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

联立，

得或，此时弦长为，满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由于圆心到该直线的距离为，

故，解得，

∴直线的方程为，即.

综上可得，直线的方程为或.

【点睛】本题主要考查求圆的方程，以及已知弦长求直线方程的问题，通常需要联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，属于常考题型.

22．如图，在四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，

(1)求二面角的余弦值；

(2)在PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；点E为PB的中点

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值.

（2）利用向量法，由判断出点的位置.

【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

设平面的法向量为，

则，故可设.

平面的法向量为，

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

所以.

（2）,，，

设，

，

，

若平面，则，

即，

所以存在是的中点，使平面.

23．已知椭圆的左､右焦点分别为和，且，，，，四点中恰有三点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知，设过点的直线与椭圆C交于两点，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先判断 不在椭圆上，再联立方程求出a，b；

（2）设直线l的方程，运用已知条件求出l的斜率，再运用弦长公式求解.

【详解】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点，

将 代入椭圆C的方程得 ，由，知C不经过，所以点在C上；

所以解得，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）显然直线l的斜率k存在，且k≠0.设l的方程为 ，

由 消去y并整理得 …①，

由 ，得 ，

设、，MN中点为，得

，

由|BM| = |BN|，知BP⊥MN， ，即 ，

化简得 ，满足 ， ，

代入①得 ， ，

由弦长公式得 .