2021-2022学年湖北省黄石市阳新高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省黄石市阳新高级中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．数列，，，，……的一个通项公式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合数列前项的规律，归纳可得通项公式是．

【详解】解：由已知数列，，，，…，

∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负，

故可用或来表示各项的符号，

除了正负号以外的部分该数列的分子均为，分母为的次幂

故数列，，，，……的一个通项公式是．

故选：C．

2．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】根据抛物线中p的几何意义可求解．

【详解】解：抛物线的焦点到准线的距离是，

故选：D．

3．等差数列中，，则（    ）

A．10 B．14 C．15 D．30

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式即可得出的值．

【详解】解：设等差数列的公差为，

∵，

∴，解得，．

∴

则．

故选：B．

4．若数列的前n项和，则的通项公式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，解得，当时，，得数列的递推公式，根据等比数列的定义，通项公式，即可得到所求．

【详解】令，则，解得，

当时，，

则，即，，

所以数列是以3为首项，-2为公比的等比数列，

所以．

故选：B．

5．若直线与直线互相垂直，那么的值等于

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.

【详解】因为直线与直线互相垂直，

所以，

故选：D.

【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

6．在△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）

A．11π B．12π C．13π D．14π

【答案】B

【详解】试题分析：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．

解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：

两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，

∵BC=4，∠ABC=120°，

∴CO=2，

∴几何体的体积V==12π，

故选B

【解析】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

7．两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前项和公式，把转化为求解即可．

【详解】解：由等差数列的性质可得，．

故选：C．

8．已知F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点.O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴.过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】设，，，，则直线，直线，据两条直线的交点为点，建立等量关系，求双曲线的离心率.

【详解】如图，设，，，,

则直线，直线．

直线，的交点

，则，

双曲线的离心率为.

故选：C

【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化思想，属于重点题型.

二、多选题

9．已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

【答案】AC

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断即可.

【详解】解：是互不重合的直线，是互不重合的平面，

对于A，若，，，则由线面平行的性质得，故A正确；

对于B，若，，则或，故B错误；

对于C，若，，，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得，故C正确；

对于D，若，，，则或，故D错误．

故选：AC．

10．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，则下列结论正确的是（    ）

A．d＜0 B．a9＝0 C．S11＞S7 D．S8、S9均为Sn的最大值

【答案】ABD

【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，各个选项验证可得答案．

【详解】解：∵S7＜S8，∴a8>0,

∵S8＝S9，∴a9＝0,

则a9-a8＝d＜0，

故选项A，B正确；

S11－S7＝

＝11a1＋55d－7a1－21d＝4a1+34d＜0，

∵a9＝a1+8d＝0，∴a1＝－8d

∴4a1+34d＝－32d+34d＝2d＜0

∴S11＜S7，故C错误．

易知数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故选项D正确；

故选：ABD.

11．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（    ）.

A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点

C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等

【答案】CD

【分析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.

【详解】双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；

双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；

双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确；

双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.

故选：CD．

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.

12．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，下列结论正确的是（    ）

A．S2019＜S2020

B．a2019a2021﹣1＜0

C．T2020是数列{Tn}中的最大值

D．数列{Tn}无最大值

【答案】AB

【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，分析可得q＞0，可得数列{an}各项均为正值，又由＜0可得或，由等比数列的性质分析可得q的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.

【详解】根据题意，等比数列{an}的公比为q，若a2019a2020＞1，则（a1q2018）（a1q2019）＝（a1）2（q4037）＞1，

又由a1＞1，必有q＞0，则数列{an}各项均为正值，

又由＜0，即（a2019﹣1）（a2020﹣1）＜0，则有或，

又由a1＞1，必有0＜q＜1，则有，

对于A，有S2020﹣S2019＝a2020＞0，即S2019＜S2020，则A正确；

对于B，有a2020＜1，则a2019a2021＝（a2020）2＜1，则B正确；

对于C，，则T2019是数列{Tn}中的最大值，C错误，同理D错误；

故选：AB

三、填空题

13．已知在数列中，，，则等于____________．

【答案】

【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．

【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，

则，故，所以．

故答案为：．

14．经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为____________．

【答案】

【分析】由圆得到圆心，利用斜率计算公式可得，由于点为弦的中点，利用垂径定理及其推论可得．再利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得，再利用点斜式即可得出直线的方程．

【详解】解：由圆得到圆心，，

点为弦的中点，，则．

弦所在直线方程为，化为．

故答案为：．

15．已知、是椭圆在左、右焦点，是椭圆上一点，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率等于__________．

【答案】或

【分析】依题意分为直角顶点与或为直角两种情况讨论，当为直角顶点，由对称性可得在上（下）顶点处，即可得到，从而求出离心率，若为直角，则，代入椭圆方程，求出的值，再根据，即可得到方程，最后转化为关于的方程，解得即可.

【详解】解：由是等腰直角三角形，

若为直角顶点，根据对称性可得在上（下）顶点处，所以，

即为，即有．则．

若或为直角，不妨令为直角，此时，代入椭圆方程，得．

又为等腰直角三角形，所以，

故得，即，即．解得，

又，得．

故椭圆离心率为或．

故答案为：或

16．已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为____________．

【答案】##0.5

【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，由此求出底面圆的半径．

【详解】解：把圆锥的侧面展开形成一个扇形，

则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，

如图所示，由，得，

所以；

设底面圆的半径为，则，

解得，

即底面圆的半径为．

故答案为：．

四、解答题

17．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点P为DD1的中点．

(1)求证：直线BD1平面PAC；

(2)求证：直线PB1平面PAC．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到结论．

（2）利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理的逆定理得到线线垂直，进一步利用线面垂直的判定得到结论．

【详解】（1）

长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为DD1的中点，

连接AC和BD，相交于点O，连接OP，则O为BD的中点，

所以OPBD1，

BD1平面PAC，OP平面PAC，

所以直线BD1平面PAC．

（2）连接OB1，由于四边形ABCD是正方形，所以ACBD，

BB1平面ABCD，平面ABCD，所以，

平面，平面，，

所以AC平面BB1D1D，因为PB1平面BB1D1D，

则ACPB1，

长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，

则，，，

则，所以PB1OP，

平面，平面，，

直线PB1平面PAC．

18．为数列的前项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据前项和，由，作差即可求解的通项公式；

（2）根据裂项求和法即可求解．

【详解】（1）解：①当时，，

又，∴，

②当时，由，可得

两式相减得：，整理得，

∵，∴，

∴是以首项为4，公差为3的一个等差数列，

∴；

（2）解：由（1）可得，

数列的前项和：．

19．设P是抛物线y2＝8x上一个动点，F是该抛物线的焦点．

(1)求点P到定点A（－2，2）的距离与到直线X＝－2的距离之和的最小值；

(2)若B（3，2），求|PB|＋|PF|的最小值．

【答案】(1)

(2)5

【分析】(1)得出抛物线的焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义，将问题转化为：求P到点A（－2，2）的距离与点P到F（2，0）的距离之和最小值．

(2)过B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，可得|P1Q|＝|P1F|，利用|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|，即可得出结论．

【详解】（1）由y2＝8x，得F（2，0），准线是x＝－2，

则点P到直线x＝－2的距离d等于点P到焦点F的距离．

故d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|，

．

故最小值为.

（2）过B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，

如图此时|P1Q|＝|P1F|，

则|PB|＋|PF|=|PB|＋|PQ|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|=5，故最小值为5．

20．已知等差数列{an}满足：，，a1＋2，a2＋2，a3＋5成等比数列，an＋3log2bn＝－2．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn．

【答案】(1)an＝3n－2，n∈N*；，n∈N*

(2)，n∈N*

【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得d＞0，运用等差数列的通项公式，和等比数列的中项的性质，解方程可得d，进而得到数列{an}的通项公式，再由对数的运算可得{bn}的通项公式；

(2)求出，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，

由a1＝1，an＋1＞an（n∈N*），可得：

d＞0，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，

由a1＋2，a2＋2，a3＋5成等比数列，可得：

（a2＋2）2＝（a1＋2）（a3＋5），即为（d＋3）2＝3（6＋2d），

解得d＝3，

则an＝a1＋（n－1）d＝1＋3（n－1）＝3n－2，n∈N*，

又an＋3log2bn＝－2，∴log2bn＝－n，

可得，n∈N*；

（2），

则前n项和，

，

两式相减可得

，

∴．

21．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，棱AA1⊥底面A1B1C1，AB＝AC＝AA1，∠ABC＝30°，M，N，D分别是A1B1，A1C1，BC的中点．

(1)求证：MN⊥AD；

(2)求为二面角M－AD－N的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取B1C1的中点D1，连接DD1，A1D1，可得，再由三角形中位线定理可得，则，由底面A1B1C1，得，再由线面垂直的判定可得平面A1ADD1，则；

（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为O－xyz（点O与点A重合），求出所用点的坐标，进一步求出平面ADM与平面ADN的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角M－AD－N的余弦值．

【详解】（1）证明：如图，取B1C1的中点D1，

连接DD1，A1D1，

在三棱柱ABC－A1B1C1中，由AB＝AC，得A1B1＝A1C1，∴，

∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，∴，得，

∵底面A1B1C1，平面A1B1C1，∴，

又∵，且平面A1ADD1，平面A1ADD1，

∴平面A1ADD1，

∵平面A1ADD1，

∴；

（2）解：设AA1＝2，作，

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为O－xyz（点O与点A重合），

则A（0，0，0），A1（0，0，2），

由题意，D为BC的中点，AB＝AC＝AA1，，

∴，，，，，

由M，N分别是A1B1，A1C1的中点，得，，

∴，，，

设平面ADM的一个法向量为，∴，，

则，

取，则y＝0，x＝4，

于是．

同理可得平面ADN的一个法向量为．

设二面角M－AD－N的平面角为，

由题意知，为锐角，

∴，

因此，二面角M－AD－N的余弦值为．

22．已知椭圆（）的离心率，椭圆过点

（1）求椭圆的方程；

（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.

【答案】(1) ;(2)2.

【详解】试题分析: （1）根据椭圆的离心率和椭圆过点即可求出，则椭圆的方程可求；

（2）设直线 方程 把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为 的底，由点线距离公式求出的高，然后用基本不等式求最值．

试题解析：

（1）∵∴

∵椭圆过点∴

（2）