【备考2023中考】2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积综合二

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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积综合
1．如图①，抛物线y＝a（x2+2x﹣3）（a≠0）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）直接写出点B的坐标是（　 　，　 　），并求抛物线的解析式；
（2）设点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴是直线l，如图②，连接BD，线段OC上的点E关于直线l的对称点E′恰好在线段BD上，求点E的坐标．
（3）若点F为抛物线第二象限图象上的一个动点，如图③连接BF，CF，当△BCF的面积是△ABC面积的一半时，求此时点F的坐标．

2．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（1，0），B（0，﹣3）两点．
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG＝2DQ，求点F的坐标．

4．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（4，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线在x轴上方的部分有一动点Q，当△QAB的面积等于12时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA＝6，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

6．抛物线与x轴交于A，B两点，（点B在点A的左侧）且A，B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y轴交于点C（0，﹣4），连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）位于第四象限内的抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大？若存在，求出N点的坐标，及△BCN面积的最大值；若不存在，请说明理由．


7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD＝S△BCD，求点P的坐标．




9．如图1，已知抛物线y＝﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由．

10．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

12．已知二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线顶点D的坐标以及直线AC的解析式．
（2）点P是抛物线上一点，且点P在直线AC下方，点E在抛物线对称轴上，当△BCE的周长最小时，求△PCE面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P且平行于AC的直线分别交x轴于点M，交y轴于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得Q、M、N三点所构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线顶点为Q，抛物线对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上一动点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，若在x轴上存在动点M，在y轴上存在动点N，连接点PM，PN，求PM+MN+NP周长的最小值；
（3）连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为H．在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N点，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，当m为何值时，△BNC的面积最大．

16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴相交于点C，顶点D（1，﹣）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若（1）中的抛物线只进行上下平移或者左右平移，使平移后的抛物线与坐标轴仅有两个交点，请直接写出平移后的抛物线的关系式．



17．将y＝x2的图象平移至如图所示的位置，这时它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中OA：OB＝4：1，∠OAC＝45°．

①求这个图象对应的函数解析式．
②M为抛物线的顶点，如图（1），求△MCA的面积．
③将△OAC绕点A逆时针旋转45°，O、C分别到达O′、C′，求△AO′C′在抛物线对称轴上截得的线段EF的长．
18．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣32a（a＜0），交x轴于B、C两点，交y轴于点A，△ABC的面积是8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一点，PE⊥AB，E是垂足，设P点的横坐标是t，PE＝d，求d与t之间的函数关系式；
（3）（2）的条件下，Q是AC上方抛物线上一点，连接PQ，若∠APE＝∠APQ，PE＝BE，求点Q的坐标．


19．如图，二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与y轴交于点C，直线CD平行于x轴，交抛物线于点D，CD＝OC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t，连接PC、PD，设△PCD的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，延长DP交x轴于点M，点N在C点上方的y轴上，连接DN，使∠DNC﹣∠DMA＝45°，若BM＝2CN，求△PCD的面积．

20．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为直线x＝﹣1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．
（1）求抛物线的解析式：
（2）求四边形PBAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）将抛物线y＝ax2+bx﹣3向上平移m（m＞0）个单位长度得到新的抛物线，新的抛物线与直线BC有两个交点．求m的取值范围．



参考答案：
1．【解答】解：（1）当y＝0时，a（x2+2x﹣3）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则B（﹣3，0），A（1，0），
当x＝0时，y＝﹣3a，则C（0，﹣3a），
∵OB＝OC，
∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
故答案为﹣3，0；
（2）如图②，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D（﹣1，4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣3，0）、（﹣1，4）代入得，解得，
∴直线BD的解析式为y＝2x+6，
设E（0，t），
∵E′点与点E关于直线x＝﹣1对称，
∴E′（﹣2，t），
把E′（﹣2，t）代入y＝2x+6得t＝﹣4+6＝2，
∴点E的坐标为（0，2）；
（3）易得直线BC的解析式为y＝x+3，
作FG∥y轴交直线BC于G，如图③，
设F（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），则G（x，x+3），
∴FG＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S△FBC＝•3•（﹣x2﹣3x），
∵△BCF的面积是△ABC面积的一半，
∴•3•（﹣x2﹣3x）＝••4•3，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴F点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．

2．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（1，0），B（0，﹣3）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
即y＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，1）；

（2）由（1）可得，C（2，0），
又∵A（1，0），B（0，﹣3），
∴OC＝2，OA＝1，OB＝3，
∴AC＝1，
∴△ABC的面积＝AC×OB＝×1×3＝．

（3）存在，P点有2个，坐标为P1（2，3），P2（2，﹣3）．
如图，当四边形OBCP1是平行四边形时，CP1＝OB＝3，而OC＝2，
故P1（2，3）；

当四边形OBP2C是平行四边形时，CP2＝OB＝3，而OC＝2，
故P2（2，﹣3）．
3．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则A（﹣3，0），B（1，0）；
当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则C（0，3）；

（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设M（x，0），则点P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），
∵点P与点Q关于直线＝﹣1对称，
∴点Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），
∴PQ＝﹣2﹣x﹣x＝﹣2﹣2x，
∴矩形PMNQ的周长＝2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）＝﹣2x2﹣8x+2＝﹣2（x+2）2+10，
当x＝﹣2时，矩形PMNQ的周长最大，此时M（﹣2，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
当x＝﹣2时，y＝x+3＝1，
∴E（﹣2，1），
∴△AEM的面积＝×（﹣2+3）×1＝；

（3）当x＝﹣2时，Q（0，3），即点C与点Q重合，
当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，则D（﹣1，4），
∴DQ＝＝，
∴FG＝2DQ＝2×＝4，
设F（t，﹣t2﹣2t+3），则G（t，t+3），
∴GF＝t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+3t，
∴t2+3t＝4，解得t1＝﹣4，t2＝1，
∴F点坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
4．【解答】解：
（1）∵抛物线经过点C（0，4），A（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）在y＝﹣x2+x+4中，令y＝0可得0＝﹣x2+x+4，解得x＝4或x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
设Q（x，y）（y＞0），
∴S△ABQ＝AB•y，
∴12＝×6y，解得y＝4，
由﹣x2+x+4＝4，解得x＝0或x＝2，
∴Q点坐标为（0，4）或（2，4）；
（3）存在．在△ODF中，
①若DO＝DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD＝OD＝DF＝2．
又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝45°．
∴∠DFA＝∠OAC＝45°．
∴∠ADF＝90°．
此时，点F的坐标为（2，2）．
由﹣x2+x+4＝2，得x1＝1+，x2＝1﹣．
此时，点P的坐标为：P1（1+，2）或P2（1﹣，2）；
②若FO＝FD，如图，过点F作FM⊥x轴于点M．

由等腰三角形的性质得：OM＝OD＝1，
∴AM＝3．
∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3．
∴F（1，3）．
由﹣x2+x+4＝3，得x1＝1+，x2＝1﹣．
此时，点P的坐标为：P3（1+，3）或P4（1﹣，3）；
③若OD＝OF，
∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°．
∴AC＝4．
∴点O到AC的距离为2．
而OF＝OD＝2＜2，与OF≥2矛盾．
∴在AC上不存在点使得OF＝OD＝2．
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为P1（1+，2）或P2（1﹣，2）或P3（1+，3）或P4（1﹣，3）．
5．【解答】解：（1）∵OB＝OC＝3OA＝6，
∴OA＝2，
∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将点C（0，6）代入此解析式中，得，6＝a×2×（﹣6），
∴a＝﹣，
二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8；
∴M（2，8）
∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+12，
∵PQ⊥x轴，OQ＝m，
∴点P的坐标为（m，﹣2m+12）
S四边形ACPQ＝S△AOC+S梯形PQOC
＝OA•OC+（PQ+OC）•OQ
＝×2×6+（﹣2m+12+6）•m
＝﹣m2+9m+6（2≤m＜6）；
（3）存在，
理由：由（1）（2）知，B（6，0），M（2，8），
∴直线BM解析式为y＝﹣2x+12，
设点N（n，﹣2n+12）（2＜n＜6），
∵C（0，6），
∴MN2＝（n﹣2）2+（﹣2n+12﹣8）2＝（n﹣2）2+4（n﹣2）2＝5（n﹣2）2，
MC2＝4+4＝8，
NC2＝n2+（﹣2n+12﹣6）2＝n2+（2n﹣6）2，
∵△NMC为等腰三角形，
①当MN＝MC时，∴MN2＝MC2，
∴5（n﹣2）2＝8，
∴n＝+2或n＝﹣+2＜2（舍）
∴N（+2，8﹣），
②当MN＝NC时，
∴MN2＝NC2，
∴5（n﹣2）2＝n2+（2n﹣6）2，
∴n＝4，
∴N（4，4）
③MC＝NC时，∴MC2＝NC2，
∴8＝n2+（2n﹣6）2，
∴n＝2（舍）或n＝，
∴N（，）
∴线段BM上存在点N（+2，8﹣），（4，4），（，）使△NMC为等腰三角形．

6．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得，，
∴，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4，
（2）（2）∵C（0，﹣4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b'，则，
解得k＝﹣，b'＝4．
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．
如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（﹣m+4）﹣（ m2﹣m﹣4）＝4﹣（﹣4）．
化简得：m2﹣4m＝0，
解得m1＝0（不合题意舍去），m2＝4．
∴当m＝4时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）存在，
理由：当过点N平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，△BCN的面积最大
∵B（8，0），C（0，﹣4），
∴BC＝4
直线BC解析式为y＝x﹣4，
设过点N平行于直线BC的直线L解析是为y＝x+n①，
∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4②，
联立①②得，x2﹣8x﹣4（n+4）＝0，③
∴△＝64+16（n+4）＝0，
∴n＝﹣8，
∴直线L解析式为y＝x﹣8，
将n＝﹣8代入③中得，x2﹣8x+16＝0
∴x＝4，∴y＝﹣6，
∴N（4，﹣6），
如图，

过点N作NG⊥AB，
∴S△BCN＝S四边形OCNG+S△MNG﹣S△OBC
＝（4+6）×4+（8﹣4）×6﹣×8×4＝16．
7．【解答】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n，得
，
解得：，
所以抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
所以直线AB的解析式是y＝x﹣3；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
∵p在第四象限，
∴PM＝（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，二次函数取得最大值，即PM最长值为，
则S△ABM＝S△BPM+S△APM＝××3＝．

（3）存在，
理由如下：

∵PM∥OB，
∴当PM＝OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM＝OB＝3，PM最长时只有，所以不可能有PM＝3．
②当P在第一象限：PM＝OB＝3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）＝3，
解得t1＝，t2＝（舍去），
所以P点的横坐标是；
③当P在第三象限：PM＝OB＝3，t2﹣3t＝3，解得t1＝（舍去），t2＝，
所以P点的横坐标是．
所以P点的横坐标是或．
8．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∴CD＝4，
∴S△BCD＝CD×|yB|＝×4×3＝6；
（3）由（2）知，S△BCD＝CD×|yB|＝×4×3＝6；CD＝4，
∵S△PCD＝S△BCD，
∴S△PCD＝CD×|yP|＝×4×|yP|＝3，
∴|yP|＝，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴yP＞0，
∴yP＝，
∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
∴＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝1±，
∴P（1+，），或P（1﹣，）．
9．【解答】解：（1）如图1，∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+5）（x﹣1）或y＝﹣（x+2）2+9，
∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．
设直线AD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），把A、D的坐标代入，得
，
解得．
故直线AD的解析式为：y＝3x+15；

（2）如图1，∵EE′∥y轴，FF′∥y轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E′（m，﹣m2﹣4m+5）、F′（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′＝﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）＝﹣m2﹣7m﹣10，NF′＝﹣m2﹣9m﹣18，
∴ME′+NF′＝﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18＝2m2﹣16m﹣8．
∵﹣2＜0，
∴m＝﹣＝﹣4，
∴ME′+NF′有最大值，此时E′（﹣4，5），F′（﹣3，8），
要使|RE′﹣RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，
∴设直线E′F′：y＝kx+b（k≠0），则
，
解得，
∴直线E′F′：y＝3x+17（k≠0）．
当x＝0时，y＝17，则点R的坐标是（0，17）．
此时，|RE′﹣RF′|的最大值为＝；

（3）如图2，设点P（x，﹣x2﹣4x+5）．
当PA＝PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，
∵OC＝OA，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
∴点P在∠AOC的角平分线上，
∴﹣x＝﹣x2﹣4x+5，
解得x1＝，x2＝，
∴P（，），P′（，）．
∴PH＝OP﹣OH＝，P′H＝OP′+OH＝，
∴S△PAC＝AC•PH＝×5×＝或S△PAC＝AC•P′H＝×5×＝．


10．【解答】解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得
抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3，
（2）如图：

由勾股定理，CD＝，
CD＝PD＝，
P1（1，），P2（1，﹣），
PC＝PD时，设P（1，b），
1+（b﹣3）2＝b2，
解得b＝6
P3（1，6），
综上所述：P1（1，），P2（1，﹣），P3（1，6）；
（3）当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），C（0，3）．

BC的解析式为y＝﹣x+3，设E点横坐标为t，y＝﹣t+3，即E（t，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3）
EF＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
S△CDB＝BD•OC＝×2×3＝3，
S△CBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•t+EF（3﹣t）＝EF＝﹣t2+t，
S四边形CDBF＝S△CDB+S△CBF＝﹣2+t+3＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，S四边形CDBF最大＝，
y＝﹣+3＝
E（，）．
11．【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），
代入抛物线解析式y＝﹣x2+bx+c中，
∴
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵直线y＝x+3交x轴于A点，交y轴于B点，
∴∠BAO＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AFH＝∠PFG＝∠FPG＝45°，
∴△PFG是等腰直角三角形，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m，
△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），
＝﹣（+1）（m+）2+，
∴△PFG周长的最大值为：．

（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．
此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，
∵D（﹣1，4），
∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）
∵y＝x+3中，k＝1，
∴直线DM1解析式为：y＝x+5，
直线M3M2解析式为：y＝x+1，
∴x+5＝﹣x2﹣2x+3或x+1＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣2，x3＝，x4＝，
∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．

12．【解答】解：（1）函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝x2+2x﹣3＝﹣4，
故点D的坐标为（﹣1，﹣4），
对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或1，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）；
设直线AC的表达式为y＝kx+b，则，
解得，
故直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3；

（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接AC交函数的对称轴于点E，则点E为所求点，

连接BE、CE，
则△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+EC＝BC+AC为最小，
当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣3＝﹣2，
故点E（﹣1，﹣2），
设直线PC交函数的对称轴于点H，
设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3），
由点P、C的坐标得，直线PC的表达式为y＝（m+2）x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣5﹣m，故点H（﹣1，﹣5﹣m），则EH＝﹣2+5+m＝m+3，
△PCE面积＝S△EHP+S△EHC＝×EH×（xC﹣xP）＝（m+3）（﹣m）＝﹣（m2+3m），
∵，
∴△PCE面积有最大值，当m＝﹣时，其最大值为，此时点P（﹣，﹣）；

（3）存在，理由：
∵MN∥AC，
∴设直线MN的表达式为y＝﹣x+t，
将点P的坐标代入上式并解得，t＝﹣，
故直线MN的表达式为y＝﹣x﹣，
令x＝0，则y＝﹣，令y＝0，则x＝﹣，
故点M、N的坐标分别为（﹣，0）、（0，﹣）；
①若∠MQN＝90°，如图2，
过点Q作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点G，交y轴于点H，设点Q（﹣1，c），

∵∠HQN+∠GQM＝90°，∠NQH+∠HNQ＝90°，
∴∠HNQ＝∠GQM，
∴tan∠HNQ＝tan∠GQM，即＝，即＝，
解得c＝，
故点Q的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）；
②若∠QMN＝90°，如图3，

由MQ⊥MN且MN所在直线解析式为y＝﹣x﹣，
故可设MQ所在直线解析式为y＝x+a，
将点M坐标代入上式并解得：a＝，
即直线MQ解析式为y＝x+，
由知，即Q（﹣1，）；
③若∠MNQ＝90°，如图4，

由NQ⊥MN且MN所在直线解析式为y＝﹣x﹣，
故可设NQ所在直线解析式为y＝x+b，
将点N坐标代入上式并解得：a＝﹣，
即直线NQ解析式为y＝x﹣，
由知，
即Q（﹣1，﹣）；
综上，点Q的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）．
13．【解答】解：（1）把点E（4，a）代入物线y＝x2﹣x﹣方程，
解得：a＝4，则E点（4，），C（0，﹣），
令y＝0，求出A（﹣1，0）、B（3，0），
把点E、C坐标代入一次函数表达式y＝kx+b，解得：k＝，b＝﹣，
则：直线CE的解析式为：y＝x﹣；
（2）如下图2，过点P作y轴的平行线交CE于H，
设点P横坐标坐标为m，
则PH＝m﹣﹣（）＝﹣，

则：S△PEC＝（xE﹣xC）•PH＝×4（﹣）＝﹣m2+m，
当m＝﹣＝2时，S△PEC最大，此时点P坐标为（2，﹣）；
如下图所示，C、P的由坐标相同，PC∥x轴，
作P点关于x轴的对称点P′，点P关于y轴的对称点P″，连接P′P″交x轴于M点，交y轴于点N，
此时PM+MN+NP周长为最小值，最小值为P′P″＝2．

答：PM+MN+NP周长最小值为2；
（3）如下图所示，

以下各点坐标为：D（1，0），Q（1，﹣），
直线HQ与CD平行，其斜率为，
把Q点坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，解得：n＝﹣
直线HQ的方程为y＝x﹣，
设：G的横坐标为m，G在直线HQ上，则其坐标为（m，m﹣），
则：GD2＝（m﹣1）2+（m﹣）2＝4m2﹣16m+，
GQ2＝（m﹣1）2+（m﹣）2＝4（m﹣1）2，
DQ2＝，
当DG2＝GQ2时，解得：m＝，则G（，﹣），
当GD2＝DQ2时，解得：m＝3或1，则G（3，）或（1，﹣），
当GQ2＝DQ2时，解得：m＝1±，则G（1+，2﹣）或（1﹣，﹣2﹣），
答：存在，当△DQG为等腰三角形时，点G坐标为（，﹣）或（3，）或（1，﹣）或（1+，2﹣）或（1﹣，﹣2﹣）．
14．【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；

（2）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，

∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．

（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，

∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）．
15．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．

（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：
，
解得 ；
故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，
则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）如图，由（2）知，MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）．
∴S△BNC＝S△MNC+S△MNB＝MN（OD+DB）＝MN•OB，
＝（﹣m2+3m）•3＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为 ．

16．【解答】解：（1）设二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣，
将点A（﹣2，0）代入上式得，
0＝a（﹣2﹣1）2﹣，
解得：a＝，
故y＝（x﹣1）2﹣．

（2）令y＝0，得0＝（x﹣1）2﹣，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
则B（4，0），
令x＝0，得y＝﹣4，故C（0，﹣4），
S四边形ACDB＝S△AOC+S△DOC+S△ODB，
＝×2×4+×4×1+×4×，
＝15，
故四边形ACDB的面积为15；

（3）当抛物线与坐标轴仅有两个交点，即图象顶点在x轴上或经过原点时即符合要求，
①当抛物线顶点在x轴上时，将抛物线y＝（x﹣1）2﹣向上平移个单位，y＝（x﹣1）2；
②当抛物线经过原点时，将抛物线y＝（x﹣1）2﹣向上平移4个单位，y＝（x﹣1）2﹣，或将抛物线y＝（x﹣1）2﹣向右平移2个单位，y＝（x﹣3）2﹣；或将抛物线y＝（x﹣1）2﹣向左平移4个单位y＝（x+3）2﹣（写出一种情况即可）．

17．【解答】解：①如图1，∵∠OAC＝45°，
∴△OCA为等腰直角三角形，
∴OA＝OC，
设B（t，0），则A（﹣4t，0），C（0，4t），
设抛物线的解析式为y＝a（x+4t）（x﹣t），
∵y＝x2的图象平移得到y＝a（x+4t）（x﹣t），
∴a＝1，
∴y＝（x+4t）（x﹣t），
把C（0，4t）代入得4t2＝﹣4t，解得t1＝0（舍去），t2＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x+1），即y＝x2﹣3x﹣4；
②如图1，AC与抛物线的对称轴的交点为N，A（4，0），C（0，﹣4），
∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，
∴M（，﹣），抛物线的对称轴为直线x＝，
易得直线AC的解析式为y＝x﹣4，
当x＝时，y＝x﹣4＝﹣，则N（，﹣），
∴MN＝﹣﹣（﹣）＝，
∴S△MCA＝S△CMN+S△AMN＝•4•MN＝•4•＝；
③如图2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
∴D（，0），
∴AD＝4﹣＝，
∵△OAC绕点A逆时针旋转45°，
∴AO′＝AO＝4，∴∠OAO′＝∠O′AC＝45°，∠AO′C′＝∠AOC＝90°，
∵∠OAC＝45°，
∴点O′在AC上，
易得△DAE为等腰直角三角形，
∴AE＝AD＝，∠DEA＝45°，
∴O′E＝O′A﹣AE＝4﹣，
∵∠O′EF＝∠DEA＝45°，
∴△O′EF为等腰直角三角形，
∴EF＝O′E＝（4﹣）＝4﹣5．

18．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣4ax﹣32a＝0，解得x1＝﹣4，x2＝8，则B（﹣4，0），C（8，0），
∴BC＝8﹣（﹣4）＝12，
∵△ABC的面积是48，
∴•OC•12＝48，解得OC＝8，
∴C（0，8），
把C（0，8）代入y＝ax2﹣4ax﹣32a得﹣32a＝8，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；
（2）作CF⊥AB于F，如图1，
∵B（﹣4，0），A（0，8），
∴AB＝＝4，
∵CF•AB＝48，
∴CF＝＝，
易得直线AC的解析式为y＝﹣x+8，AC＝8，
设P（t，﹣t+8），
∴AP＝＝t，
∵PE∥CF，
∴△APE∽△ACF，
∴＝，即＝，
∴d＝t（0≤t≤8）；
（3）作AM⊥PQ于M，直线AM交x轴于N，如图2，
在Rt△AEP中，AE＝＝t，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣t，
∵PE＝BE，
∴4﹣t＝t，解得t＝5，
∴P（5，3），AE＝，
∵∠APE＝∠APQ，
∴∠PAM＝∠PAE，
∵∠PAM＝∠ANC+∠ACN＝∠ANC+45°，
而∠PAE＝∠EAO+∠PAO＝∠EAO+45°，
∴∠ANC＝∠EAO，
∵∠ANO＝∠BAO，∠AON＝∠BOA，
∴△OAB∽△ONA，
∴＝，即＝，解得ON＝16，
∴N（﹣16，0），
设直线AN的解析式为y＝px+q，
把N（﹣16，0），A（0，8）代入得，解得，
∴直线AN的解析式为y＝x+8，
设M（m，m+8），
∵AP平分∠EPM，
∴AM＝AE＝，
∴m2+（m+8﹣8）2＝（）2，解得m＝2，
∴M（2，9），
∵x＝2时，y＝﹣x2+x+8＝9，
∴点M在抛物线上，即M点与Q点重合，
∴Q点的坐标为（2，9）．


19．【解答】解：（1）由y＝ax2+bx+3知点C（0，3），
∵CD＝OC＝3，
∴D（﹣3，3），
将点A（﹣4，0）、D（﹣3，3）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+3；

（2）如图1，作PR⊥DC延长线于点R，

设P（t，﹣t2﹣t+3），
则PR＝3﹣（﹣t2﹣t+3）＝t2+t，
∴△PCD的面积为S＝×3×（t2+t）＝t2+t；

（3）如图2，作DE⊥AO于点E，在EO上截取EF＝CN，连接DF、MN，

∴DE＝OC＝DC，
在△DCN和△DEF中，
∵，
∴△DCN≌△DEF（SAS），
∴DN＝DF、∠NDC＝∠FDE，
∵DC∥x轴，
∴∠CDP＝∠DMA，
∵∠DNC﹣∠DMA＝45°，∠DNC＝90°﹣∠NDC，
∴90°﹣∠NDC﹣∠CDP＝45°，
∴∠NDC+∠CDP＝45°，即∠NDM＝45°，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠NDC＝∠FDE，
∴∠NDC+∠FDC＝90°，即∠FDN＝90°，
∴∠NDM＝∠FDM＝45°，
在△NDM和△FDM中，
∵，
∴△NDM≌△FDM（SAS），
∴MN＝MF＝ME﹣EF＝ME﹣CN，
设CN＝EF＝a，
由BM＝2CN知BM＝2a，
∵EO＝DC＝3、OB＝1，
∴BE＝4，
∴MN＝ME﹣CN＝2a+4﹣a＝a+4，OM＝OB+BM＝1+a、ON＝CN+OC＝3+a，
在Rt△MON中，由MN2＝OM2+ON2可得（a+4）2＝（2a+1）2+（3+a）2，
解得：a＝1或a＝﹣1.5（舍），
∴M（3，0），
设直线DM解析式为y＝kx+b，
将点D（﹣3，3）、M（3，0）代入得：，
解得：，
则直线DM解析式为y＝﹣x+，
由可得或，
∴P（，），
则S△PCD＝×3×（3﹣）＝．
20．【解答】解：（1）∵A（1，0），对称轴l为x＝﹣1，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）如图，过点P作PM⊥x轴于点M，

可设点P的坐标为（x，y）（﹣3＜x＜0），则y＝x2+2x﹣3，
∵点A（1，0），
∴OA＝1．
∵点C是抛物线与y轴的交点，
∴令x＝0，得y＝﹣3．即点C（0，﹣3）．
∴OC＝3．
由图可知S四边形PBAC＝S△BPM+S四边形PMOC+S△AOC
＝BM•PM+（PM+OC）•OM+OA•OC
＝（x+3）（﹣y）+（﹣y+3）（﹣x）+×1×3
＝﹣y﹣x+．
将y＝x2+2x﹣3代入可得S四边形PBAC＝﹣（x2+2x﹣3）﹣x+＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，﹣3＜x＜0，
∴当x＝﹣时，S四边形PBAC有最大值．此时，y＝x2+2x﹣3＝﹣．
∴当点P的坐标为（﹣，﹣）时，四边形PBAC的面积最大，最大值为；

（3）由已知得B（﹣3，0），C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+c，则，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣k﹣3．①
∵抛物线y＝x2+2x﹣3向上平移m（m＞0）个单位长度得到新的抛物线，
∴新抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3+m．②
∵新的抛物线与直线BC有两个交点，
∴联立①②，消去y，x2+3x+m＞0，即（x﹣）2﹣+m＞0，
∴m＜﹣（x﹣）2+．
∴m的取值范围是：0＜m＜．