2022年北京大学强基计划笔试数学试题

2022年北京大学强基计划笔试数学试题

1．已知与均为完全平方数且n不超过2022，则正整数n的个数为（    ）

A．0         B．1         C．2           D．以上选项均不正确

2．已知凸四边形ABCD满足，则符合题意且互不相似的凸四边形ABCD的个数为（    ）

A．1        B．2         C．无穷多         D．以上选项均不正确

3．已知正整数n不超过2022且满足，则这样的n的个数为（    ）

A．20         B．21         C．22            D．以上选项均不正确

4．已知表示不超过x的整数，如。已知，则（    ）

A．321       B．322       C．323          D．以上选项均不正确

5．已知六位数，满足，则所有满足条件的六位数之和为（    ）（不必为三位数，即最高两位可以为0）．

A．2065020       B．1820960        C．1960830      D．以上选项均不正确

6．已知整数a，b，c，d满足，则的正整数取值个数为（    ）．

A．11        B．12         C．13        D．以上选项均不正确

7．已知凸四边形ABCD满足：，则其内切圆半径取值范围为（    ）

A．      B．      C．       D．以上选项均不正确

8．已知，当最小时，（    ）．

A．3          B．6          C．9            D．以上选项均不正确

9．已知复数z，满足与的实部和虚部均属于，则z在复平面上形成轨迹的面积为（    ）

A．         C．        C．           D．以上选项均不正确

10．在中，，则（    ）

A．         B．        C．1         D．以上选项均不正确

11．在梯形ABCD中，，M在边CD上，有，则取值范围为（    ）

12．已知，则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为（    ）．

A．        B．        C．6           D．以上选项均不正确

13．若A为十进制数，，记。己知，求各位数字的平方和（    ）

A．370          B．520           C．730              D．以上选项均不正确

14．已知数列满足，则最接近的整数为（    ）。

A．2         B．3         C．4           D．以上选项均不正确

15．已知是二次函数，，且，则（    ）。

16．己知数列各项均为正整数，且，中存在一项为3，可能的数列的个数为（    ）。

17．将不大于12的正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有___________种。（    ）

A．252         B．2520          C．25200        D．以上选项均不正确

18．已知m，n，k为正整数，．其中x的系数为10，则的系数的最大可能值与最小可能值之和为（    ）

A．40          B．41        C．42         D．以上选项均不正确

19．若三边长为等差数列，则的取值范围是（    ）

A．        B．       C．      D．以上选项均不正确

2022年北京大学强基计划笔试数学试题

参考答案

1．【答案】B

设，则，即。

由于为佩尔方程的一组解，

由佩尔方程的性质知其有无穷多组解。

对其任意一组解，由于，所以为被3整除的正奇数。

则，知这样的n均为正整数．

由于，知，所以，

由佩尔方程的通解知，

由特征方程知其所对应的递推公式为，得，

因此仅满足条件，此时。

所以这样的n为1个．

2．【答案】B

对凸四边形ABCD，由，有；由，

有．故四边形ABCD为平行四边形

如图，设对角线AC中点为O．我们下面固定对角线AC，则点D在固定的射线AD上，我们只需求出该射线上满足的点D个数即可．

记过C，O且与射线AD相切的圆为（易知这样圆存在且唯一），切点为，由圆幂定理知从而。

首先说明．

该结论等价于，即．设，易知．

在中，由正弦定理，。

注意到，所以，且当时等号不成立，故，结论得证

射线AD上在的左右两侧各有一个满足的点D，故满足条件的形状不同的凸四边形有两种．

3．【答案】A

由于，所以．

显然，所以，所以，进而得到．

设，

则，由于，所以，即．

设，则。

则．

由欧拉定理，，所以。

进而得到。．

所以，所以。

因此这样的y有20个．

4．【答案】A

记，则由其所对应的特征根方程知数列满足，且依次可得，。而，所以，所以，所以。

5．【答案】A

假设，则．

由此可得原命题等价于，即。

由于，所以且，

所以，因此对应的有5种不同的取值，对应的六位数为

，即998001，498002，248004，198005，123008。

这样的六位数之和为2065020．

6．【答案】D

由于a，b，c，d均为整数，

所以为整数。

因此只需，即．

原命题即为求小于36的不同取值的个数．

由柯西不等式知，

因此，

所以的取值必为10到34之间的偶数。

又因为与奇偶性相同，

下证不为8的倍数：

采用反证法，若否，则，

此时a，b，c，d要么同为偶数要么同为奇数。

（i）a，b，c，d同为偶数：设．

此时．

因为与奇偶性相同，

所以不可能为8的倍数．

（ii）a，b，c，d同为奇数：

由于奇数的平方模8同余于1，所以，

所以不可能为8的倍数。

因此的取值必为10到34之间的偶数且不为8的倍数。

另一方面，设，

我们有，，

因而的取值为所有10到34之间不为8的倍数的偶数，

因此的不同取值为10个．

7．【答案】B

先证明一个引理：平面上四边形ABCD的四边长分别记为a，b，c，d，那么四边形ABCD的面积，其中p为四边形ABCD的半周长。

引理的证明：在和中分别应用余弦定理，有

又，

于是可得

两式平方相加，移项可得，整理即得．

回到本题中，一方面。

另一方面，欲求r最小值，只需使得S最小，只需使得最大即可．又因为，所以只需令最大即可。

设，有，易知，随y增加而增加，，随x增加而增加，所以只需比较x→3和y→4的情况即可，此时四边形ABCD分别趋向退化成边长为3，3，4和4，4，2的三角形，经比较可得面积较小者为，故。

综上，。

8．【答案】D

已知，

当且仅当时取等。

此时，解得，

所以当取最小值时。

9．【答案】A

设满足要求的复数，

则原命题即为与的实部和虚部均属于，

因此。

整理后得，

。

因此点z的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形。

此区域面积为。

10．【答案】C

由，得到，故。

结合和差化积与积化和差公式，得到，

于是，使用二倍角公式得到，

，解得。

11．【答案】

，所以A，B，M，D四点共圆，于是

易知。

12．【答案】D

令．

则，即，由于，

所以或或。解得或或。

因而其全部解为或或。由题意知，所求值为：

。

13．【答案】D

由题意知若A为位数，则，

所以至多为40位，所以，

所以至多15位，进而，

所以至多6位，进而，

所以至多3位，进而，

所以至多2位，进而也至多两位，

依此类推可得至多两位，其各位数字的平方和不超过，小于200．

ABC均不可能．

14．【答案】C

令，则且，原递推即为，

整理后即为，由得，

即，所以。

所以。

另一方面，，所以，

综上所述，，所以与之最接近的整数为4．

15．【答案】36．

法一：，可设，

则由得，

所以且，整理后即为，

由得，

若则必有，此时与矛盾，

所以且，

整理后为，

与相加即得，

即，所以，

所以，

又由于在原不等式中令可得，所以，由此解得。

所以。

法二：

令，则，设．

若，则

于是时，存在使得，矛盾；

时，存在使得，矛盾；

故，令，则。

于是，进而．

16．【答案】211

记，则，

对确定的，数列各项间的大小顺序即确定，

设，则，

对于给定的可唯一确定一组数列，

由于且，这样的数列共个，

其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有个，

综上所述，符合要求的数列共有个。

17．【答案】A易知中的元素两两不互质，因此恰好在6个不同的集合中。设依次为。

此时剩余的正整数中1，7，11可以任意放在上述6个集合中，5不能放在中，3，9不能放在或中，分两种情况：

（1）若5放入了或中，有两种情况，此时3与9可在4个集合中选择，有种情况，而1，7，11放入集合有种情况．

（2）若5没有放入或中，则5有3个集合可以选择，进而3与9可在3个集合中选择，有种情况，而1，7，11放入集合有种情况．

综上所述，不同的集合拆分方法共有种．

18．【答案】A

由题意得，

的系数为。

由柯西不等式知，

又由于y，f，d为正整数所以．

当时，，因此的最小值为34．

另一方面，若a，b为正整数，则，

这是因为上式展开即为，亦即．

所以．

当时，，因此的最大值为66．

进而我们有的最大最小值分别为12，28，所以的系数的最大可能值与最小可能值之和为40．

19．【答案】A

不妨设三边长为，其中。此时：

。