中考数学必刷300题 专题17 图形翻折问题-【必刷题】

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中考数学复习策略
中考复习中，数学占据了一定的位置，那么初三数学生要从哪几方面着手复习呢?
1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题，也不要搞题海战术，要注重学习方法，回归课本，抓住典型题目进行练习。
课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。另外，对于一些易错题，要在复习阶段作为重点复习，反复审题，加强理解。
2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。
把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。
3、要注重总结规律，加强解题后的反思。
期末考试前，学校一般都会组织模拟练习，学生要认真对待，注意记录、总结老师对模拟练习的讲评分析。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。

十七、图形翻折问题
知识点拨
图形翻折问题长用到的工具及方法
1、 勾股定理
2、 相似
3、 等面积法

例题演练

1．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x，
∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，
∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，
∴∠A＝∠ACD，
∴CD＝AD＝3x，
∴AB＝AD+DB＝8x＝16，
∴x＝2，
∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4，
∴BC＝＝8，
设CE＝a，则BE＝8﹣a＝B'E，
∵CE2+B'C2＝B'E2，
∴a2+32＝（8﹣a）2，
解得a＝3，
∴CE＝3，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，则点C到AB的距离为（　　）

A． B．4 C． D．2
【解答】解：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，
由折叠的性质可得：BD＝DE，CB＝CE，
则CG为BE的中垂线，
故BG＝，
∵D为AB中点，
∴BD＝AD，S△CBD＝S△CAD，AD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，
∵∠EDA+∠DEA+∠DAE＝180°，
即2∠DEB+2∠DEA＝180°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，
即∠BEA＝90°，
在直角三角形AEB中，由勾股定理可得：
BE＝＝＝，
∴BG＝，
∵S△ABC＝2S△BDC，
∴2×＝，
∴CH＝＝＝．
故选：C．

3．如图，在矩形ABCD中，在CD上取点E，连接AE，在AE，AB上分别取点F，G，连接DF，GF，AG＝GF，将△ADF沿FD翻折，点A落在BC边的A′处，若GF∥A′D，且AB＝3，AD＝5，则AF的长是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接AA′，由翻折变换的性质可得，∠DAF＝∠DA′F，DA＝DA′＝5，AF＝A′F，
在Rt△A′DC中，
A′C＝＝＝4，
∴BA′＝BC﹣A′C＝5﹣4＝1，
在Rt△A′AB中，
AA′＝＝＝，
∵AG＝GF，
∴∠GAF＝∠GFA，
∵GF∥A′D，
∴∠GFA′＝∠FA′D，
又∵∠GAF+∠DAF＝90°，
∴∠GFA+∠GFA′＝90°，
∴△AA′F是等腰直角三角形，
∴AF＝AA′＝×＝，
故选：A．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D′处，CD′交AB于点F，则AF的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：由折叠可知AD＝AD′＝4，∠DCA＝∠D′CA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
FC2＝FB2+BC2，
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5，
即AF＝5，
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，D，E分别为边AB，BC上一点，且满足AD：DB＝1：3．连接DE，将△DBE沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，则CF的长度为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于H，作FG⊥AB于G，

又∵∠ABC＝90°，
∴四边形GFHB是矩形，
∴BG＝FH，
∵AB＝4，AD：DB＝1：3，
∴AD＝1，DB＝3，
∵将△DBE沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，
∴DF＝DB＝3，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
∴＝＝，
∴GF＝2AG，
∵DF2＝DG2+DF2，
∴9＝（AG﹣1）2+4AG2，
∴AG＝（负值舍去），
∴BG＝FH＝，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，
∴AC＝＝＝4，
∵FH∥AB，
∴△FHC∽△ABC，
∴，
∴，
∴FC＝，
故选：A．
6．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，点D为斜边中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于点E，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥CD于H，过点E作EF⊥CD于F，

∵∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，
∴AB＝＝＝10，S△ABC＝×10×20＝100，
∵点D为斜边中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD＝5，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，
∴sin∠BCD＝sin∠DBC＝＝，
∴＝，
∴BH＝4，
∴CH＝＝＝2，
∴DH＝3，
∵将△BCD沿CD翻折得△B′CD，
∴∠BDC＝∠B'DC，S△BCD＝S△DCB'＝50，
∴tan∠BDC＝tan∠B'DC＝，
∴＝＝，
∴设DF＝3x，EF＝4x，
∵tan∠DCA＝tan∠DAC＝，
∴，
∴FC＝8x，
∵DF+CF＝CD，
∴3x+8x＝5，
∴x＝，
∴EF＝，
∴S△DEC＝×DC×EF＝，
∴S△CEB'＝50﹣＝，
∴＝，
故选：A．
7．如图，矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，沿DM将三角形CDM进行翻折，点C的对应点为点E，若AB＝6，BC＝8，则BE的长度为（　　）

A．4 B． C． D．
【解答】解：∵矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，BM＝CM＝4，
∴DM＝＝2，
∵沿DM将三角形CDM进行翻折，
∴ME＝CM＝4，∠EMD＝∠CMD，
∴BM＝EM，
过M作MF⊥BE于F，
∴BE＝2BF，∠BMF＝∠EMF，
∴∠EMF+∠DME＝90°，
∴∠BME+∠CMD＝90°，
∵∠CMD+∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝∠BMF，
∵∠BFM＝∠C＝90°，
∴△BFM∽△MCD，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴BE＝2BF＝，
故选：D．

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝+，点D为边AB上一点，连接CD．将△ACD沿直线CD翻折至△ECD，CE恰好过AB的中点F．连接AE交CD的延长线于点H，若∠ACD＝15°，则DH的长为（　　）

A． B． C． D．1
【解答】解：由翻折可知：
DE＝DA，AC＝AE，
∴CD是AE的垂直平分线，
∴CH⊥AE，
∵∠ECD＝∠ACD＝15°，
∴∠ACF＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°
∵F是AB中点，
∴FC＝FB＝FA，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠BFC＝60°，
∴∠FAC＝30°，
∴∠FDC＝∠DCA+∠DAC＝45°，
∴∠HDA＝45°，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴∠EDH＝∠ADH＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝x，
∴ED＝x，
∵∠EFD＝60°∴EF＝x，
FC＝BC＝+，
∴CE＝EF+FC＝x++，
∵BC＝+，∠BAC＝30°，
∴AC＝（+），
∵AC＝CE，
∴x++＝（+），
解得x＝．
∴DH的长为．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB＝11，AC＝10，BC＝3，点D是AB边上一点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折得△B1CD，DB1⊥AC且交于点E，则CD的值为（　　）

A．3 B．6 C．3 D．3
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．设BH＝x，则AH＝11﹣x．

∵CH2＝BC2﹣BH2＝AC2﹣AH2，
∴（3）2﹣x2＝102﹣（11﹣x）2，
解得x＝3，
∴AH＝11﹣3＝8，
∴CH＝＝6，
∵∠CDH＝∠CDE，∠CHD＝∠CED＝90°，CD＝CD，
∴△CDH≌△CDE（AAS），
∴CH＝CE＝6，
∴AE＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠AHC＝90°，
∴△AED∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝3，
∴CD＝＝3，
故选：C．
10．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处设DE与BB交于点F，则EF＝（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，
过B′作B′H⊥AB与H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH＝B′H＝AB′，
∵AB′＝AC＝，
∴AH＝B′H＝1，
∴BH＝3，
∴BB′＝＝＝，
∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴BF＝BB′＝，DE⊥BB′，
∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，
∵∠EBF＝∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
故答案为：．
故选：C．

11．在矩形ABCD中，BC＝2，DC＝，取AD中点E，连接BD、BE，将△BDE沿BE翻折至△BEF，过点A作AG⊥BF于G，则AG的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接DF并延长BE交DF于点M，如右图所示，
∵△BDE沿BE翻折得到△BEF，
∴BF＝BD，∠FBE＝∠DBE，
∴BM为等腰三角形FBD的中线，高线，角平分线，
∴EM⊥DF，FM＝DM，
∵BC＝AD＝2，E为AD的中点，
∴DE＝EA＝1，
∴BD＝＝，
∴BE＝＝，
∵∠BAE＝∠DME＝90°，∠AEB＝∠MED，
∴△BAE∽△DME，
∴＝＝，
即＝＝，
∴DM＝，ME＝，
连接AF，
∵M是DF的中点，E是AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴ME＝AF，
∴AF＝2ME＝，
∵BD＝BF＝，
设BG＝x，则FG＝﹣x，
由勾股定理得：BA2﹣BG2＝AF2﹣FG2＝AG2，
即2﹣x2＝﹣（﹣x）2，
解得x＝，
∴AG＝＝，
故选：C．

12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（　　）

A． B．3 C．2 D．
【解答】解：过点A作AG⊥BC,垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H,
∵AB＝BC＝5,
∴AH＝CH＝＝,
在Rt△BCH中，
BH2+CH2＝BC2,
BH2+()2＝52,
解得BH＝，
S△ABC＝,
,
解得：AG＝3,
在Rt△ACG中，
CG2+AG2＝AC2,
CG2+33＝(2,
解得:CG＝1,
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG,
∵DE⊥AB,
∴∠AGD＝∠AFD＝90°,
∴△AGD≌△AFD(AAS),
∴AF＝AG＝3,BF＝AB﹣AF＝2,
设GD＝x，
则DF＝x，BD＝4﹣x，
在Rt△BDF中，
DF2+BF2＝BD2,
x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝CD＝,BD＝BC﹣CD＝,
设点E到BC的距离为d，
S，
，
解得d＝2．
所以点E到BC的距离为2．
故选：C．

13．如图，在正方形ABCD中，边长AB＝10，E是为BC中点，连接AE，BD，把△ABE沿着AE翻折，得到△AB′E，则点B′到BD的距离为（　　）

A．2 B．4 C．3 D．
【解答】解：如图，连接BB′交AE于J，设AE交BD于点O，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，过点B′作B′H⊥BD于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，AB＝BC＝10，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC＝5，
∴AE＝＝＝5，
由翻折的性质可知，AE垂直平分线段BB′，
∴BJ＝＝2，
∴BB′＝2BJ＝4
∵∠ABO＝∠OBE＝45°，OM⊥AB，ON⊥BC，
∴OM＝ON，
∵•AB•OM+•BE•ON＝•AB•BE，
∴OM＝ON＝，
∵四边形OMBN是正方形，
∴OB＝，
∴OJ＝＝＝，
∵∠OBJ＝∠HBB′，∠BJO＝∠BHB′＝90°，
∴△BJO∽△BHB′，
∴＝，
∴＝，
∴B′H＝2，
故选：A．
14．如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB＝2，BC＝4，则AF的长是（　　）

A．2 B．2.5 C．2.8 D．3
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB，
由翻转变换的性质可知，∠FCA＝∠ACB，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
在Rt△CDF中，FC2＝DF2+CD2，即FA2＝（4﹣AF）2+22，
∴AF＝2.5，
故选：B．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，D为AC上一点，连接BD，将△BDC沿BD翻折，点C恰好落在AB上的点E处，连CE．若AD＝，tan∠ABD＝，则CD的长度为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：过点D作DN⊥AB于N，DM⊥BC交BC的延长线于M．

在Rt△ADN中，∠AND＝90°，∠A＝45°，AD＝，
∴AN＝DN＝，
∵tan∠ABD＝，
∴BN＝3DN＝，
∴AB﹣AN+BN＝14，
由翻折可知，DC＝DE，BC＝BE，∠DBC＝∠DBE，
∵DN⊥AB，DM⊥BC，
∴DN＝DM，
设DC＝DE＝x，BC＝BE＝y，
∵＝＝，
∴＝，
∴y＝2x，
在Rt△DNE中，DE2＝DN2+NE2，
∴x2＝（）2+（﹣2x）2，
解得x＝或（舍弃），
∴CD＝，
故选：A．
16．如图，在△ABC中，tan∠ACB＝，D为AC的中点，点E在BC上，连接DE，将△CDE沿着DE翻折，得到△FDE，点C的对应点是点F，EF交AC于点G，当EF⊥EC时，△DGF的面积，连接AF，则AF的长度为（　　）

A．2 B． C． D．
【解答】解：由题意得，△EDC≌△EDF，
∴∠CED＝∠FED，
∵EF⊥EC，
∴∠FED＝∠CED＝45°，
作DM⊥EF于M，AN⊥EF于N，

设DM＝x，则EM＝x，
∵∠EFD＝∠ACB，
∴，
∵∠GDM＝∠ACB，
∴DM∥BC，
∴GM＝tan∠GDM•DM＝，
∴FG＝FM﹣GM＝，
∴，
解得：x＝，
∴FD＝，GD＝，AD＝CD＝FD＝5，
∴G是AD的中点，
即AG＝DG，
∵∠ANG＝∠DMG＝90°，∠AGM＝∠DGM，
∴△ANG≌△DMG（AAS），
∴GN＝GM＝，
∴FN＝FM﹣NM＝2，
∴AN＝DM＝，
∴AF＝．
故选：D．
17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D为AB边的中点，点E为线段AC上的一点，连接EB，将△ABE沿AB翻折得到△ABE'，连接DE、DE'，当BC∥DE'时，则BE'的长是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接EE'，延长E'D交AC于点F，

∵E'F∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠E'FE＝∠DFA＝90°，
由题意可得出，△ACB∽△AFD∽△E'FE，
设DE＝x，则E'D＝DE＝x，
又DF＝＝1，
∴EF²＝DE²﹣DF²＝x²﹣1，
EF＝，
又E'F＝E'D+DF＝x+1，
E'F：EF＝AC：BC＝2，
即（x+1）：＝2，
解得x＝，
所以E'D＝，E'F＝，
又FC＝＝2，BC＝2，
在直角梯形E'FCB中，解得E'B＝，
故选：D．
18．在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把△CDE沿ED翻折到△FDE，且EG＝，则DF的长度为（　　）

A． B． C． D．2
【解答】解：如图，连接CF，延长ED交CF于点T，过点G作GH⊥DE于H，过点D作DP⊥AC于P．

∵EC＝5AE，
∴可以假设AE＝a，EC＝5a，AC＝6a，
∵∠DPC＝∠A＝90°，
∴DP∥AB，
∵BD＝CD，
∴AP＝PC＝3a，PE＝2a，
∵tan∠ACB＝＝，
∴PD＝a，
∴tan∠CET＝＝＝，
∵EC＝5a，
∴CT＝a，ET＝2a，
∵DE＝＝＝a，
∴DT＝CT＝a，
∴∠TDC＝∠TCD＝45°，
由翻折的性质可知DC＝DF，∠DEP＝∠DEG，
∴tan∠DEG＝tan∠DEP＝＝，
∵EG＝，
∴GH＝，EH＝，
∵∠GDH＝∠CDT＝45°，
∴GH＝DH＝，
∴DE＝a＝，
∴a＝，
∵DF＝CD＝a＝2，
故选：D．
19．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（　　）

A． B． C．3 D．
【解答】解：连接AN交BM于点O，作NH⊥AD于点H．如图：

∵AB＝6，AM：MD＝1：2．
∴AM＝2，MD＝4．
∵四边形ABCD是正方形．
∴BM＝．
根据折叠性质，AO⊥BM，AO＝ON．AM＝MN＝2．
∴．
∴＝．
∴AN＝．
∵NH⊥AD．
∴AN2﹣AH2＝MN2﹣MH2．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴DN＝．
故选：D．
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，在BC边上取一点E，连接AE、DE，使得DE＝AD，H为AE中点，连接DH，在DE上取一点F，连接AF，将△AEF沿着AF翻折得到△AGF，且GF⊥AD于M，连接GD，若AE＝4，则点F到直线DG的距离为（　　）

A．2 B． C． D．
【解答】解：AD＝DE，H是AE的中点，
∴DH⊥AE，
四边形ABCD为矩形，
∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADH＝90°，
△ABE∽△DHA，
，
∵AD＝10，AH＝AE＝，AE＝4，
∴BE＝4，
∴AB＝，EC＝BC﹣BE＝10﹣4＝6
过点E作EP⊥AD于点P，则四边形ABEP为矩形

∴PE＝AB＝8，PD＝EC＝6
∵GF⊥AD
∴∠DMF∽∠DPE＝90°，
∴∠MDF＝∠DPE＝90°
∵∠MDF＝∠PDE
∴△DMF∽△DPE，
∴
设MF＝4x，DM＝3x，DF＝5x
∵△AEF沿看AF折得到△AGF，
GF＝EF＝10﹣5x，AG＝AE＝4，AM＝AD﹣DM＝10﹣3x，
GM＝GF﹣MF＝EF﹣MF＝10﹣9x，
在Rt△AMG中，AM2+MG2＝AG2，
即，
解得：x＝2（舍去）或x＝，，
MD＝3x＝2，GF＝10﹣5x＝，MG＝10﹣9x＝4
∴GD＝，
设F到GD的距离是h，根据面积公式得S，
∴
∴
故选：B．