精品解析：湖北省武汉市武昌区拼搏联盟2021-2022学年八年级下学期数学期中试题

八年级数学训练题

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 使二次根式有意义的的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．

【详解】解：由题意得

，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式的加减法则逐项分析即可．

【详解】A．，故不正确；

B．中的两项不是同类二次根式，不能合并，故不正确；

C．中的两项不是同类二次根式，不能合并，故不正确；

D．，正确；

故选D．

【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．同类二次根式的合并方法是把系数相加减，被开方式和根号不变．

3. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据最简二次根式的运算法则计算即可．

【详解】解：A．，故不是最简二次根式；

B．是最简二次根式；

C．，故不是最简二次根式；

D．，故不是最简二次根式；

故选B．

【点睛】本题考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

4. 下列四组数中不是勾股数的是（　　）

A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 8，15，17

【答案】B

【解析】

【分析】利用勾股数的定义进行验证即可．

【详解】解：A、32+42＝25＝52，即满足a2+b2＝c2，所以A中三个数是勾股数；

B、22+32＝13≠42，即不满足a2+b2＝c2，所以B中三个数不是勾股数；

C、52+122＝169＝132，即满足a2+b2＝c2，所以C中三个数是勾股数；

D、82+152＝289＝172，即满足a2+b2＝c2，所以D中三个数是勾股数；

故选：B．

【点睛】本题主要考查勾股数的定义，掌握勾股数的定义是解题的关键，即若三个正整数满足两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数为勾股数．

5. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可．

【详解】A、不可以得到两组对角分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；

B、不可以得到两组对边分别平行，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；

C、根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

6. 下列命题的逆命题成立的是（    ）

A. 全等三角形的面积相等 B. 相等的两个实数的平方也相等

C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 全等三角形的对应角相等

【答案】C

【解析】

【分析】先写出各命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定、乘方的意义就、等腰三角形的判定定理分别对各逆命题进行判断．

【详解】解：A、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形为全等三角形，因为面积相等的三角形不一定全等，故错误；

B、相等的两个实数的平方也相等的逆命题为平方相等的两个实数相等，因为平方相等的两个实数相等或相反，故错误；

C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形为等腰三角形，故正确；

D、全等三角形的对应角相等的逆命题为各角对应相等的两个三角形全等，因为各角对应相等的两个三角形大小不一定相等，故错误．

故选：C．

【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．

7. 如图，中，，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，则线段的长为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理得到，证明得到，求得，根据三角形的中位线定理即可得到结论．

详解】解：中，，，

∴，

∵，

∴．

∵平分，

∴，

在和中

，

∴

∴，

∴，

∵是的中线，

∴，

∴是的中位线，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

8. 如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．

【详解】解：∵四边形是矩形，，

∴，

∵是翻折而成，

∴，是直角三角形，

∴，

在中，，

设，

在中，，即，

解得，

故选：C．

【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．

9. 任何实数，可用表示不大于的最大整数，例如，．现对72进行如下操作：．这样对72只进行3次操作后变为1，只需要进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是（    ）

A. 256 B. 255 C. 80 D. 81

【答案】B

【解析】

【分析】根据用表示不大于的最大整数，进行计算即可解答．

【详解】解：，

，

∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是：255，

故选B．

【点睛】本题考查了新定义，算术平方根，实数大小比较，理解表示不大于的最大整数是解题的关键．

10. 如图，正方形中，为上一点，线段的垂直平分线交于，为垂足，交正方形的两边于、，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】①过N作，则，先证明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，证明，得出，证出，即可得出；

②，是等腰直角三角形，，即可得出；

③假设成立，证明，得出，可判断③不一定成立；

④过P作的平行线交于K，证出，，即可得出结论．

【详解】解：①正确；过N作分别交、于S、T，则，

∵四边形是正方形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵线段垂直平分线交于点N，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故①正确；

由①得：，是等腰直角三角形，，

∴，故②正确；

∵，，

∴，

若，

则．

∵，

∴，

∴，显然不一定成立，故③错误；

过P作的平行线交于K，

∴．

∵垂直平，

∴，

∵，

∴，

∴，

作于点G，作于点H，

则，

由①得：，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故④正确；

故选：B．

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 化简：＝___．

【答案】

【解析】

【分析】利用二次根式的性质化简计算即可．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的性质，会利用二次根式的性质化简计算是解答的关键．

12. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________

【答案】2

【解析】

【分析】首先将进行化简，得出=，若满足是整数的条件，则最小正整数n为2.

【详解】解：根据题意，化简得，

=

又∵是整数，

∴满足条件的最小正整数n为2.

【点睛】此题主要考查二次根式的化简.

13. 已知，则代数式的值为________．

【答案】##

【解析】

【分析】把代入计算即可．

【详解】解：把代入，得

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．

14. 如图，菱形ABCD对角线AC=6cm，BD=8cm，AH⊥BC于点H，则AH的长为_______．

【答案】cm

【解析】

【分析】根据菱形的性质求出BC=5，然后根据菱形ABCD面积等于BC∙AH进一步求解即可．

【详解】∵四边形ABCD是菱形，

∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，

∴BC==5cm，

∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，

∵S菱形ABCD=BC×AH，

∴BC×AH=24，

∴AH=cm．

故答案为：cm．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．

15. 如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠OAE＝15°，则∠AEO的度数为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据矩形性质和角平分线的定义求证△ABO为等边三角形，从而得到∠ABO=60°，然后根据平行线的性质得出∠AEB=∠EAD=45°，从而得出BE=AB=BO，然后利用等腰三角形等边对等角的性质求得∠BEO=（180°-30°）÷2=75°，从而使问题得解．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形

∴OA=OB，∠BAD=∠ABC=90°，

又∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=45°，

∴∠BAO=∠BAE +∠EAC =60°

∴△ABO为等边三角形

∴∠AOB=∠ABO=60°，

∴∠OBE=∠ABC-∠ABO=30°

∵AD//BC

∴∠AEB=∠EAD=45°

∴∠BAE=∠AEB

∴BE=AB=BO

∴∠BEO=（180°-30°）÷2=75°

∴∠AEO=∠BEO-∠AEB=30°

故答案为：30°．

【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．

16. 如图，正方形的边长为12，点、分别为、上动点（、均不与端点重合），且，是对角线上的一个动点，则的最小值是________．

【答案】

【解析】

【分析】作点E关于的对称点，则，，连接交AC于点P，过F作的垂线交于点G，则即为所求，由即可求出的长，再由勾股定理即可求出的长．

【详解】解：作点E关于的对称点，连接、，过F作于点G，当、、在同一直线上时，，此时最小，即即为所求．

∵四边形是正方形，

∴，

∴点在边上．

∵，，

∴四边形是矩形，

∴，

∴，

在中，，，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查的是最短路线问题，矩形的判定与性质，勾股定理及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

三、解答题（共8个小题，共72分）

17. 计算：

（1）；

（2）

【答案】（1）0    （2）

【解析】

【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；

（2）先算乘法和除法，再算减法．

【小问1详解】

原式

；

【小问2详解】

原式

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．

18. 已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）16    （2）

【解析】

【分析】（1）先根据完全平方公式把变形，再把a，b的值代入计算；

（2）先根据平方差公式把变形，再把a，b的值代入计算．

【小问1详解】

∵，，

∴

；

【小问2详解】

∵，，

∴

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．

19. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF

【答案】详见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF．

【详解】证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF. （其他证法也可）

20. 如图，每个小正方形的边长都为1．

（1）四边形的周长=________；

（2）四边形的面积=________；

（3）是直角吗？判断并说明理由．

【答案】（1）   

（2）13    （3）是，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理求出、、的长，再求出周长即可；

（2）根据图形得知的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积，根据面积公式求出即可；

（3）根据勾股定理的逆定理可判断的形状．

【小问1详解】

由勾股定理得：，，，

∵，

∴四边形的周长

，

故答案为：；

【小问2详解】

四边形的面积，

故答案为：9；

【小问3详解】

是直角，

理由：连接，由勾股定理得：，

∵，

∴，

∴，

即是直角．

【点睛】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．

21. 在四边形中，，，，，，求对角线的长．

【答案】

【解析】

【分析】连接，过点作交的延长线于点，由勾股定理得，由勾股定理逆定理得为直角三角形，然后证明，求出，，最后根据勾股定理求解即可．

【详解】解：连接，过点作交的延长线于点

∵，，

∴

∵

∴是等腰直角三角形

∴

∴

∵

∴

又∵，

∴

∴，，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

22. 如图在平面直角坐标系中，，，轴且，点从点出发，以1个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以2个单位长度的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为秒．

（1）当四边形是平行四边形时，求的值；

（2）当时，求的值；

（3）当恰好垂直平分时，求的值．

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用平行四边形的性质构建方程即可解决问题．

（2）分两种情形：四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形，分别求解即可．

（3）利用线段垂直平分线的性质构建方程即可解决问题．

【小问1详解】

∵，

∴当时，四边形是平行四边形，

∵，，

∴，

∴

【小问2详解】

①当四边形是平行四边形时，，

∴，

∴

②当四边形是等腰梯形时，，

此时，

∵，

∴，

∴，

∴

综上，或

【小问3详解】

∵，

∴．

当垂直平分时，则，

∴，

解得

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形，线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题．

23. 如图，正方形中，点为边上一动点，作交、分别于、点，连接．

（1）若点为的中点，求证：点为的中点；

（2）若点为的中点，，，求的长；

（3）若正方形边长为4，直接写出的最小值________．

【答案】（1）见解析    （2）2   

（3）

【解析】

【分析】（1）由，推出，由，，推出，即可证明F点为的中点；

（2）延长到N，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．

（3）取的中点M，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当C、P、M共线时，的值最小，则可求出答案．

【小问1详解】

解：∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∵点为的中点，

∵，

∵，

∴，

∴F点为的中点；

【小问2详解】

延长到，使得，连接，

∵，

∴．

∵点为的中点，

∴由（1）可知，

∵在和中，

，，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴；

【小问3详解】

取的中点M，连接，，

∵，

∴，

∴．

∵，

∴C、P、M共线时，的值最小，最小值为．

故答案：．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．

24. 如图1，在矩形ABCD中，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．

（1）求证：BD⊥EC；

（2）求证：＝；

（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）证明，则，，即可求解；

（2）利用等面积法得到：，变形为；在直角中，利用勾股定理知，结合推知；

（3）证明，则为等腰直角三角形，故．

【详解】解：（1）如图1，四边形是矩形，点在的延长线上，

，

又，，

，

，

，

即，

故；

（2）如图1，四边形是矩形，点在的延长线上，

．

．

由（1）知，在直角中，．

，

．

．

在直角中，．

，即．

，

；

（3）如图2，在线段上取点，使得，

在与中，，，，

，

，，

，

为等腰直角三角形，

．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．