第02讲函数的单调性与最大（小）值（讲+练）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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这是一份第02讲函数的单调性与最大（小）值（讲+练）-高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第02讲函数的单调性与最大（小）值(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：函数的单调性①求函数的单调区间②根据函数的单调性求参数③复合函数的单调性④根据函数单调性解不等式高频考点二：函数的最大（小）值①利用函数单调性求最值②根据函数最值求参数③不等式恒成立问题④不等式有解问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第02讲函数的单调性与最大（小）值（精练）第一部分：知识点精准记忆1、函数的单调性（1）单调性的定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数（2）单调性简图：（3）单调区间（注意先求定义域）若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．2、函数的最值（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最大值（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足①对于任意的，都有；②存在，使得则为最小值3、常用高频结论（1）设，.①若有或，则在闭区间上是增函数；②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.（2）函数相加或相减后单调性：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）（3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．（4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．第二部分：课前自我评估测试一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）则在R上是增函数 ( )【答案】错误在R上是增函数的充分条件是对，且时，有成立．故答案为：错误2．（2021·全国·高二课前预习）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得. ( )【答案】错误二、单选题1．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）下列函数中，在区间上是减函数的是（）A． B． C． D．【答案】D解：对于A，函数在区间上是增函数，故A不符合题意；对于B，函数在区间上是增函数，故B不符合题意；对于C，函数在区间上是增函数，故C不符合题意；对于D，函数在区间上是减函数，故D符合题意.故选：D.2．（2022·全国·高一）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，则实数m的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)【答案】D因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，所以，得，所以实数m的取值范围是(－∞，1)，故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝在[2，3]上的最小值为（）A．2 B．C． D．－【答案】By＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上的最大值是,最小值是,则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A由题意可知抛物线得对称轴为,开口向上,在对称轴的左侧,对称轴的左侧图象为单调递减,在对称轴左侧时有最大值,上有最大值,最小值,当时,, 的取值范围必须大于或等于,抛物线得图象关于对称,,所以.故选：A.第三部分：典型例题剖析高频考点一：函数的单调性①求函数的单调区间1．（2022·全国·高三专题练习）的单调增区间为（）A． B． C． D．【答案】A由题得二次函数的图象的对称轴为，因为抛物线开口向上，所以函数的单调增区间为.故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象如图所示，其增区间是（）A． B． C． D．【答案】C结合图象分析可知，函数的图象在区间是上升的，所以对应其增区间是．故选：C．3．（2021·湖北·孝感市孝南区第二高级中学高一期中）函数的减区间是（）A． B． C． D．【答案】D易知函数的图象如图所示，所以函数的单调递减区间为.故选：D.4．（2021·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习）已知函数在R上单调递减，则函数的增区间为（）A． B． C． D．【答案】C由函数在上单调递减可知，∴开口向下，对称轴为，∴在上单调递增.故选：C5．（2021·全国·高一专题练习）函数的增区间是A． B． C． D．【答案】C由二次函数的图象可知在上是增函数故选：C②根据函数的单调性求参数一、单选题1．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B可知函数在R上单调递增，所以；对称轴，即；临界点处，即；综上所述：故选：B2．（2022·天津河西·高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】C解：f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，则，故k≤﹣2，故选：C．3．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（）A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．【答案】B解：因为且在上单调递增，所以，解得，即故选：B4．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）已知函数在区间上为减函数，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．【答案】B函数在区间上为减函数，所以即，所以.故选：B5．（2022·广西梧州·高二期末（理））已知函数，若对任意的，，且，总有，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B依题意可得，在上为减函数，则，即的取值范围是故选：B③复合函数的单调性1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则该函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．【答案】D由，解得或，所以函数的定义域为可看作是由，复合而成的，的单调递增区间为，在上单调递增，由复合函数的单调性的判定知，函数的单调递减区间为故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是A． B． C． D．【答案】D设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选D．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．3．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（　　）A． B．，C． D．【答案】B由，可知函数开口向上，对称轴，且．因为函数在区间，上单调递减，所以原函数的单调递增区间，．故选:B．4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．【答案】D解：的定义域为：，解得：.令，对称轴为，单调增区间为，减区间为为单调递增函数，所以的单调递减区间为.故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（）A．， B．，C．， D．，【答案】C因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是.因此，函数的单调递增区间为、.故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，在利用复合函数法得出内层函数的单调区间时，还应注意真数要恒大于零.④根据函数单调性解不等式1．（2022·内蒙古包头·一模（文））设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D函数的图象如图所示，若，则需满足或，解得或，即x的取值范围是，故选：D.2．（2022·河北保定·高一期末）已知函数是上的增函数（其中且），则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D由题意必有，可得，且，整理为．令由换底公式有，由函数为增函数，可得函数为增函数，注意到，所以由，得，即，实数a的取值范围为．故选:D.3．（2022·四川绵阳·高一期末）若，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C因为，且函数的定义域为，故函数为定义域上的偶函数，又当时，在上单调递增，所以，则有，解得.故选：C4．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数关于直线对称，且当时，恒成立，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B由题意，函数关于直线对称，所以函数为偶函数，又由当时，恒成立，可得函数在为单调递减函数，则在为单调递增函数，因为，可得，即或，解得或，即不等式的解集为，即满足的x的取值范围是.故选：B.5．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围（）A． B． C． D．【答案】D因为函数是定义在上的增函数，则满足，所以，，解得.故选：D.6．（2022·陕西陕西·一模（文））已知，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C，当时，，且单调递增；当时，，且单调递增，所以在单调递增，不等式等价于，解得.故选：C高频考点二：函数的最大（小）值①利用函数单调性求最值1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，则（）A．是单调递增函数 B．是奇函数C．函数的最大值为 D．【答案】CA：由解析式知：是单调递减函数，错误；B：由，显然不关于原点对称，不是奇函数，错误；C：由A知：在上，正确；D：由A知：，错误.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间上的最小值为A．72 B．36 C．12 D．0【答案】D解：，令，即解得当时，当时，∴，而端点的函数值，，得．故选D.3．（2022·全国·高三专题练习）设函数是定义在上的增函数，实数使得对于任意都成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）＝x2+ax﹣a+1＝（x）2a+1．①当0，即a＞0时，g（x）min＝g（0）＝1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②当01，即﹣2≤a≤0时，g（x）min＝g（）a+1＞0，∴﹣2﹣2a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③当1，即a＜﹣2时，g（x）min＝g（1）＝2＞0，满足，故a＜﹣2．综上的取值范围，故选A.4．（2021·全国·高一专题练习）已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A解：因为，所以，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以函数在在当时，，所以要使对，，使得，即是求实数的范围，使得存在使得成立，即存在使得成立，因此只需满足即可．又在上为增函数，因此．故选：A．②根据函数最值求参数1．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）函数在上的最大值为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C由题意，时，函数在，上单调递减，，，故选：C．2．（2021·全国·高一单元测试）设函数在上的最小值为7，则在上的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D，其中为奇函数．由条件知上有，故在上有，所以在上有，故选：D．3．（2021·浙江·高一单元测试）若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（）A．-1 B．1 C．3 D．1或3【答案】B解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，所以，故选：B4．（2019·贵州·兴仁市凤凰中学高一阶段练习）已知函数，，并且函数的最小值为,则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B解：的对称轴为，∵在上的最小值为，，∴的取值范围是．故选B．5．（2021·上海·高一单元测试）一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则实数a的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】D因为一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得，故选D．6．（2021·广东·广州四十七中高一期中）己知函数有最小值，则a的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C当时，，此时；当时，.①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为，②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，需解得，综上，满足题意的实数a的取值范围为：，故选：C．7．（2021·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最小值为4，则实数的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】C函数图象对称轴为，当，即时，在上单调递减，则，解得或，于是得，当时，在上单调递增，则，解得或，于是得，当时，，即无解，综上得：或所以实数的取值集合为.故选：C③不等式恒成立问题1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（文））已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．或 B．或C． D．【答案】D因为，所以．当且仅当，即时取等号，又因为恒成立，所以，解得．故选：D.2．（2022·甘肃武威·高一期末）对，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C．或 D．或【答案】A不等式对一切恒成立，当，即时，恒成立，满足题意；当时，要使不等式恒成立，需，即有，解得.综上可得，的取值范围为.故选：A.3．（2022·四川·遂宁中学高一开学考试）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B由题意在时恒成立，函数是减函数，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查不等式恒成立，解题方法是利用分离参数法转化为求函数的最值．转化方法：（1）恒成立，（2）恒成立，4．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数，当时，不等恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B由题意，当时，是减函数；当时，是减函数，且，所以函数在上单调递减.因为，所以，即在上恒成立，所以，得.故选：B.5．（2022·广西梧州·高二期末（理））已知函数f(x)＝x，g(x)＝2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2【答案】A解：由f(x)＝x得，，当x∈[，1]时,，∴f(x)在[，1]单调递减，∴f(1)＝5是函数的最小值，当x∈[2，3]时，g(x)＝2x+a为增函数，∴g(2)＝a+4是函数的最小值，又∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，可得f(x)在x1∈[，1]的最小值不小于g(x)在x2∈[2，3]的最小值，即5≥a+4，解得：a≤1，故选：A．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：(1)，，使得成立等价于，(2)，，不等式恒成立等价于，(3)，，使得成立等价于，(4)，，使得成立等价于，④不等式有解问题1．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（）．A． B．C． D．【答案】A因为对于任意的，存在，使，则，显然在上单调递减，则，当时，，即在上单调递增，则，由解得：，所以实数a的取值范围为.故选：A【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，故.2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B对于任意，存在有等价于.由，函数单调递增，可得，，对称轴为，时，，，解得.故选：B3．（2022·浙江·高三专题练习）当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】A不等式有解即不等式有解，令，当时，，因为当时不等式有解，所以，实数的取值范围是，故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查根据不等式有解求参数，可通过构造函数并通过求函数的值域的方式求解，考查二次函数的值域的求法，考查推理能力，是中档题.4．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）已知，，若对，，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C因为，，使得，所以因为在时，单调递减，在时，单调递增，故，而在上单调递减，，故，解得：，故选：.5．（2021·全国·高一单元测试）若，使得，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不等式变形为，然后求出在时的最小值，即可得．【详解】解：∵，∴，其中，当且仅当，即时等号成立，∴．故选：B第四部分：高考真题感悟1．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（）A． B． C． D．【答案】D对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.3．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】C对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C4．（2019·北京·高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A． B．y= C． D．【答案】A函数，在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A.5．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.【答案】使得，使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图只需，即，即的最大值是第五部分：第02讲函数的单调性与最大（小）值（精练）一、单选题1．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]【答案】A对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以.故选：A2．（2022·上海·华师大二附中高一期末）已知函数可表示为则下列结论正确的是（）A． B．的值域是C．的值域是 D．在区间上单调递增【答案】BA. ，所以该选项错误；B. 由表得的值域是，所以该选项正确；C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.故选：B3．（2022·安徽蚌埠·高一期末）若函数在定义域上的值域为，则（）A． B． C． D．【答案】A因为的对称轴为，且所以若函数在定义域上的值域为，则故选：A4．（2022·河南·高二阶段练习（理））函数的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D由，得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：D5．（2022·浙江杭州·高一期末）已知设，则函数的最大值是（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B当，即时，在上单调递增，所以，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以；综上：函数的最大值为1故选：B6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C由题意得：在上恒成立.即时，恒成立，符合题意，时，只需，解得：，综上：，故选：C.7．（2022·全国·高一期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A因为函数的值域为，所以，所以，解得或，所以实数的取值范围为.故选：A8．（2022·全国·高三专题练习）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（）A． B．或 C． D．或【答案】B对任意，函数的值恒大于零设，即在上恒成立.在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在轴上方，即，解得或故选：B二、填空题9．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）函数的单调减区间为__________．【答案】##解：函数的定义域为，令，，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为，单调增区间为.故答案为：.10．（2022·全国·高一）函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）