专题16 三角形之飞镖模型-中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）

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中考数学压轴大题之经典模型培优案专题16三角形之飞镖模型  模型1：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．   模型2：边的飞镖模型 如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.模型分析如图，延长BD交AC于点E。∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.①  ，∵BE+EC=BD+DE+EC，  DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD.  【例1】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD内部，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请说明你的结论．（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的关系为　   　；（3）根据（2）的结论求图3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【例2】（2019秋•吉州区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　   　°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．【例3】（2022春•乐平市期末）在△ABC中，两条高BD、CE所在的直线相交于点O．（1）当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）当∠BAC为钝角时，如图2，请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？不需证明．【例4】（2022春•衡山县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝　   　；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 　   　；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．一．选择题1．（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（　　）A．20° B．15° C．30° D．25°2．（2010•武汉）如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（　　）A．100° B．80° C．70° D．50°3．（2010•南昌）如图，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ，则下列关系式中，正确的是（　　）A．θ＝α+β B．θ＝2α+2β C．θ+α+β＝180° D．θ+α+β＝360°二．解答题（共20小题）4．（2022•雁塔区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为对角线BD上一点，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延长线于点F．求证：FB＝DB．5．（2020春•如东县期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝　   　°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数　   　（用含α和β的式子表示）；③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．6．（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　   　°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．7．（2019秋•陈仓区期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD．（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．（3）如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系？（不需证明）（4）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．8．（2019•锦江区模拟）在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF并延长，分别交DA，BA的延长线于点H，G．（1）如图1，若四边形ABCD是菱形，∠ECF＝∠BCD，求证：AC2＝AH•AG；（2）如图2，若四边形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，BC＝4，设AE＝x，AG＝y，求y与x的函数关系式；（3）如图3，若四边形ABCD是矩形，AB：AD＝1：2，CG＝CH，∠GCH＝45°，请求tan∠AHG的值． 9．（2017春•郫都区期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．10．（2017春•鼓楼区校级期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间的数量关系．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝　   　．（3）解决问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　   　．（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．11．（2016春•门头沟区期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据学习《观察猜想与证明》的学习经验继续完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成（2）﹣（3）．（1）过点P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴　   　∥　   　∴∠D＝　   　又∵PE∥AB∴∠B＝∠BPE∴∠BPD＝　   　．（2）如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．（3）如图3，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（直接写出结果）12．（2016春•盐都区期中）【课本拓展】我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的连个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？【尝试探究】（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？【初步应用】（2）如图2，在△ABCA纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝　   　；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出结论．【拓展提升】（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB、∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）13．（2014春•萧山区期中）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，我们过点P作AB、CD的平行线PE，则有AB∥CD∥PE，故∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，故∠BPE＝∠BPD+∠DPE，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（3）设BF交AC于点P，AE交DF于点Q．已知∠APB＝130°，∠AQF＝110°，利用（2）的结论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为　   　度，∠A比∠F大　   　度．14．（2012春•清浦区校级期中）同学们都知道，平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种．已知AB∥CD．如图1，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．（1）已知AB∥CD．如图2，点P在AB、CD内部时，上述结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请你说明你的结论；（2）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？说明理由；（3）利用第（2）小题的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．15．（2010春•中卫校级期末）如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：①求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；②如图2，利用上面的结论，你能求出五角星五个“角”的和吗？③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，并说明理由．16．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．17．（2009春•无为县校级期末）星期天，小明见爸爸愁眉苦脸在看一张图纸，他便悄悄地来到爸爸身边，想看爸爸为什么犯愁．爸爸见到他，高兴地对他说：“来帮我一个忙，你看这是一个四边形零件的平面图，它要求∠BDC等于140°才算合格，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小明解释这是为什么，小明很轻松地说出了原因，并用如下的三种方法解出此题．请你代小明分别说出不合格的理由．（1）如图1，连接AD并延长．（2）如图2，延长CD交AB于E．（3）如图3，连接BC．18．（2008•莆田）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．19．（2008春•三明期末）探究与思考：（1）如图①，∠BPC是△ABP的一个外角，则有结论：∠BPC＝∠A+∠B成立．若点P沿着线段PB向点B运动（不与点B重合），连接PC形成图形②，我们称之为“飞镖”图形，那么请你猜想“飞镖”图形中∠BPC与∠A、∠B、∠C之间存在的数量关系？并证明你的猜想；（2）利用（1）的结论，请你求出五角星（如图③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，说明你的理由；（3）若五角星中的点B向右运动，形成如图④⑤形状，（2）中的结论还成立吗？请从图④⑤中任选一个图形说明理由．