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高中物理沪科版（2020）必修第二册第二节 平抛运动教案
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这是一份高中物理沪科版（2020）必修第二册第二节 平抛运动教案，共15页。教案主要包含了平抛运动的临界问题，实验等内容，欢迎下载使用。
一、平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3.研究方法：运动的合成与分解
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，
(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角).
(4)合位移
大小：s＝
方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
4.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
例1.(多选)(2019·广东湛江期末)关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A.它是加速度不变的匀变速曲线运动
B.它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动的合运动
C.它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动的合运动
D.它是速度大小不变的曲线运动
解析：选AB.平抛运动只受重力，所以平抛运动为加速度不变的匀变速曲线运动，故A正确；平抛运动在水平方向上不受力，做匀速直线运动，在竖直方向上初速度为零，仅受重力，做自由落体运动，故B正确，C错误；平抛运动的速度大小和方向都发生改变，故D错误．
例2.(多选)从某一高度水平抛出质量为m的小球，不计空气阻力，经时间t落在水平面上，速度方向偏转角θ，则以下结论正确的是( )
A.小球平抛初速度为gttan θ
B.小球着地速度为
C.该过程小球的速度的变化量为gt
D.该过程小球的水平射程为
解析：选CD.根据题意可知tan θ＝＝，则初速度v0＝，落地的速度v＝，故A、B错误；根据Δv＝gt该过程中小球速度的变化量为gt，故C正确；小球的水平射程x＝v0t＝，故D正确。
例3.(10分)在一定高度处把一个小球以v0＝30 m/s的速度水平抛出，它落地时的速度大小vt＝50 m/s，如果空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小球在空中运动的时间t；
(2)小球在平抛运动过程中通过的水平位移x和竖直位移y；
(1)小球在平抛运动过程的平均速度大小.
解析：(1)设小球落地时的竖直分速度为vy，由运动的合成可得vt＝
解得vy＝＝ m/s＝40 m/s
小球在竖直方向上做自由落体运动，有vy＝gt，解得t＝＝ s＝4 s.
(3)小球在水平方向上的位移为x＝v0t＝30×4 m＝120 m
小球的竖直位移为y＝gt2＝×10×42 m＝80 m
(3)小球位移的大小为s＝＝ m＝40 m
由平均速度公式可得＝＝ m/s＝10 m/s.
5.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α.
证明：如图6所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
图6
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
例4.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则θ减小
解析：选D.如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝，选项A错误；平抛运动的时间t＝，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝＝，tan θ＝＝，则tan θ＝2tan α，但α≠，选项B错误；由于tan θ＝，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确．
6.常见的两类情况
①顺着斜面抛：如图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角．
结论有：(1)速度方向与斜面夹角恒定；
(2)水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝＝＝；
(3)运动时间t＝.
例5.(多选)在倾角为37°的斜面上，从A点以6 m/s的速度水平抛出一小球，小球落在B点，如图所示，则以下说法正确的是(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A.小球在空中飞行时间为0.85 s
B.A、B两点距离为6.75 m
C.小球在B点时的速度方向与水平方向夹角的正切值为1.5
D.到达B点时的速度为12 m/s
解析：选BC.如图所示，vx＝v0，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2，tan 37°＝＝，所以t＝＝0.9 s，所以A错误；A、B两点的距离s＝＝6.75 m，B正确；小球在B点，tan α＝＝＝1.5，所以C正确；到达B点时的速度v＝＝ m/s<12 m/s，D错误．
②对着斜面抛：做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角，如图所示．
结论有：(1)速度方向与斜面垂直；
(2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝；
(3)运动时间t＝.
例6.如图所示，以9.8 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，这段飞行所用的时间为(g取9.8 m/s2，不计空气阻力)( )
A. s B. s C. s D．2 s
解析：选C.如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度vy，则有tan 30°＝，vy＝gt，解两式得t＝＝＝ s，故C正确
二、平抛运动的临界问题
在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点．
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)分解速度或位移．
(3)若有必要，画出临界轨迹
例7.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v从图示位置飞出，不计空气阻力，g取10 m/s2，欲打在第4级台阶上，则v的取值范围是( )
A. m/s
若恰好打在第4级台阶的边缘，则有4h＝gt42，4l＝v4t4，解得v4＝2 m/s
所以打在第4级台阶上应满足的条件： m/s
A.6 m/s B.12 m/s C.4 m/s D.2 m/s
解析：选AB.刚好能越过围墙时，水平方向：L＝v0t，竖直方向：H－h＝gt2，解得v0＝5 m/s
刚好能落到马路外边缘时，水平方向：L＋x＝v0′t′
竖直方向：H＝gt′2
解得v0′＝13 m/s，所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，速度的取值5 m/s≤v≤13 m/s，故选A、B.
三、实验：探究平抛运动的特点
(一)实验思路：
(1)基本思路：根据运动的分解，把平抛运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动，分别研究物体在这两个方向的运动特点.
(2)平抛运动的分解：可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动.
(二)进行实验：
方案一：频闪照相(或录制视频)的方法
(1)通过频闪照相(或视频录制)，获得小球做平抛运动时的频闪照片(如图1所示)；
图1
(2)以抛出点为原点，建立直角坐标系；
(3)通过频闪照片描出物体经过相等时间间隔所到达的位置；
(4)测量出经过T,2T,3T，…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；
(5)分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点.
抛出时间
T
2T
3T
4T
5T
水平位移
竖直位移
结论
水平分运动特点
竖直分运动特点
方案二：分别研究水平和竖直方向分运动规律
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
图2
(1)如图2所示，用小锤击打弹性金属片后，A球做________运动；同时B球被释放，做__________运动.观察两球的运动轨迹，听它们落地的声音.
(2)改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，即改变A球的初速度，发现两球____________，说明平抛运动在竖直方向的分运动为______________.
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
1.装置和实验
(1)如图3所示，安装实验装置，使斜槽M末端水平，使固定的背板竖直，并将一张白纸和复写纸固定在背板上，N为水平装置的可上下调节的向背板倾斜的挡板.
图3
(2)让钢球从斜槽上某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动，使小球的轨迹与背板平行.钢球落到倾斜的挡板N上，挤压复写纸，在白纸上留下印迹.
(3)上下调节挡板N，进行多次实验，每次使钢球从斜槽上同一(选填“同一”或“不同”)位置由静止滚下，在白纸上记录钢球所经过的多个位置.
(4)以斜槽水平末端端口处小球球心在木板上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴.
(5)取下坐标纸，用平滑的曲线把这些印迹连接起来，得到钢球做平抛运动的轨迹.
(6)根据钢球在竖直方向是自由落体运动的特点，在轨迹上取竖直位移为y、4y、9y…的点，即各点之间的时间间隔相等，测量这些点之间的水平位移，确定水平方向分运动特点.
(7)结论：平抛运动在相等时间内水平方向位移相等，平抛运动水平方向为匀速直线运动.
2.注意事项：
(1)实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平).
(2)背板必须处于竖直面内，固定时要用铅垂线检查坐标纸竖线是否竖直.
(3)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放.
(4)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时钢球球心在木板上的投影点.
例9.在做“探究平抛运动的特点”的实验中，为了确定小球不同时刻在空中所通过的位置，实验时用了如图所示的装置.先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平整的木板表面钉上白纸和复写纸.将该木板竖直立于水平地面上，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A；将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B；将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，得到痕迹C.若测得木板每次移动距离x＝10.00 cm，A、B间距离y1＝5.02 cm，B、C间距离y2＝14.82 cm.请回答以下问题：(g＝9.80 m/s2)
(1)为什么每次都要使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放？________________________
(2)每次把木板移动相同的水平距离，原因是：____________________________________
________________________________________________________________________.
(3)根据以上直接测量的物理量求得小球初速度的表达式为v0＝_______.(题中所给字母表示)
(4)小球初速度的值为v0＝________ m/s.
解析 (1)为了确保小球每次抛出的轨迹相同，应该使抛出时的初速度相同，因此每次都应使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放；
(2)因为小球水平方向做匀速直线运动，由x＝v0t知，若x相同，则时间t相等.
(3)在竖直方向上：Δy＝y2－y1＝gt2，t＝
水平方向上：x＝v0t，初速度：v0＝＝x；(4)代入数据解得：v0＝1.00 m/s.
1.关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A.因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动
B.平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C.平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D.平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
解析：选D.做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，B错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误．
2.(2019·内蒙古赤峰期末)热播电视剧《知否，知否》中有我国的一种传统投掷游戏——“投壶”，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度分别以水平速度v1、v2抛出“箭矢”(可视为质点)都能投入地面上的“壶”内．若“箭矢”在空中的运动时间分别为t1、t2，忽略空气阻力．则( )
A．t1>t2 B．t1＝t2
C．v1＝v2 D．v1>v2
解析：选A.箭矢做平抛运动，竖直分运动是自由落体运动，根据h＝gt2，有：t＝，故t1＞t2，故A正确，B错误；水平分位移相同，由于t1＞t2，根据x＝v0t，有：v1＜v2，故C、D均错误．
3.(2018·湖北省武汉市调研)如图1是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出．不计空气阻力，则( )
A.a和b的飞行时间相同
B.b的飞行时间比c的短
C.a的水平初速度比b的小
D.c的水平初速度比a的大
解析：选D.根据t＝可知，b下落的高度比a大，则b飞行的时间较长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b的竖直高度比c大，则b飞行的时间比c长，选项B错误；a的竖直高度比c大，则a飞行的时间比c长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选项D正确．
4.(2019·黑龙江鸡西期末)如图所示，以10 m/s 的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上(g取10 m/s2)，可知物体完成这段飞行的时间是( )
A. s B. s
C．1 s D．2 s
解析：选C.物体垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上，根据几何关系可知此时速度方向与水平方向的夹角为45°，由平抛运动的规律得vy＝v0tan 45°＝gt，代入数据解得t＝1 s，故选项C正确，A、B、D错误．
5.(2019·福建四校联考)如图所示，从倾角为θ的斜面顶端分别以v0和2v0的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力，则a、b两球 ( )
A.水平位移之比为1∶2
B.下落的高度之比为1∶2
C.在空中飞行的时间之比为1∶2
D.落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1∶2
解析：选C.因为两个小球均落到斜面上，所以二者的位移偏转角相同，又由于初速度之比为1∶2，所以根据位移偏转角的正切值tan θ＝，所以运动时间之比为1∶2，C正确；再结合x＝v0t，可得水平位移之比为1∶4，A错误；再根据h＝gt2，下落的高度之比为1∶4，B错误；再根据速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍可知，速度偏转角相同，速度方向与斜面夹角之比为1∶1，D错误．
6.(2018·广东省韶关市调研)如图6所示，离地面高h处有甲、乙两个小球，甲以初速度v0水平射出，同时乙以大小相同的初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下，若甲、乙同时到达地面，重力加速度为g，则初速度v0的大小是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.甲平抛运动的时间为：t＝；乙在斜面下滑的加速度为：a＝＝gsin 45°＝g.根据h＝v0t＋at2 ，代入数据得v0＝，故A正确，B、C、D错误．
7.如图所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则( )
A.小球击中斜面时的速度大小为5 m/s
B.小球击中斜面时的速度大小为4 m/s
C.小球做平抛运动的水平位移是1.6 m
D.小球做平抛运动的竖直位移是1 m
解析：选A.P点小球的速度方向与斜面垂直，则有：tan 37°＝，解得：vy＝＝ m/s＝4 m/s，小球击中斜面时的速度大小为：v＝＝ m/s＝5m/s，A正确，B错误；小球运动的时间：t＝＝ s＝0.4 s，可知水平位移：x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m，竖直位移：y＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m，C、D错误.
8.某军区某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动简化为平抛运动，如图2所示，则下列说法正确的是( )
A.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变
B.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变小
C.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变大
D.若将炮弹初速度减为，炮弹位移变为原来的
解析：选A.因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C项错误，A项正确；由tan θ＝得：t＝，而h＝gt2，故h∝v02，若将炮弹初速度减为，则炮弹下落高度变为原来的，位移也变为原来的，D项错误.
9.如图所示，从斜面上的A点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点，已知＝75 m，α＝37°，不计空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A.物体的位移大小为60 m
B.物体飞行的时间为6 s
C.物体的初速度v0大小为20 m/s
D.物体在B点的速度大小为30 m/s
解析：选C.物体的位移大小等于初、末位置的距离，位移大小l＝＝75 m，A错误；平抛运动的竖直位移大小h＝sin α＝75×0.6 m＝45 m，根据h＝gt2得，物体飞行的时间t＝＝ s＝3 s，B错误；物体的初速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，C正确；物体落到B点的竖直分速度vBy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s，根据平行四边形定则知，物体落在B点的速度vB＝＝ m/s＝10 m/s，D错误.
10.(2019·四川宜宾期末)如图所示，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a球抛出时的高度较b球的高，P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力．与a球相比，b球( )
A.初速度较小
B.速度变化率较小
C.落地时速度一定相等
D.落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小
解析：选D.根据竖直方向h＝gt2，所以a运动时间长，而水平方向匀速，水平位移相同，所以a的水平速度小，A错误；速度变化率等于加速度大小，两小球加速度均为g，相同，B错误；因为落地速度是竖直速度与水平速度的合速度，而a的竖直速度大，水平速度小，所以无法具体比较两物体落地速度大小，C错误；落地时速度方向与其初速度方向的夹角正切值tan θ＝，a的初速度小，而运动时间长，所以a落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大，D正确．
11.如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平地面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A.A、B的运动时间相同
B.A、B沿x轴方向的位移相同
C.A、B运动过程中的加速度大小相同
D.A、B落地时速度大小相同
解析：选D.设O点与水平地面的高度差为h，由h＝gt12，＝gt22sin θ可得：t1＝，t2＝，故t1
(1)运动员从O点运动到A点的时间；
(2)O点与A点的距离．
解析：(1)运动员从O点做平抛运动，将位移分解，
水平位移为：x＝v0t 竖直位移为：y＝gt2
由几何知识可得：＝tan 37°
联立以上方程解得：t＝3 s.
(2)由(1)可知水平位移为：x＝v0t＝20×3 m＝60 m
竖直位移为：y＝gt2＝×10×32m＝45 m
所以O点与A点的距离为：s＝＝ m＝75 m.
答案：(1)3 s (2)75 m
13.如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点.求：(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？
答案 (1) (2)
解析 (1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos 30°＝v0t，竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝.
(2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动.
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得t′＝＝＝tan 30°＝
一、平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．
2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3.研究方法：运动的合成与分解
如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，
(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角).
(4)合位移
大小：s＝
方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
4.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
(4)速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．
例1.(多选)(2019·广东湛江期末)关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A.它是加速度不变的匀变速曲线运动
B.它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动的合运动
C.它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动的合运动
D.它是速度大小不变的曲线运动
解析：选AB.平抛运动只受重力，所以平抛运动为加速度不变的匀变速曲线运动，故A正确；平抛运动在水平方向上不受力，做匀速直线运动，在竖直方向上初速度为零，仅受重力，做自由落体运动，故B正确，C错误；平抛运动的速度大小和方向都发生改变，故D错误．
例2.(多选)从某一高度水平抛出质量为m的小球，不计空气阻力，经时间t落在水平面上，速度方向偏转角θ，则以下结论正确的是( )
A.小球平抛初速度为gttan θ
B.小球着地速度为
C.该过程小球的速度的变化量为gt
D.该过程小球的水平射程为
解析：选CD.根据题意可知tan θ＝＝，则初速度v0＝，落地的速度v＝，故A、B错误；根据Δv＝gt该过程中小球速度的变化量为gt，故C正确；小球的水平射程x＝v0t＝，故D正确。
例3.(10分)在一定高度处把一个小球以v0＝30 m/s的速度水平抛出，它落地时的速度大小vt＝50 m/s，如果空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小球在空中运动的时间t；
(2)小球在平抛运动过程中通过的水平位移x和竖直位移y；
(1)小球在平抛运动过程的平均速度大小.
解析：(1)设小球落地时的竖直分速度为vy，由运动的合成可得vt＝
解得vy＝＝ m/s＝40 m/s
小球在竖直方向上做自由落体运动，有vy＝gt，解得t＝＝ s＝4 s.
(3)小球在水平方向上的位移为x＝v0t＝30×4 m＝120 m
小球的竖直位移为y＝gt2＝×10×42 m＝80 m
(3)小球位移的大小为s＝＝ m＝40 m
由平均速度公式可得＝＝ m/s＝10 m/s.
5.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α.
证明：如图6所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
图6
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
例4.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则θ减小
解析：选D.如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝，选项A错误；平抛运动的时间t＝，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝＝，tan θ＝＝，则tan θ＝2tan α，但α≠，选项B错误；由于tan θ＝，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确．
6.常见的两类情况
①顺着斜面抛：如图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角．
结论有：(1)速度方向与斜面夹角恒定；
(2)水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝＝＝；
(3)运动时间t＝.
例5.(多选)在倾角为37°的斜面上，从A点以6 m/s的速度水平抛出一小球，小球落在B点，如图所示，则以下说法正确的是(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A.小球在空中飞行时间为0.85 s
B.A、B两点距离为6.75 m
C.小球在B点时的速度方向与水平方向夹角的正切值为1.5
D.到达B点时的速度为12 m/s
解析：选BC.如图所示，vx＝v0，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2，tan 37°＝＝，所以t＝＝0.9 s，所以A错误；A、B两点的距离s＝＝6.75 m，B正确；小球在B点，tan α＝＝＝1.5，所以C正确；到达B点时的速度v＝＝ m/s<12 m/s，D错误．
②对着斜面抛：做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角，如图所示．
结论有：(1)速度方向与斜面垂直；
(2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝；
(3)运动时间t＝.
例6.如图所示，以9.8 m/s的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，这段飞行所用的时间为(g取9.8 m/s2，不计空气阻力)( )
A. s B. s C. s D．2 s
解析：选C.如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度vy，则有tan 30°＝，vy＝gt，解两式得t＝＝＝ s，故C正确
二、平抛运动的临界问题
在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点．
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)分解速度或位移．
(3)若有必要，画出临界轨迹
例7.一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v从图示位置飞出，不计空气阻力，g取10 m/s2，欲打在第4级台阶上，则v的取值范围是( )
A. m/s
若恰好打在第4级台阶的边缘，则有4h＝gt42，4l＝v4t4，解得v4＝2 m/s
所以打在第4级台阶上应满足的条件： m/s
A.6 m/s B.12 m/s C.4 m/s D.2 m/s
解析：选AB.刚好能越过围墙时，水平方向：L＝v0t，竖直方向：H－h＝gt2，解得v0＝5 m/s
刚好能落到马路外边缘时，水平方向：L＋x＝v0′t′
竖直方向：H＝gt′2
解得v0′＝13 m/s，所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，速度的取值5 m/s≤v≤13 m/s，故选A、B.
三、实验：探究平抛运动的特点
(一)实验思路：
(1)基本思路：根据运动的分解，把平抛运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动，分别研究物体在这两个方向的运动特点.
(2)平抛运动的分解：可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动.
(二)进行实验：
方案一：频闪照相(或录制视频)的方法
(1)通过频闪照相(或视频录制)，获得小球做平抛运动时的频闪照片(如图1所示)；
图1
(2)以抛出点为原点，建立直角坐标系；
(3)通过频闪照片描出物体经过相等时间间隔所到达的位置；
(4)测量出经过T,2T,3T，…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；
(5)分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点.
抛出时间
T
2T
3T
4T
5T
水平位移
竖直位移
结论
水平分运动特点
竖直分运动特点
方案二：分别研究水平和竖直方向分运动规律
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
图2
(1)如图2所示，用小锤击打弹性金属片后，A球做________运动；同时B球被释放，做__________运动.观察两球的运动轨迹，听它们落地的声音.
(2)改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，即改变A球的初速度，发现两球____________，说明平抛运动在竖直方向的分运动为______________.
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
1.装置和实验
(1)如图3所示，安装实验装置，使斜槽M末端水平，使固定的背板竖直，并将一张白纸和复写纸固定在背板上，N为水平装置的可上下调节的向背板倾斜的挡板.
图3
(2)让钢球从斜槽上某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动，使小球的轨迹与背板平行.钢球落到倾斜的挡板N上，挤压复写纸，在白纸上留下印迹.
(3)上下调节挡板N，进行多次实验，每次使钢球从斜槽上同一(选填“同一”或“不同”)位置由静止滚下，在白纸上记录钢球所经过的多个位置.
(4)以斜槽水平末端端口处小球球心在木板上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴.
(5)取下坐标纸，用平滑的曲线把这些印迹连接起来，得到钢球做平抛运动的轨迹.
(6)根据钢球在竖直方向是自由落体运动的特点，在轨迹上取竖直位移为y、4y、9y…的点，即各点之间的时间间隔相等，测量这些点之间的水平位移，确定水平方向分运动特点.
(7)结论：平抛运动在相等时间内水平方向位移相等，平抛运动水平方向为匀速直线运动.
2.注意事项：
(1)实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平).
(2)背板必须处于竖直面内，固定时要用铅垂线检查坐标纸竖线是否竖直.
(3)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放.
(4)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时钢球球心在木板上的投影点.
例9.在做“探究平抛运动的特点”的实验中，为了确定小球不同时刻在空中所通过的位置，实验时用了如图所示的装置.先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平整的木板表面钉上白纸和复写纸.将该木板竖直立于水平地面上，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A；将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B；将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，得到痕迹C.若测得木板每次移动距离x＝10.00 cm，A、B间距离y1＝5.02 cm，B、C间距离y2＝14.82 cm.请回答以下问题：(g＝9.80 m/s2)
(1)为什么每次都要使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放？________________________
(2)每次把木板移动相同的水平距离，原因是：____________________________________
________________________________________________________________________.
(3)根据以上直接测量的物理量求得小球初速度的表达式为v0＝_______.(题中所给字母表示)
(4)小球初速度的值为v0＝________ m/s.
解析 (1)为了确保小球每次抛出的轨迹相同，应该使抛出时的初速度相同，因此每次都应使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放；
(2)因为小球水平方向做匀速直线运动，由x＝v0t知，若x相同，则时间t相等.
(3)在竖直方向上：Δy＝y2－y1＝gt2，t＝
水平方向上：x＝v0t，初速度：v0＝＝x；(4)代入数据解得：v0＝1.00 m/s.
1.关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A.因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动
B.平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C.平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D.平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
解析：选D.做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，B错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误．
2.(2019·内蒙古赤峰期末)热播电视剧《知否，知否》中有我国的一种传统投掷游戏——“投壶”，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度分别以水平速度v1、v2抛出“箭矢”(可视为质点)都能投入地面上的“壶”内．若“箭矢”在空中的运动时间分别为t1、t2，忽略空气阻力．则( )
A．t1>t2 B．t1＝t2
C．v1＝v2 D．v1>v2
解析：选A.箭矢做平抛运动，竖直分运动是自由落体运动，根据h＝gt2，有：t＝，故t1＞t2，故A正确，B错误；水平分位移相同，由于t1＞t2，根据x＝v0t，有：v1＜v2，故C、D均错误．
3.(2018·湖北省武汉市调研)如图1是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出．不计空气阻力，则( )
A.a和b的飞行时间相同
B.b的飞行时间比c的短
C.a的水平初速度比b的小
D.c的水平初速度比a的大
解析：选D.根据t＝可知，b下落的高度比a大，则b飞行的时间较长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b的竖直高度比c大，则b飞行的时间比c长，选项B错误；a的竖直高度比c大，则a飞行的时间比c长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选项D正确．
4.(2019·黑龙江鸡西期末)如图所示，以10 m/s 的水平初速度v0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上(g取10 m/s2)，可知物体完成这段飞行的时间是( )
A. s B. s
C．1 s D．2 s
解析：选C.物体垂直地撞在倾角θ为45°的斜面上，根据几何关系可知此时速度方向与水平方向的夹角为45°，由平抛运动的规律得vy＝v0tan 45°＝gt，代入数据解得t＝1 s，故选项C正确，A、B、D错误．
5.(2019·福建四校联考)如图所示，从倾角为θ的斜面顶端分别以v0和2v0的速度水平抛出a、b两个小球，若两个小球都落在斜面上且不发生反弹，不计空气阻力，则a、b两球 ( )
A.水平位移之比为1∶2
B.下落的高度之比为1∶2
C.在空中飞行的时间之比为1∶2
D.落到斜面时速度方向与斜面夹角之比为1∶2
解析：选C.因为两个小球均落到斜面上，所以二者的位移偏转角相同，又由于初速度之比为1∶2，所以根据位移偏转角的正切值tan θ＝，所以运动时间之比为1∶2，C正确；再结合x＝v0t，可得水平位移之比为1∶4，A错误；再根据h＝gt2，下落的高度之比为1∶4，B错误；再根据速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍可知，速度偏转角相同，速度方向与斜面夹角之比为1∶1，D错误．
6.(2018·广东省韶关市调研)如图6所示，离地面高h处有甲、乙两个小球，甲以初速度v0水平射出，同时乙以大小相同的初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下，若甲、乙同时到达地面，重力加速度为g，则初速度v0的大小是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.甲平抛运动的时间为：t＝；乙在斜面下滑的加速度为：a＝＝gsin 45°＝g.根据h＝v0t＋at2 ，代入数据得v0＝，故A正确，B、C、D错误．
7.如图所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则( )
A.小球击中斜面时的速度大小为5 m/s
B.小球击中斜面时的速度大小为4 m/s
C.小球做平抛运动的水平位移是1.6 m
D.小球做平抛运动的竖直位移是1 m
解析：选A.P点小球的速度方向与斜面垂直，则有：tan 37°＝，解得：vy＝＝ m/s＝4 m/s，小球击中斜面时的速度大小为：v＝＝ m/s＝5m/s，A正确，B错误；小球运动的时间：t＝＝ s＝0.4 s，可知水平位移：x＝v0t＝3×0.4 m＝1.2 m，竖直位移：y＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m，C、D错误.
8.某军区某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动简化为平抛运动，如图2所示，则下列说法正确的是( )
A.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变
B.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变小
C.若将炮弹初速度减为，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角变大
D.若将炮弹初速度减为，炮弹位移变为原来的
解析：选A.因为炮弹落在斜面上的位移方向不变，所以落在斜面上的速度方向不变，B、C项错误，A项正确；由tan θ＝得：t＝，而h＝gt2，故h∝v02，若将炮弹初速度减为，则炮弹下落高度变为原来的，位移也变为原来的，D项错误.
9.如图所示，从斜面上的A点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点，已知＝75 m，α＝37°，不计空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A.物体的位移大小为60 m
B.物体飞行的时间为6 s
C.物体的初速度v0大小为20 m/s
D.物体在B点的速度大小为30 m/s
解析：选C.物体的位移大小等于初、末位置的距离，位移大小l＝＝75 m，A错误；平抛运动的竖直位移大小h＝sin α＝75×0.6 m＝45 m，根据h＝gt2得，物体飞行的时间t＝＝ s＝3 s，B错误；物体的初速度v0＝＝ m/s＝20 m/s，C正确；物体落到B点的竖直分速度vBy＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s，根据平行四边形定则知，物体落在B点的速度vB＝＝ m/s＝10 m/s，D错误.
10.(2019·四川宜宾期末)如图所示，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a球抛出时的高度较b球的高，P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力．与a球相比，b球( )
A.初速度较小
B.速度变化率较小
C.落地时速度一定相等
D.落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小
解析：选D.根据竖直方向h＝gt2，所以a运动时间长，而水平方向匀速，水平位移相同，所以a的水平速度小，A错误；速度变化率等于加速度大小，两小球加速度均为g，相同，B错误；因为落地速度是竖直速度与水平速度的合速度，而a的竖直速度大，水平速度小，所以无法具体比较两物体落地速度大小，C错误；落地时速度方向与其初速度方向的夹角正切值tan θ＝，a的初速度小，而运动时间长，所以a落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大，D正确．
11.如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平地面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A.A、B的运动时间相同
B.A、B沿x轴方向的位移相同
C.A、B运动过程中的加速度大小相同
D.A、B落地时速度大小相同
解析：选D.设O点与水平地面的高度差为h，由h＝gt12，＝gt22sin θ可得：t1＝，t2＝，故t1
(1)运动员从O点运动到A点的时间；
(2)O点与A点的距离．
解析：(1)运动员从O点做平抛运动，将位移分解，
水平位移为：x＝v0t 竖直位移为：y＝gt2
由几何知识可得：＝tan 37°
联立以上方程解得：t＝3 s.
(2)由(1)可知水平位移为：x＝v0t＝20×3 m＝60 m
竖直位移为：y＝gt2＝×10×32m＝45 m
所以O点与A点的距离为：s＝＝ m＝75 m.
答案：(1)3 s (2)75 m
13.如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点.求：(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？
答案 (1) (2)
解析 (1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos 30°＝v0t，竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝.
(2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动.
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt′可得t′＝＝＝tan 30°＝
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