初中数学北师大版七年级上册第四章 基本平面图形4.1 线段、射线、直线综合训练题

线段、射线、直线（基础）知识讲解

【学习目标】

1．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；

2. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；

3. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；

4. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.

【要点梳理】

要点一、线段、射线、直线的概念及表示方法

1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：

（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.

（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．

要点诠释：

（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．

（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.

（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.

（4）线段、射线、直线都没有粗细．

2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.

要点诠释：

（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；

端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．

（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．

3.线段、射线、直线的区别与联系

要点二、基本性质

1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．

要点诠释：

（1）点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O；

②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P.

（2）两条不同的直线相交只有一个交点.

2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．

如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．

要点诠释：

（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.

要点三、比较线段的长短

1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：

法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．

法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．

要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.

2.线段的比较：

（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．

（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．

要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．

【典型例题】

类型一、相关概念

1.下列说法中，正确的是(   ) .

     A．射线OA与射线AO是同一条射线.

     B．线段AB与线段BA是同一条线段.

     C．过一点只能画一条直线.

     D．三条直线两两相交，必有三个交点.

【答案】B

【详解】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．

【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．

举一反三：

【变式1】以下说法中正确的是  （     ）.

A．延长线段AB到C                     B．延长射线AB

C．直线AB的端点之一是A               D．延长射线OA到C

【答案】A

【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、射线和直线的条数，并把它们分别表示出来.

【答案】

解：如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.

图中有6条射线：射线AX、射线AY、射线BX、射线BY、射线CX、射线CY.

有3条线段：线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)

有1条直线：直线AC(或AB，BC).

类型二、有关作图

2．如图所示，线段a，b，且a＞b．

用圆规和直尺画线段：(1)a+b；(2)a-b．

【答案与详解】

解：(1) 画法如图(1)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在AB的延长线上画线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b．

(2) 画法如图(2)，画直线AF，在直线AF上画线段AB＝a，再在线段AB上画线段BD＝b，线段AD就是a与b的差，记作AD＝a-b．

【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度．

举一反三：

【变式1】下列语句正确的是(　　) .

A．画直线AB＝10cm.　　　B．画直线AB的垂直平分线.

C．画射线OB＝3cm.　　　 D．延长线段AB到C使BC＝AB.

【答案】D

【变式2】用直尺作图：P是直线a外一点，过点P有一条线段b与直线a不相交.

【答案】

解：

类型三、有关条数及长度的计算

3.如图，A、B、C、D为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出      条直线.

【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数．

【答案】6条直线

【详解】由两点确定一条直线知，点A与B,C,D三点各确定一条直线，同理点B与C、D各确定一条直线，C与D确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）.

【总结升华】平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：．

举一反三：

【变式1】如图所示，已知线段AB上有三个定点C、D、E．

  (1)图中共有几条线段？

(2)如果在线段CD上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？

【答案】

解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)；

(2)如果在线段CD上增加一点P，则P与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.

（注解：若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为1＋2＋……＋(n－1)＝n(n－1) .）

【变式2】如图直线m上有4个点A、B、C、D，则图中共有________条射线．

 【答案】8 

 4.（2020春•启东市月考）已知点C在线段AB上，线段AC=7cm，BC=5cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．

【思路点拨】根据M、N分别为AC、BC的中点，根据AC、BC的长求出MC与CN的长，由MC+CN求出MN的长即可．

【答案与详解】

解：∵AC=7cm，BC=5cm，点M、N分别是AC、BC的中点，

∴MC=AC=3.5cm，CN=BC=2.5cm，

则MN=MC+CN=3.5+2.5=6（cm）．

【总结升华】此题考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义是解本题的关键．

举一反三：

【变式】（2020春•淄博校级期中）如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，如果MC比NC长2cm，AC比BC长（　　）

　 A．2cm B． 4cm C． 1cm D． 6cm

【答案】B．

解：∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，

∴AC=2MC，BC=2NC，

∴AC﹣BC=（MC﹣NC）×2=2×2=4（cm），

即AC比BC长4cm．

类型四、最短问题

5.（2020•新疆）如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　）

　 A．A→C→D→B B． A→C→F→B C． A→C→E→F→B D． A→C→M→B

【答案】B．

【详解】

根据两点之间的线段最短，

可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，

所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．

【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，线段是图形，线段长度是数值．

举一反三：

【变式】 (1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，A、B两地间的河道长度有什么变化?

(2)如图2，公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响?与修一座直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出上述问题中的道理．

【答案】

解：(1)河道的长度变小了．

     (2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用．