数学选择性必修第二册6.1空间向量及其运算测试题

6.1.2空间向量的数量积

知识点01  空间两个向量的夹角

1. 夹角

2.空间两个向量的关系

（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;

（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 　相反;

（3）若〈a,b〉=,则向量a,b　互相垂直，记作a⊥b

【即学即练1】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）．

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】A

【分析】根据以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案.

【详解】对于A，因为，所以与的夹角为，故A正确；

对于B，因为，所以与的夹角为，故B不正确；

对于C，因为，所以与的夹角为，故C不正确；

对于D，因为，所以与的夹角为，故D不正确.

故选：A

【即学即练2】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为的是(        )

A．与      B．与      C．与      D．与

【答案】A

【详解】对A，夹角为，正确；对B，夹角为，错误；

对C，夹角为，对D，夹角为，错误.

故选：A

知识点02  空间两个向量的数量积

1. 空间向量的数量积的定义

2.空间向量数量积的运算律

3.空间向量数量积的性质

①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔     a·b=0    ;

②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=

③若为a,b的夹角，则

④|a·b|≤|a||b|

4.与数量积有关的2个易错点

①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.

 ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.

【即学即练3】如图，在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的运算法则即可求解.

【详解】由正方体的性质可得，，故，.

故选：B

【即学即练4】(多选)正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.

【详解】方法一：，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误；

方法二：

，故A正确；

由正方体的性质可知，，，

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：AC．

知识点03  向量的投影

（1）向量在向量上的投影向量

①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.

②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b

（2）向量在平面上的投影向量

①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量.

②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n

【即学即练5】四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】过点和点分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量.

【详解】四棱锥如图所示，

底面是矩形，∴，

底面，底面，∴，

过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,，

故选：B

【即学即练6】已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______．

【答案】

【分析】利用向量投影的概念可求得结果.

【详解】由题意可知，在方向上投影的模为

故答案为：.

◆考点01 数量积的概念

【典例1】设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可．

【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确．

故选：C.

【典例2】对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）

A．若且，则 B．

C．若，且，则 D．

【答案】B

【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．

【详解】若，则由且，不能得出，A错；

由数量积对向量加法的分配律知B正确；

若，则，当时就成立，不一定有，C错；

是与平行的向量，是与平行的向量，它们一般不相等，D错．

故选：B．

【典例3】（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；

【详解】解：对于A：，故A正确；

对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：AD

◆考点02 数量积的运算 

【典例4】（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，，，的距离都等于2.以下选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用空间向量的线性运算对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】如图，分别取的中点，的中点

对于A，，故A错误；

对于B，，而不是，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，，又，所以，故D正确.

故选：CD

【典例5】已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果.

【详解】取中点，

则，

当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，

又，，

即的取值范围为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.

【典例6】如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：

(1)·；

(2)·；

(3)(＋)·(＋)．

【解析】(1)正四面体的棱长为1，则||＝||＝1．△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：

·＝||||cos〈，〉＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝．

(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，所以EFAC，于是·＝||||cos〈，〉

＝||·||cos〈，〉＝×1×1×cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－．

(3)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)

＝2＋·－2·＋·＋2－2·＝1＋－2×＋＋1－2×＝1．

◆考点03 利用空间向量的数量积求夹角

【典例7】（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________

【答案】

【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，

则，，

.

又，，

所以

而，

，

所以.

故答案为：.

【典例8】（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

解：（1），

又，

同理可得，

则．

（2）因为，

所以，

因为，

所以．

则异面直线与所成角的余弦值为．

◆考点04 利用空间向量的数量积求长度（距离）

【典例9】平行六面体中，，则的长为（    ）

A．10 B． C． D．

【答案】B

【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．

【详解】如图，

，，，，

，．

，

，

，

即的长为.

故选：B．

【典例10】在四面体中，，，的长度分别为1，2，3，且，M，N分别为，中点，则的长度为______.

【答案】

【分析】根据几何体的结构特征，将向量表示成，再根据其长度和夹角用空间向量计算的长.

【详解】根据题意画出几何体如下图所示，

则

又因为，，的长度分别为1，2，3，且，

所以，得即的长度为.故答案为：.

【典例11】如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．

(1)用向量表示；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；

（2）先计算，再开方即可求解

【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．

所以

．

（2）因为四面体是正四面体，则，，，

所以．

【典例12】如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．

【答案】

【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝－＋＋，

所以＝2＋2＋2＋2××·＋2××·＋2××·＝2.

∴||＝，即E，F间的距离为.

【典例13】如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．

【答案】2

【解析】∵＝＋＋，

∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.

◆考点05投影向量

【典例14】如图，在三棱锥中，平面，，，．

(1)确定在平面上的投影向量，并求；

(2)确定在上的投影向量，并求．

【答案】(1)在平面上的投影向量为，；

(2)在上的投影向量为，.

【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；

（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.

【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，

因为平面，面，可得，所以，

因为，所以，

所以

.

（2）由（1）知：，，

所以在上的投影向量为：

，

由数量积的几何意义可得：.

【典例15】如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.

（1）求，的大小；

（2）求向量在向量方向上的投影的数量.

【答案】（1），；（2）1

【分析】（1）由，可得，由，可得；

（2）由空间向量投影的定义找出在向量方向上的投影即可求解

【详解】（1）在正方体中，因为，所以，

因为，所以；

（2）连接，因为平面，所以，又因为，

所以在向量方向上的投影为，因为，所以向量在向量方向上的投影的数量为1

【典例16】如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______．

【答案】

【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围.

【详解】由已知E为棱上的动点，设，

因为，

所以

，

所以向量在向量方向上投影数量为，

又，，

，

所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为

故答案为：

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ）

A． B． C． D．4

【答案】C

【分析】结合向量夹角，先求解， 再求解.

【详解】．

故选：C.

2．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果.

【详解】 .

故选：B

3．若非零向量，满足， ，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】B

【分析】设与的夹角为θ，则由，，可得，从而可求得与的夹角

【详解】设与的夹角为θ，因为，所以，所以，

因为非零向量，满足，所以，因为，所以，即，

故选：B

4．在正方体中，有下列命题：

①；②；③与的夹角为．

其中正确的命题有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

【答案】B

【分析】根据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可

【详解】解：对于①，

所以①正确；

对于②， ，

所以②正确；

对于③，因为∥,分别为面的对角线，

所以,所以与的夹角为，所以③错误

故选：B

【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题

5．已知,则向量与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的坐标即可求出,从而得出,这样即可得出与的夹角．

【详解】解：，，

∴,

∴,

∴与的夹角为90°．

故选A．

【点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,向量夹角的定义,考查了计算能力,属于基础题．

二、多选题

6．三棱锥中，两两垂直，且，下列命题为真命题的是（    ）

A． B．

C．和的夹角为 D．三棱锥的体积为

【答案】ABC

【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合棱锥体积公式逐一判断即可.

【详解】A：，

因为两两垂直，所以，

而，所以，本命题是真命题；

B：，

因为两两垂直，所以，

因此，本命题是真命题；

C：，

因为两两垂直，所以，

所以，

，

因为互相垂直，所以，而，

所以，

，

因为互相垂直，所以，而，

所以，设和的夹角为，

因为，所以

因此本命题是真命题；

D：，

因为两两垂直，所以，

所以，

，

因为互相垂直，所以，而，所以，

，

因为两两垂直，且，

所以三棱锥的体积为：，

因此本命题是假命题，

故选：ABC

7．已知为正方体，则下列说法正确的有（    ）

A．；

B．；

C．与的夹角为；

D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条

【答案】ABD

【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断.

【详解】如图所示：

A. 由向量的加法运算得，因为 ，所以，故正确；

B. 正方体的性质易知，所以，故正确；

C. 因为是等边三角形，且 ，所以，则与的夹角为，故错误；

D. 由正方体的性质得过的面对角线与直线所成的角都为，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；

故选：ABD

三、填空题

8．已知空间向量满足，且与的夹角为，则__________．

【答案】1

【分析】利用空间数量积的定义，直接求解即可.

【详解】由空间向量数量积的定义，.

故答案为：1

9．已知线段AB的长度为，与直线l的正方向的夹角为120°，则在l上的射影的长度为______.

【答案】

【分析】先求出在直线l的正方向的投影向量，再求其长度即可得解.

【详解】设与直线l的正方向一致的单位向量为，

于是得在直线l的正方向的投影向量为，则，

所以在l上的射影的长度为.

故答案为：.

10．若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______．

【答案】

【分析】夹角为钝角可得且不反向.

【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不同向.

，整理得.当反向时，，所以.

【点睛】本题主要考查空间向量的夹角问题, 夹角为钝角可得且不反向；夹角为锐角可得且不同向；夹角为直角可得.

四、解答题

11．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．

(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；

(2)求，夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用算出答案即可；

（2）分别求出、、的值即可.

【详解】（1）根据条件，，∴；

∴；

（2）

；

，

；

∴.

12．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.

(1)试用表示向量；

(2)求BM的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.

【详解】（1）

（2）

，所以，则BM的长为.

13．已知向量之间的夹角为，且=3，4，求．

【答案】，，，

【分析】利用平面向量数量积公式求解即可.

【详解】，

，，

.

题组B  能力提升练

一、单选题

1．．平行六面体中，则它的对角线的长度为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量加减运算法则，可知，两边同时平方根据向量数量积可得对角线的长度.

【详解】由于，而

所以，将等式两边同时平方得：

，

，

所以，

即对角线的长度为.

故选：D.

2．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的是（    ）

A．与AC所成角的余弦值为 B．

C．向量与的夹角是60° D．

【答案】D

【分析】结合余弦定理、空间向量、线线垂直等知识求得正确答案.

【详解】依题意以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，

所以、、、是等边三角形，

在菱形中，，设，

A选项，在三角形中，，

所以，所以A选项错误.

B选项，，

，

所以，B选项错误.

C选项，由于，所以向量与的夹角即向量与的夹角，

而是等边三角形，所以与的夹角为，C选项错误.

D选项，在等边中，是的中点，所以，

由于平面，

所以平面，由于平面，

所以，所以D选项正确.

故选：D

3．已知空间非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充要条件 D．必要不充分条件

【答案】A

【分析】证明充分性则将代入等式即可，而若两两垂直，则等式成立，但，故必要性不成立，即可得到答案.

【详解】充分性：当时，成立；

不必要性：若两两垂直，则成立，但.

故选：A.

4．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量的数量积公式先求解，再计算与，根据数量积夹角公式，即可求解.

【详解】由题意得：

，

，

.

设夹角为，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可.

5．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.

其中正确命题的个数是（  ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】①根据向量加法的几何意义可得，结合正方体性质判断；②由，应用线面垂直的性质、判定可得即可判断；③若分别是中点，由中位线性质及向量共线判断与夹角大小即可.

【详解】①由，故，正确；

②，

而面，面，则，又，

，面，故面，

又面，故，则，正确；

③若分别是中点，则且，故与的夹角即为与夹角，为，错误.

故选：C.

二、多选题

6．如图，在棱长都为1的平行六面体中，，，两两夹角均为，则有（    ）

A． B．平面

C．平面 D．

【答案】BCD

【分析】根据空间向量的数量积运算可判断A，利用向量证明垂直后再由线面垂直判定定理判断B，由面面平行的判定及线面垂直的性质判断C，再由数量积的运算性质求向量的模判断D.

【详解】

，

，故A错误；

同理可得，因为，平面，

所以平面，故B正确；

又，平面，平面，所以平面，

又，平面，平面，所以平面,

又，所以平面平面，所以平面，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

7．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量，的夹角）.在正方体中，有以下四个结论，正确的有（    ）

A． B．

C．与共线 D．与正方体体积数值相等

【答案】ACD

【分析】运用新定义及空间向量基本概念分别判断即可．

【详解】设正方体棱长为1，

对于，，，

所以，所以对；

对于，由，和构成右手系知，与方向相反，

即，所以错；

对于，，平面，

平面，，

再由右手系知，与共线，所以对；

对于， ，

正方体体积为1，所以对．

故选：．

8．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)

A．

B．

C．向量与向量的夹角是60°

D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为

【答案】AB

【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.

【详解】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：

由向量的加法得到：，

∵，∴，所以A正确；

∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；

∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，

又∵A1BD1C，

∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，

但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；

∵AB⊥AA1，∴，

故0，故D错误．

故选：AB．

三、填空题

9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长为__________.

【答案】

【分析】由，结合数量积向量运算即可求

【详解】由题，，则

，故.

故答案为：

10．已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值______．

【答案】

【分析】取线段的中点，可得出，分析可知当、、三点共线时，取最小值，求出的最小值，即可得解.

【详解】取线段的中点，则，，

所以，，

当、、三点共线时，取最小值，此时，

此时.

故答案为：.

11．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°，则____．

【答案】3

【分析】设出向量，，，它们两两之间夹角为，然后表示出向量，，再利用数量积的定义和运算法则即可求解．

【详解】如图，

可设，，，故，，，

又因为，

同理可得， ，

于是有()•()

222+2•

＝﹣4+4+1+2×||•||cos60°

＝1+2×2×1

＝3

故答案为：3

四、解答题

12．已知正三棱锥的所有棱长均为， 点，分别为，的中点， 点在上， 且， 设，，.

(1)用向量，，表示向量；

(2)求与夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接计算；

（2）利用基底法求向量数量积，再利用向量的夹角公式计算夹角.

（1）

由已知，得，

所以,

又，，

所以；

（2）

，

又，且，

所以，

则 ，

，

，

所以,

所以直线与夹角的余弦值为.

13．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，

（1）用，，表示和；

（2）求直线与夹角的余弦值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用平行六面体的性质以及空间向量的三角形法则和平行四边形法则运算可得结果；

（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.

【详解】（1）连接，如图：

因为，，，

在，根据向量减法法则可得：，

因为底面是平行四边形，

故，

因为且

，又为线段中点

在中，，

在平行四边形中，.

（2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，

故，，，

所以

，故，

所以，

所以，

所以直线AB与的夹角的余弦值为.

题组C  培优拔尖练

1．（多选）（2021春·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．与所成角的余弦值为

C．与平面所成角的余弦值为

D．到底面的距离为

【答案】ABD

【分析】通过空间向量的线性运算和数量积运算可以判断A，根据夹角公式可以判断B；

过A1作出底面ABCD的垂线（需要证明），进而求出距离判断D，然后找到线面角并求出余弦值判断C.

【详解】对A，因为，所以，

，A正确；

对B，由，则，

，,

所以，B正确；

对C和D，如图

取AB中点M，连接A1M，由题意可知 为正三角形，所以，且 ，

作PM⊥AB，交AC于P，易知∠PAM=30°，则 ，

因为，所以，即，

连接A1P，  ，

所以，，即，而，所以平面ABCD，则AA1与平面ABCD所成的角为，而，故C错误；

又∥平面，所以到底面的距离即为点A1到底面的距离，距离为，故D正确.

故选：ABD.

2．（2021秋·浙江台州·高二校联考期中）已知空间向量，，两两夹角均为，且．若存在非零实数，，使得，，且，则________，________．

【答案】         

【分析】设，可得，代入条件运算化简，联立方程求解即可.

【详解】设，则，

由，可得,

化简得①，,化简可得②联立①② ，解得，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据数量积的定义及数量积的运算律，代入运算，要求运算准确，运算能力是解题的关键，属于中档题.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，分别满足与，则的最小值是__________.

【答案】

【分析】由结合已知变形得出，令，可得，，再由另一条件得，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论．

【详解】由题意，，

因为，所以，

，所以，

令，则，且，

，

由得，

所以，

所以，当且仅当，，共线且，共线时等号成立．

故答案为：．

【点睛】本题考查空间向量数量积的应用，向量模的绝对值三角不等式，解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，并得出，利用此式，得出的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．实际上本题从向量数量积的几何意义，向量的运算法则可容易得出关系式，本题对学生的转化与化归思想，运算求解能力要求较高，属于难题．