专题03矢量三角形在静态平衡和动态平衡中的应用——【备考2023】高考物理小题集训（原卷版+解析版）

03 矢量三角形在静态平衡和动态平衡中的应用

难度：★★★★☆            建议用时： 30分钟              正确率 ：      /12

1. (2023·武汉模拟)半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN。在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图。现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止，则在此过程中，下列说法正确的是（　　）

A. Q对P的弹力逐渐增大 B. Q所受的合力逐渐增大

C. MN对Q的弹力逐渐减小 D. 地面对P的摩擦力逐渐减小

【答案】A

【解析】ABC．对圆柱体Q受力分析，受到重力、板MN的支持力N1和半圆柱体P对Q的支持力N2，如图所示

由图可知，随着MN缓慢向右平移，N2与竖直方向的夹角不断增大，MN对Q的弹力N1逐渐增大，P对Q的弹力N2逐渐增大，但其所受合力一直为零，故A正确，BC错误；

D．对PQ整体受力分析，受到总重力、MN板的支持力N1，地面的支持力N3，地面的静摩擦力f，如图所示

根据共点力平衡条件可知，地面对P的摩擦力始终等于N1，所以地面对P的摩擦力逐渐增大，故D错误。

故选A。

2．（2022·河北）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　）

A．圆柱体对木板的压力逐渐增大

B．圆柱体对木板的压力先增大后减小

C．两根细绳上的拉力均先增大后减小

D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变

【答案】B

【解析】设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示

在矢量三角形中，根据正弦定理

在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又

且

可知

则

可知从锐角逐渐增大到钝角，根据

由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则

可得

不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B正确，ACD错误。

故选B。

3.(2023·贵州模拟)(多选)如图所示，半径为R的绝缘光滑半圆形槽圆心为O，槽内有两个质量、电荷量都相同的带电小球A和B，其中A小球固定在槽的最低点，当B小球静止时，OB连线与竖直方向成θ角。下列能保持夹角θ不变的方法有(　　)

A．仅使半圆形槽的半径加倍

B．仅使A球的电荷量加倍

C．使B球的质量和电荷量都加倍

D．使半圆形槽的半径和两球的电荷量都减半

【答案】　CD

【解析】对带电小球B进行受力分析，其受重力mg、A小球的库仑力F以及绝缘光滑半圆形槽的支持力FN，三力平衡，利用“相似三角形”可得＝＝，其中R为半圆形槽的半径，x为带电小球A、B间的距离，由数学知识知，x＝2Rsin ，由库仑定律知F＝k，联立解得sin3＝。仅使半圆形槽的半径加倍，θ减小，选项A错误；仅使A球的电荷量加倍，θ增大，选项B错误；使B球的质量和电荷量都加倍，θ保持不变，选项C正确；使半圆形槽的半径和两球的电荷量都减半，θ保持不变，选项D正确。

4.(多选)如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部中心O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球A相连，小球静止于P点，OP与水平方向间的夹角为θ＝30°。若换为与质量为2m的小球B相连，小球B将静止于M点(图中未画出)，下列说法正确的是(　　)

A．容器对小球B的作用力大小为2mg

B．弹簧对小球A的作用力大于对小球B的作用力

C．弹簧的原长为R＋

D．O′M的长度为

【答案】　ACD

【解析】小球受三个共点力而平衡，这三个力构成一个矢量三角形，如图所示，

矢量三角形刚好和几何三角形相似，则当弹簧另一端与质量为m的小球A相连时，＝＝；当弹簧另一端与质量为2m的小球B相连时，＝＝(L2为O′M的长度)，设弹簧的原长为L0，则T1＝k(L0－R)，T2＝k(L0－L2)，联立可得T1＝mg，L0＝R＋，N2＝2mg，L2＝，T2＞T1，综上所述，A、C、D正确，B错误。

5．（2023·山西运城模拟）如图所示，挡板垂直于斜面固定在斜面上，一滑块m放在斜面上，其上表面呈弧形且左端最薄，一球M搁在挡板与弧形滑块上，一切摩擦均不计，用平行于斜面的拉力F拉住弧形滑块，使球与滑块均静止，现将滑块平行于斜面向上拉过一较小的距离，球仍搁在挡板与滑块上且仍处于静止状态，则与原来相比（　　）

A．斜面对滑块的弹力增大 B．滑块对球的弹力增大

C．挡板对球的弹力减小 D．拉力F减小

【答案】C

【解析】BC．以球为研究对象受力分析如图

滑块平行于斜面向上拉过一较小的距离，则挡板对球的弹力减小，滑块对球的弹力减小，故C正确，B错误；

AD．对滑块和球整体进行受力分析，整体受重力、斜面的支持力、挡板的弹力及拉力，各力的方向不变，由于挡板对球的弹力减小，则拉力F增大，在垂直斜面方向上，斜面对滑块的弹力不变，故AD错误。

故选C。

6．（湖北省部分中学2022-2023学年高三下学期2月检测物理试题）如图所示，长度为的木棒一端支在光滑竖直墙上的A点，另一端B点被轻质细线斜拉着挂在墙上的C点而处于静止状态，细线与木棒之间的夹角为，A、C两点之间的距离为，墙对木棒的支持力为F，重力加速度为g，下列说法正确的是（  ）

A．细线与竖直墙之间的夹角的正弦值为 B．木棒受到三个力（或延长线）可能不交同一点

C．细线对木棒的拉力大小为 D．木棒的质量为

【答案】C

【解析】A．设细线与竖直墙之间的夹角为，在△ABC中由正弦定理可得

解得

故A错误；

B．根据共点力平衡的原理，木棒受到的三个力（或延长线）一定交于同一点，故B错误；

CD．设细线的拉力为T，木棒的质量为m，对木棒受力分析如图，由力的平衡条件有

，

结合

综合解得 ，

故C正确，D错误。

故选C。

7．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）(多选)如图所示，在竖直面内有三个带电小球a、b、c，其中球a和球b固定，二者连线为一条竖直线，它们的带电荷量大小分别为和，球c在图示位置处于静止状态，已知ab、bc和ac的连线的长度分别为4cm、3cm和2cm，则（　　）

A．球a和球b一定带同种电荷

B．球a和球b一定带异种电荷

C．

D．

【答案】BD

【解析】AB．球c受重力及球a和球b对它的库仑力而平衡，球b对它的库仑力必须是斥力，而球a对它的库仑力必须是引力，球a和球b一定带异种电荷，故A错误，B正确；

CD．画出球c受力图，如图所示

三力平衡，在相似三角形中，对应边成比例，有

整理有    故C错误，D正确。

故选BD。

8．（2023秋·湖南益阳·模拟）如图所示，小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且oa与竖直方向的夹角为，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则弹簧形变量可能为（　　）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】根据题意，以小球a、b整体为研究对象，分析受力，作出F在几个方向时整体的受力图

根据平衡条件可知，F与FT的合力与整体重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与绳子Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为

根据胡克定律有 Fmin= kxmin

解得

即弹簧的形变量的取值范围为

故选AC。

9．（2023·北京模拟预测）如图甲所示，一通电导体棒用两根绝缘轻质细线悬挂在天花板上并静止在水平位置。当导体棒所在空间加上匀强磁场，再次静止时细线与竖直方向成角，如图乙所示（图甲中从左向右看）。已知导体棒长度为L、质量为m、电流为I，重力加速度大小为g。关于乙图，下列说法正确的是（　　）

A．当磁场方向斜向右上方且与细线垂直时磁感应强度最小

B．磁感应强度的最小值为

C．磁感应强度最小时，每根细线的拉力大小为

D．当磁场方向水平向左时，不能使导体棒在图示位置保持静止

【答案】B

【解析】A．对导体棒受力分析如图所示，导体棒在重力、拉力和安培力的作用下处于平衡状态。由平衡条件可知，导体棒所受拉力和安培力的合力与重力等大反向，拉力和安培力可能的方向如图所示，当安培力方向斜向右上方且与细线垂直时安培力最小，此时磁场方向沿着细线斜向左上方，A错误；

B．设磁感应强度大小为B，由平衡条件得

解得 B正确；

C．设每条细线拉力大小为，由平衡条件得

解得 C错误；

D．当磁场方向水平向左时，安培力竖直向上，如果安培力与重力大小相等，可以使导体棒在图示位置保持静止，D错误。

故选B。

10．（2022·北京模拟）(多选)如图，光滑半圆形碗固定在水平地面上，开始时，系有不可伸长轻绳的光滑小球处在碗的最低点，在拉力F的作用下，小球沿碗内壁缓慢上升，小球、轻绳、O点始终在同一竖直平面内，在此过程中，下列说法正确的是（　　）

A．绳的拉力F一直变大

B．碗对小球的支持力FN一直变大

C．绳的拉力与碗的支持力的合力大小等于mg

D．当绳与竖直方向的夹角为30°时，绳的拉力F为

【答案】ACD

【解析】C．由题意，小球缓慢上升，处于动态平衡状态，绳的拉力F与碗的支持力FN的合力大小等于mg，故C正确；

AB．对小球受力分析如图所示，设FN与竖直方向夹角为θ，将F、FN和mg平移构成一个封闭的矢量三角形，根据几何关系可得

则在矢量三角形中，mg与F所对应边的夹角为

FN与F所对应边的夹角为

根据正弦定理有

因为θ从0逐渐增大至接近90°，所以β从45°逐渐减小至接近0，γ从135°逐渐减小至接近90°，即sinβ逐渐减小，sinγ逐渐增大，而mg不变，所以FN一定逐渐减小。又因为α逐渐增大，FN逐渐减小，且FN与F的合力大小不变，根据平行四边形定则可推知F一定逐渐增大，故A正确，B错误；

D.当绳与竖直方向的夹角为30°时，根据几何关系可知此时θ=30°，

代入前面所列正弦定理方程有

解得

故D正确。

故选ACD。

11．（2023·黑龙江哈尔滨模拟）(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为、。用、分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是（  ）

A．在逐渐增大 B．先增大再减小

C．与的水平分量大小相等 D．与的竖直分量大小相等

【答案】AC

【解析】物体始终保持静止，合力为零，对物体受力分析，受到mg、F1、F2三个力，这三个力构成一个封闭的矢量三角，在旋转过程中，对矢量三角形动态分析即可。

AB．物体始终保持静止，合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，以及F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如右图所示，mg始终为圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1一直增大，F2一直减小，故A正确，B错误；

CD．与的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C正确，D错误。

故选AC。

【点睛】题以共点力的平衡为命题背景考查学生的推理能力和分析综合能力，解题的关键的画出矢量三角，结合几何关系分析力的变化，难度适中。

12.（2023春·山东·模拟预测）(多选)在共点力的合成实验中，如图，用 A，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置 O，这时两绳套 AO，BO 的夹角小于 90°，现在保持弹秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使α角变小，那么要使结点仍在位置 O，就应该调整弹簧秤 B 的拉力的大小及β角，则下列调整方法中可行的是 （   ）

A、增大 B 的拉力，增大β角     B、增大 B 的拉力，β角不变

C、增大 B 的拉力，减小β角     D、B 的拉力大小不变，增大β角

【答案】ABC

【解析】画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”， 将 FA绕橡皮条拉力 F 端点转动形成一个圆弧，FB 的一 个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。

如图，由于两绳套 AO、 BO 的夹角小于 90°，在力的三角形中，FA、 FB的顶角为钝角，当顺时针转动时，FA、 FB的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。 由图可知，这个过程中 FB一直增大。故选 ABC。