2021-2022学年重庆八中八年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年重庆八中八年级（下）期中数学试卷（含答案），共21页。
1．（4分）下列式子是分式的是（ ）
A．xB．C．D．x2y
2．（4分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．≌B．≠C．∴D．≥
3．（4分）下列分式变形一定成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4．（4分）为了解某超市的消费者使用环保购物袋的情况，某研究小组随机采访该超市的6位消费者，得到这6位消费者一周内使用环保购物袋的次数分别为：1，3，5，5，6，7，则这组数据的众数是（ ）
A．5B．6C．7D．不确定
5．（4分）把多项式x2y5﹣xynz因式分解时，提取的公因式是xy5，则n的值可能为（ ）
A．6B．4C．3D．2
6．（4分）下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．三个角是直角的四边形是矩形
D．四边相等的四边形是菱形
7．（4分）如图，将正五边形ABCDE的点C固定，按顺时针方向旋转一定角度，使新五边形的顶点D1落在直线BC上，则旋转的最小角度是（ ）
A．108°B．72°C．54°D．36°
8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，且EF＝4，分别交AB、CD于F、E，点K为DE的中点，连接OK，若∠ODK＝30°，则OK的长为（ ）
A．B．C．2D．
9．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AO的中点，连接EF、BF．若AF＝1，AE＝，则FB的长为（ ）
A．3B．2C．D．3
（多选）10．（4分）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形ABCD截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，下列说法正确的是（ ）
A．直线经过点A时，在x轴上平移的距离为6
B．直线经过点D时，被平行四边形ABCD截得的线段长度l为2
C．平行四边形ABCD的面积为24
D．a的值为16
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上.
11．（4分）已知分式，当x＝ 时，分式的值为0．
12．（4分）若ab＝1，a+b＝2，则+的值为 ．
13．（4分）如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠MCB＝52°，∠DCN＝18°，则∠BDC的度数为 ．
14．（4分）若关于x的不等式ax＜b（a≠0）的解集为x＜，则的值为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（2，﹣1），（，1），点B在x轴上，则点B的横坐标是 ．
三、解答题（本大题共5小题，其中16题6分，17-19每小题6分，20题10分，共40分）请将每小题的解答过程填写在答题卡中对应位置.
16．（6分）因式分解：
（1）a2b﹣ab；
（2）2x2﹣8．
17．（8分）解分式方程：
（1）+2＝；
（2）﹣＝．
18．（8分）化简分式：•（﹣1）÷（﹣），并从﹣2，1，0，2中选择一个适当的x值进行求值．
19．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
（1）用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝OC，AB∥DC
∴
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO
∴
∵在△AEO和△CFO中
∴
∴
又∵AO＝CO
∴四边形AECF是平行四边形
20．（10分）某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若每盒乙种牛奶的进价是每盒甲种牛奶进价的1.2倍，该商场用500元购进甲种牛奶的数量比用300元购进乙种牛奶的数量多50盒．
（1）求每盒甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元．
（2）由于甲种牛奶畅销，该商场又以相同的进价购进300盒甲种牛奶，第一个月，甲种牛奶以每盒12元的售价出售，售出8a盒；第二个月，由于快到保质期，该商场准备降价出售，每盒售价在原来的基础上降低0.2a元，结果第二个月售出200盒；到了月底，商场便将剩余的甲种牛奶免费分发给员工们．最终这批牛奶的利润不低于1460元，求a的最小值．
四．选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，其中第21题为单项选择题、第22题为多项选择题）请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置.
21．（4分）如图，第①个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第②个图形，图中共有5个正方形；连接第②个图形中右下角正方形的对边中点得到第③个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第④个图形、第⑤个图形……，则第⑥个图形中正方形的个数是（ ）
A．17B．21C．25D．29
（多选）22．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为线段AC上一点，连接BP，过点P作PE⊥PB交AD于点E，连接BE，若PC＝，AB＝6，下列说法正确的有（ ）
A．∠APE＝∠DBPB．PB＝PEC．AE＝4D．S△PBE＝26
五．填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置.
23．（4分）已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的值之和为 ．
24．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点E是直线BC上的一个动点，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转120°得到线段DG，连接AG，则线段AG的最小值为 ．
25．（4分）小立和小达玩玻璃珠游戏，玩具箱中有足够数量的玻璃珠供小立和小达拿取，游戏规则如下：两人每次拿取的玻璃珠颗数不能为0，且拿出的玻璃珠不放回玩具箱，小立每次只能从玩具箱中拿取9颗或（9﹣3m）颗玻璃珠，小达每次只能从玩具箱中拿取7颗或（7﹣m）颗玻璃珠，其中m为整数，且m＞0．经统计，小立拿取了11次玻璃珠，小达拿取了9次玻璃珠，并且小达至少拿取了一次（7﹣m）颗玻璃珠，最终小立和小达从玩具箱中拿取的玻璃珠数目相等，那么这次游戏开始前，玩具箱中玻璃珠的总数最少有 颗．
六、解答题（本大题共4小题，其中第26，27题每小题6分，第28题8分，第29题10分，共30分）请将每小题的答案填写在答题卡中对应的位置.
26．（6分）已知分式方程﹣1＝的解x满足﹣2≤x≤5，求m的取值范围．
27．（6分）对于任意一个四位自然数M，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“差一数”．对于一个“差一数”，它的千位数字和百位数字的乘积记作m1，十位数字和个位数字的乘积记作m2．并规定：F（M）＝m1﹣m2．
例如：M＝2346，因为3﹣2＝1，6﹣4＝2，所以2346不是“差一数”．
M＝3478，因为4﹣3＝1，8﹣7＝1，所以3478是“差一数”，m1＝12，m2＝56，F（3478）＝﹣44．
（1）请判断2345是不是“差一数”，请说明理由；如果是，请求出对应的F（M）的值．
（2）已知S、T都是“差一数”，其中S的千位数字为x，十位数字为7（x是整数且1≤x≤6）；T的千位数字为6，十位数字为y（y是整数且0≤y＜5），若F（S）+F（T）＝0，求满足条件的S的值．
28．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝kx+b（k≠0）经过点D（﹣2，2），且交y轴于点C（0，1）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若点F为直线l2上一点，且在点D的左侧，过点F作FM∥y轴，交直线l1于点M，过点F作FN∥x轴，交直线l1于点N，当FM+FN＝6+6时，求△FAC的面积；
（3）如图2，过点B作直线l3∥x轴，点H为线段AC的中点，将△ACD沿射线AD方向平移4个单位长度，点C对应点为点K，若点P为直线l3上一点，点Q为直线l1上一点；当以点H、K、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的P点的坐标．
29．（10分）在菱形ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）如图1，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF，若ED＝2﹣，求线段BF的长度；
（2）如图2，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，过点D作DM⊥DC，连接MC，且∠MCE＝15°，连接ME，请探索线段BE，DM，EM之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，连接AC，点Q是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，求QB+QC+QD的最小值．
参考答案
1．B．
2．C．
3．B．
4．A．
5．A．
6．B．
7．B．
8．C．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E、F分别是AB、AO的中点，
∴EF∥OB，EF＝OB，
∴EF⊥AC，
在Rt△AEF中，EF＝，
∴OB＝2，
在Rt△OFB中，OF＝AF＝1，
∴BF＝，
故选：D．
（多选）10．解：由题意得，当直线平移到点A时，l＝0，在x轴上平移的距离m＝6，
故A正确；
当直线经过点D时，如图所示：
由题意和图象2可知，l＝2，m＝10，
故B正确；
当直线过点B时，作DM⊥AB于点M，如右图所示：
由图象和题意可得，
AE＝10﹣6＝4，EB＝12﹣10＝2，DE＝2，
∴AB＝4+2＝6，
∵直线DE平行直线y＝﹣x，
∴DM＝ME，
∴2DM2＝DE2＝8，
DM＝2，
∴平行四边形ABCD的面积是：AB•DM＝6×2＝12．
故C错误；
当直线从过点P的位置到过点C位置时，结合图形2可得，a﹣12＝10﹣6，
∴a＝16，
故D正确．
故选：ABD．
11．2．
12．2．
13．35°．
14．：．
15．解：连接AC，
∵点A（2，﹣1），点C（，1），
∴AC＝，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB＝AC＝，
∴点B的横坐标为，
故答案为：．
16．解：（1）原式＝ab（a﹣1）；
（2）原式＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
17．解：（1）+2＝，
3+2（x﹣1）＝x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时 x﹣1≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根；
（2）﹣＝，
12﹣2（x+3）＝x﹣3，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x2﹣9＝0，
∴x＝3是原方程的增根，
∴原方程无解．
18．解：原式＝•÷（﹣）
＝
＝，
∵（x+2）（x﹣2）≠0，且x≠0，
∴x≠±2，且x≠0，
当x＝1时，原式＝＝．
19．（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，AB∥DC，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FCO＝∠DCO，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵在△AEO和△CFO中
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠BAO＝∠DCO，∠EAO＝∠FCO，△AEO≌△CFO（ASA），OE＝OF．
20．解：（1）设每盒甲种牛奶的进价为x元，则每盒乙种牛奶的进价为1.2x元，
由题意得：﹣＝50，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
则1.2x＝1.2×5＝6，
答：每盒甲种牛奶的进价是5元，每盒乙种牛奶的进价是6元；
（2）由题意得：12×8a+（12﹣0.2a）×200﹣5×300≥1460，
解得：a≥10，
答：a的最小值为10．
21．解：第①个图有正方形的个数为1，
第②个图有正方形的个数为1+4＝1+4×1＝5，
第③个图有正方形的个数为1+4+4＝1+4×2＝9，
第④个图有正方形的个数为1+4+4+4＝1+4×3＝13，
．
则第n个图有正方形的个数为：1+4×（n﹣1）＝1+4n﹣4＝4n﹣3，
∴第⑥个图有正方形的个数为：4×6﹣3＝21．
故选：B．
（多选）22．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°，
∴∠DBP+∠BPO＝90°，
∵PE⊥PB，
∴∠APE+∠BPO＝90°，
∴∠APE＝∠DBP，故结论A正确；
过P作PK⊥AD于K，PT⊥AB于T，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC，
又PK⊥AD，PT⊥AB
∴PK＝PT，
∵∠KPT＝90°＝∠EPB，
∴∠KPE＝∠BPT，
∵∠PKE＝90°＝∠PTB，
∴△PKE≌△PTB（ASA），
∴PE＝PB，故结论B正确；
延长KP交BC于M，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ACB＝45°，
∴PM⊥BC，
∴△CPM是等腰直角三角形，
∴CP＝PM＝CP＝1，
∴DK＝CM＝1，KE＝PM＝1，
∴AE＝AD﹣DK﹣KE＝4，故结论C正确；
∵BC＝6，CM＝1，
∴BM＝5，
在Rt△BPM中，
BP＝＝＝，
∴PE＝BP＝，
∴S△PBE＝BP•PE＝13，故结论D错误，
故选：ABC．
23．解：原式＝＝，
∵代数式的值为整数，
∴x+1＝±1，±2，
∴x＝0，﹣2，1，﹣3．
∴0+（﹣2）+1+（﹣3）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
24．解：将线段DC绕点D顺时针旋转120°得到线段DC'，作直线GC'交AD于K，过A作AH⊥GC'于H，如图：
∵∠EDC＝120°﹣∠EDC'＝∠GDC'，CD＝C'D，DE＝DG，
∴△DCE≌△DC'G（SAS），
∴∠GC'D＝∠C＝90°＝∠KC'D，
当E在直线BC上运动时，G在直线GC'上运动，即点G的轨迹是直线GC'，
∴当G运动到H时，AG最小，最小值即是AH的长度，如图：
∵∠CDC'＝120°，∠CDA＝90°，
∴∠KDC'＝30°，
∴C'K＝DK，∠C'KD＝60°＝∠AKH，
∵C'D＝CD＝AB＝2，
∴C'K＝2，DK＝4，
∵AD＝BC＝6，
∴AK＝AD﹣DK＝2，
在Rt△AKH中，∠AKH＝60°，
∴KH＝AK＝1，AH＝KH＝，
∴线段AG的最小值为，
故答案为：．
25．解：设小立a次取（9﹣3m）颗玻璃珠，小达b次取（7﹣m）颗玻璃珠，则小立（11﹣a）次取9颗玻璃珠，乙（9﹣b）次取7颗玻璃珠，
则小立取（99﹣3am）颗玻璃珠，小达取（63﹣bm）颗玻璃珠，
则总共取玻璃珠：N＝（99﹣3am）+（63﹣bm）＝﹣m（3a+b）+162，
由题意得：0≤a≤11，1≤b≤9，
∵，
∴0＜m≤，
∴m可为1、2，
又∵最终两人所取玻璃珠的总数恰好相等，
∴99﹣3am＝63﹣bm，
即m（3a﹣b）＝36，
①当m＝1时，3a﹣b＝36，只有a＝13，b＝3时，符合题意，
此时，m（3a+b）＝42；
②当m＝2时，3a﹣b＝18，分别a＝7，b＝3时，a＝8，b＝6时，a＝9，b＝9时，符合题意，
此时，m（3a+b）分别为：48，60，72；
综上所述，当m＝2，a＝9，b＝9时，N最小＝﹣72+162＝90，
故答案为：90．
26．解：分式方程﹣1＝的解为：x＝m﹣2，
∵分式方程有可能产生增根1或﹣2，
∴m﹣2≠1且m﹣2≠﹣2，
∴m≠3且m≠0，
∵分式方程﹣1＝的解x满足﹣2≤x≤5，
∴﹣2≤m﹣2≤5，
解得：0＜m≤7，
综上，m的取值范围为：0＜m≤7且m≠3．
27．解：（1）∵3﹣2＝1，5﹣4＝1，
∴2345是“差一数”．
∵m1＝2×3＝6，m2＝4×5＝20，
∴F（M）＝6﹣20＝﹣14．
（2）由题意得：S＝1000x+100（x+1）+78＝1100x+178，T＝6700+10y+y+1＝6701+11y．
∴s1＝x（x+1），s2＝56，F（S）＝x2+x﹣56．
t1＝42，t2＝y（y+1），F（T）＝42﹣y2﹣y．
∵F（S）+F（T）＝0，
∴x2+x﹣56+42﹣y2﹣y＝0，
∴（x+y）（x﹣y）+（x﹣y）＝14，
∴（x﹣y）（x+y+1）＝14＝1×14＝2×7．
∵x是整数且1≤x≤6，y是整数且0≤y＜5，
∴或
∴（舍去）或．
∴S＝4000+500+78＝4578．
28．解：（1）将D（﹣2，2），C（0，1）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+1；
（2）设F（m，﹣m+1），则M（m，m+4），N（﹣m﹣3，﹣m+1），
∵FM+FN＝6+6，
∴﹣m+1﹣（m+4）+（﹣m﹣3）﹣m＝6+6，
解得m＝﹣6，
∴F（﹣6，4），
在y＝x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0的x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
在y＝﹣x+1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝2，
∴C（0，1），E（2，0），
∴AE＝6，
∴S△FAC＝S△FAE﹣S△CAE＝×6×4﹣×6×1＝9；
（3）∵H为线段AC的中点，
∴H（﹣2，），
由A（﹣4，0），D（﹣2，2）得直线AD解析式为y＝x+4，
将△ACD沿射线AD方向平移4个单位长度，相当于将△ACD向上平移2个单位，再向右平移2个单位，
∴点C（0，1）对应点K坐标为（2，3），
∵点P为直线l3上一点，点Q为直线l1上一点，
∴设P（a，4），Q（t，t+4），
①若HK、PQ为对角线，则HK、PQ的中点重合，
∴，
解得，
∴P（，4）；
②若HP、KQ为对角线，则HP、KQ的中点重合，
∴，
解得，
∴P（，4）；
③若HQ、KP为对角线，则HQ、KP的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣，4），
综上所述，P的坐标为：（，4）或（，4）或（﹣，4）．
29．解：（1）设菱形ABCD的边长为a，则AB＝AD＝a，AD∥BC，
∴AE＝AD﹣DE＝a﹣（2﹣），
∵BE⊥AD，∠DAB＝30°，
∴BE＝AB＝a，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴[a﹣（2﹣）]2+（a）2＝a2，
解得：a＝2或a＝14﹣8（舍去），
∴BC＝2，BE＝1，
在Rt△CBE中，CE＝＝＝，
∵点F是线段CE的中点，
∴BF＝CE＝；
（2）BE＝DM+EM．
证明：如图2，在BE上截取BN＝DM，连接CN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠BCD＝∠DAB＝30°，
在△CBN和△CDM中，
，
∴△CBN≌△CDM（SAS），
∴∠BCN＝∠DCM，CN＝CM，
∵∠BCN+∠DCN＝30°，
∴∠DCM+∠DCN＝30°，
即∠MCN＝30°
∵∠MCE＝15°，
∴∠NCE＝∠MCN﹣∠MCE＝30°﹣15°＝15°，
∴∠NCE＝∠MCE，
在△CEN和△CEM中，
，
∴△CEN≌△CEM（SAS），
∴EN＝EM，
∵BE＝BN+EN，
∴BE＝DM+EM；
（3）如图3，过点C在直线AC的上方作∠ACK＝30°，分别过点B、Q作BH⊥CK于点H，QG⊥CK于点G，BH交AC于点Q′，
连接BG，则QG＝QC，
∵B、D关于直线AC对称，
∴QB＝QD，
∴QB+QC+QD＝QC+2QB＝2（QC+QB）＝2（QG+QB），
当点Q与Q′重合时，QG+QB的值最小，
当点Q与Q'重合时，QG+QB＝Q′H+BQ'＝BH．
当点Q与Q'不重合时，QG+BQ＞BG＞BH．
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝30°，
∴∠BCA＝∠BCD＝15°，
又∵∠ACK＝30°，
∴∠BCK＝∠BCA+∠ACK＝45°，
∵∠BHC＝90°，BC＝AB＝2，
∴BH＝＝＝2，
即QG+QB的最小值是2．
∴QB+QC+QD的最小值是4．
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